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Kapitel 2 Das klassische Regressionsmodell. Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Ein Beispiel Konsumtheorie nach Keynes C t = f(Y t ) Ökonometrisches.

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1 Kapitel 2 Das klassische Regressionsmodell

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Ein Beispiel Konsumtheorie nach Keynes C t = f(Y t ) Ökonometrisches Modell C t = b 1 + b 2 Y t + u t Aufgaben der ökonometrischen Analyse Schätzen der Parameter Testen von Hypothesen Überprüfen des Modells

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 3 Einfache, lineare Regression Y t = X t + u t Y: abhängige oder endogene Variable X: unabhängige oder exogene oder erklärende Variable, auch Regressor u: Zufallsfehler, Störgröße, Noise nicht berücksichtigte erklärende Variable Messfehler Verteilungsgesetz E{u t }=0 Var{u t }= 2 Cov{u s,u t }=0, st : Regressionskoeffizienten

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 4 Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 5 Einkommen und Konsum, Forts. PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 6 Matrixschreibweise n Beobachtungen (X 1,Y 1 ), …, (X n,Y n ) Modell: Y t = X t + u t, t=1,…,n oder y = X + u mit

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 7 Matrixschreibweise, Forts. n Beobachtungen (X 1,Y 1 ), …, (X n,Y n ) Modell: Y t = x t + u t, t=1,…,n, mit

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 8 Schätzen der Koeffizienten 1, 2 : wahre Regressionskoeffizienten Störgrößen: u t = Y t - ( X t ) Residuen: e t = Y t - (b 1 + b 2 X t ) Schätzer von i : b i ist Funktion von (X t, Y t ), t=1,…,n. Summe der Fehlerquadrate S( 1, 2 ) = t u t 2 = t [Y t - ( X t )] 2 Prinzip der Kleinsten Quadrate: b i = arg min1, 2 S( 1, 2 )

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 9 Ableiten der Normalgleichungen Partielles Ableiten von S( 1, 2 ) = t [Y t - ( X t )] 2 liefert Nullsetzen: ergibt die Normalgleichungen

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 10 OLS-Schätzer Auflösen nach b 1 und b 2 gibt die OLS-Schätzer mit den Mittelwerten und und zweiten Momenten Normalgleichungen

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 11 Einkommen und Konsum, Forts. PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 12 Konsumfunktion AWM-Datenbasis, 1970:1-2003:4 C: Privater Konsum (PCR), jährliche Zuwachsrate Y: Verfügbares Einkommen der Haushalte (PYR), jährliche Zuwachsrate

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 13 Multiple, lineare Regression Modell Y t = x t + u t = X 2t + … + k X kt + u t Normalgleichungen j b j t X jt X it = t X it Y t, i=1,…,k

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 14 Invertierbarkeit von XX Voraussetzung der Invertierbarkeit ist voller Rang der Matrix XX und von X Achtung! Trifft nicht zu, wenn n < k zwischen den Vektoren der Beobachtungen der Regressoren lineare Beziehungen bestehen

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 15 Beurteilung der Regression Kriterien: Ökonomische Beurteilung Voraussetzungen und Annahmen, die für das Anwenden des statistischen Instrumentariums vorausgesetzt werden Diagnostisches Überprüfen Können Voraussetzungen und Annahmen und die daraus folgenden Eigenschaften der Ergebnisse als zutreffend angesehen werden oder nicht? Bei verletzten Voraussetzungen und Annahmen: Mit welchen Konsequenzen ist zu rechnen? Kann eine adäquatere Analyse durchgeführt werden?

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 16 EViews: Standard-Output Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 17 Standard-Output Output zu jedem Regressor: Geschätzter Regressionskoeffizient b i (Coefficient) Standardfehler von b i (Std.Error) t-Statistik mit p-Wert Diagnostische Statistiken F-Statistik mit p-Wert Bestimmtheitsmaß R 2 (R-squared) Standardfehler s der Regression (S.E. of regression, geschätzte Std.Abw. der Störgrößen) Summe der quadrierten Residuen logarithmierte Likelihood-Funktion Informationkriterium von Akaike Durbin-Watson Statistik

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 18 Einige diagnostische Kriterien t-Statistik: Zum Test von H 0 : i = 0 gegen die Alternative H 1 : i 0; der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, beim Verwerfen von H 0 den Fehler 1. Art zu begehen Bestimmtheitsmaß R 2 (R-squared): das Quadrat des Korrelationskoeffizienten zwischen den beobachteten Werten und den Schätzwerten der abhängigen Variablen, die die angepasste Regressionsbeziehung geben Durbin-Watson Test: Zum überprüfen, ob die Störgrößen, die zu aufeinander folgenden Zeitpunkten gehören, unkorreliert sind.


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