Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Regression und Kollokation Regression –Lineare Regression Kovarianzfunktion Kollokation –Ansatz –Schätzung der.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Regression und Kollokation Regression –Lineare Regression Kovarianzfunktion Kollokation –Ansatz –Schätzung der."—  Präsentation transkript:

1 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Regression und Kollokation Regression –Lineare Regression Kovarianzfunktion Kollokation –Ansatz –Schätzung der Zielfunktion –Anwendung

2 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Regression Bisher funktionaler Zusammenhang zwischen Beobachtungen und Unbekannten gegeben Nicht bekannt z.B. bei –Zusammenhang Getreideertrag – Düngermenge –Zusammenhang Ausgaben für Bücher – Schulbildung –Zusammenhang m 2 -Preis – Widmung –Zusammenhang Differenz Soll-Ist-Strecke und Streckenlänge

3 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Begriff Regression Definiert von Galton – Versuch, die Evolutionstheorie von Darwin zu belegen (Körpergröße von Kindern und ihren Eltern) Regression to mediocrity (Rückschritt zum Mittelmaß)

4 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Was ist Regression Ausgangslage: Zufallsvariablen X und Y bzw. die Realisierungen x i und y i Gesucht: Verteilung von Y (Zielgröße) in Abhängigkeit von X (Einflussgröße) Oder: Beobachtungen y i, varianzfreie Parameter x i

5 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beispiele Stochastischer Prozess: Wert der Auto- kovarianzfunktion C xx (k) ist abhängig von k Prädiktion nach kleinsten Quadraten: Wert der Kovarianzfunktion C(s) ist abhängig von s Zusammenhang zwischen Gewicht und Körpergröße: Gewicht abhängig, Größe unabhängig

6 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Regression Abhängigkeit durch Funktion ausgedrückt: Funktionsparameter möglich Aufgabe: Bestimmung der Funktionsparameter Vorher notwendig: Festlegung der Art der Regression –Lineare Regression –Nicht-lineare Regression –Multiple Regression

7 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lineare Regression (1) Es gilt: y i +v i =b 0 +b 1 x Verbesserungen: in y-Richtung gemessener Abstand der y i von der Regressionsgeraden Verbesserungen nach rechts gebracht: Residuen Matrizenschreibweise: y=Xb+ BeobachtungenDesignmatrixUnbekannte Parameter b 0 und b 1 Negative Verbesserungen (Residuen)

8 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

9 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lineare Regression (2) Stochastisches Modell Damit Gewichtsmatrix Einheitsmatrix (Annahme Beobachtungen gleich genau und unkorreliert) Parameter nach Methode der kleinsten Quadrate bestimmt, also T min Lösung:

10 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lineare Regression (3) Übergang auf Schwerpunktskoordinaten – Translationsterm fällt weg Signifikanz der übrigen Einflussparameter verbessert Lösung: Kovarianz der Zufallsvariablen x und y Steigung der Regressionsgeraden = Regressionskoeffizient

11 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Regressionskoeffizient Positive bzw. negative lineare Regression Derselbe Regressionskoeffizient kann verschiedene Datensätze repräsentieren

12 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lineare Regression (4) Vor Ansatz: Prüfen, ob tatsächlich ein linearer Zusammenhang besteht Möglichkeit: Korrelationskoeffizient Vorsicht: Scheinkorrelation (Geburten- Störche)

13 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Multiple Regression Ansatz auf mehrere Einflussgrößen erweitert: y i =b 0 +b 1 x 1i +b 2 x 2i +…+b u x ui ± Formalen Vorgehen bleibt gleich, Dimension von b ändert sich Beispiel: Regressionsebene – Zusammen- hang zwischen Lagekoordinaten und Messwerten gesucht y=b 0 +b 1 x+b 2 y+

14 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Nicht-lineare Regression Linearisierung notwendig gute Näherungswerte wichtig Sonst wie Methode der kleinsten Quadrate

15 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Wichtig Methoden sind nur mathematisch- statistische Betrachtungen! Kausale Beurteilung notwendig Sonst Sprüche wie: Mit Statistik kann alles bewiesen werden – auch das Gegenteil.

16 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kovarianzfunktion (1) Verhalten von Residuen kann zur Ver- feinerung von Approximationen verwendet werden Erhaltensneigung innerhalb eines Feldes Gekennzeichnet durch –Korrelationslänge –Form

17 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kovarianzfunktion (2) Typische Ansätze –Linear –Exponentiell –Periodisch

18 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kollokation Bisher: Parameter durch Ausgleichung bestimmt und anschließend Prädiktion Kombination dieser Schritte: Kollokation Idee: Zerlegung der Beobachtungen in –Systematischer Anteil (Trend) –Unregelmäßiger Anteil (Signal) –Zufällige Messabweichungen (Rauschen)

19 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

20 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kollokationsansatz (1) Erweiterung des Regressionsansatzes: y=Xb+s+n mit n … Noise (Rauschen = Residuen) s … Signal y … diskrete Beobachtungen Xb. Trend (eig. Regression)

21 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kollokationsansatz (2) Stochastisches Modell: 2 Teile –Zufällige Fehler, stochastisch unabhängig mit D Diagonalmatrix –Signal, korreliert mit C ss voll besetzt, symmetrisch Beschreibung des Signals wird für Interpolation benutzt Interpolationsvektor Mehrere Punkte: Matrix

22 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kollokationsansatz (3) Kreuzkovarianzmatrix zwischen n Stütz- stellen und m Prädiktionspunkten

23 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Schätzung der Zielfunktion (1) Für (n.1)-Vektor von Beobachtungen s y +n+Xb-y=0 s y : Signalanteil aus Messwerten Zusätzlich prädizierte Werte y P =X P b+s P s P : Stochastisches Signal über Kovarianz- beziehung Gleichungssystem Lage der zu prädizierenden Punkte

24 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Schätzung der Zielfunktion (2) Matrixschreibweise: System der Form Bv+Ax-l=0 Stochastisches Modell Mit w=-l : Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung

25 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Schätzung der Zielfunktion (3) Kunstgriff von Moritz: Signal, Trend und Rauschen sind unabhängig von den Interpolationsstellen Zunächst nur oberer Teil betrachtet Bedingungsgleichungen Normalgleichungssystem

26 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Schätzung der Zielfunktion (4) Parametervektor b : Korrelatenvektor k : (n,1)-Hilfsvektor z mit z=y-Xb=s+n (ent- spricht Verbesserungsvektor bei einfacher Regression) ergibt sich mit C zz =C ss +D :

27 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Schätzung der Zielfunktion (5) Mit Korrelaten Bestimmung von s P über Für Einzelkomponenten getrennte Bestimmung

28 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Anwendung Filterung: Verbesserte Approximation des Signals in den Stützstellen, keine Interpolation Prädiktion: Gegebene Approximations- funktion, Werte an Interpolationsstellen sollen verbessert werden

29 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Anwendungsbeispiele Schweremessungen: Gravimetermessungen mit Messfehlern, Schwereanomalien als Signal Satellitenbeobachtungen: Trend ist normale Bahn, Bahnstörungen als Signal Transformationen: Trend ist Transformation selbst, Klaffungen sind Signal


Herunterladen ppt "Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Regression und Kollokation Regression –Lineare Regression Kovarianzfunktion Kollokation –Ansatz –Schätzung der."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen