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Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das Unschärfeprinzip.

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Präsentation zum Thema: "Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das Unschärfeprinzip."—  Präsentation transkript:

1 Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das Unschärfeprinzip

2 Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch) Einführung von Operatoren

3

4 ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls p x Wir basteln uns ein Wellenpaket!

5 Fouriertransformation Für t=0 Wellenfunktion im Ortsraum Wellenfunktion im Impulsraum

6 Gaußsches Wellenpaket Fouriertransformation Breite des Wellenpakets, p x /2

7 Heisenbergsche Unschärfe : Je breiter die Impulsverteilung, desto schmaler die Ortsverteilung und umgekehrt Ebenso:

8 ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls p x Zeitabhängigkeit der Wellenpakete!

9 Phasenfaktor: Gruppengeschwindigkeit v g Werte des Integrals groß für Phasengeschwindigkeit

10 Dispersion, Zerlaufen des Wellenpakets Taylorentwicklung

11 Wellenpakete x Wellenpaket bewegt sich mit v 0 = p o /m und zerfliesst

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13 V(R) im zweiatomigen Molekül Idealisiert: Harmonischer Oszillator Überlagerung von äquidistanten Eigenzuständen Breite des Wellenpakets oszilliert Wellenpakete R V( R) R

14 Elektronenbeugung am Doppelspalt

15 Welcher Weg Experiment Interferenzen im Streulicht zweier Ionen Falle D1 D2 Laser beam z NIST,Boulder D. Wineland, 1993 Laserkühlung von zwei Hg Ionen Analog zum Youngschen Doppelspalt Experiment Spalte ersetzt durch zwei Ionen

16 Interferenz im Streulicht zweier Ionen Ionenabstand: 5.4 m 4.3 m 3.7 m

17 Welcher Weg Experiment Itano et al, Phys.Rev. A 1998 Ion1 Ion2 m ½ -½ ½ -½ 6p 6s Ion1 Ion2 6p 6s m ½ -½ ½ =

18 Welcher Weg Experiment Interferenzen im Streulicht zweier Ionen Falle D1 D2 Laser beam z Polarisationssensitive Detektion Eichmann et al, Phys.Rev.Lett NIST,Boulder D. Wineland

19 Polarisationssensitive Fluoreszenzlichtmessung Welcher-Weg Information kodiert in inneren Zuständen des Ions: keine Interferenz Keine Welcher-Weg Information : Interferenz

20 Linearer Chirp Lichtpuls kein Chirp dispersives Medium Lichtpuls mit negativem Chirp Zeitliche Ordnung der Frequenzkomponenten im Laserpuls

21 Chirp Crab nebula 6000 Lichtjahre entfernt Radiopulse Staelin und Reifenstein 1968

22 Chirp Chirp: Veränderung der Frequenz mit der Zeit Brehms Tierleben Der Kanarienvogel

23 Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch) Einführung von Operatoren

24 Zugehörige Wellengleichung (Schrödingergleichung für ein freies Teilchen) 1 dim 3dim

25 (1 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(x,t) Hamiltonoperator: Kinetische und potentielle Energie

26 (3 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(r,t) Das ist fast schon alles!

27 Statistische Interpretation der Wellenfunktion M. Born 1926 "for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunction Nobel prize 1954

28 Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten =

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30 Hermetizität Für einen reellen Erwartungswert gilt: Falls A nicht explizit von der Zeit abhängt gilt mit Alle Operatoren, die mit H vertauschen (kommutieren),d.h. wenn der Kommutator null ist, sind Erhaltungsgrößen Definition: Kommutator

31 Schrödingergleichung ist linear, erlaubt Superposition Zeitunabhängige Schrödingergleichung Falls das Potential nicht explizit zeitabhängig ist, gibt es stationäre Lösungen der Form:

32 Energieeigenzustände Es kann mehrere Energieeigenwerte mit den dazu gehörigen Eigenfunktionen zu einem Hamiltonoperator geben. Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen existieren, so spricht man von Entartung. Kronecker Symbol Eigenfunktionen sind orthogonal

33 Entwicklung nach vollständigem Orthonormalsystem C n Wahrscheinlichkeitsamplituden Messung des Eigenwertes a n

34 Dirac Schreibweise Damit schreibt sich die Projektion Matrixelement als

35 Kommutierende Observablen Kommutieren zwei Observable A und B, dann existiert ein kompletter Satz von Eigenfunktionen zu A und B. Falls [A,B] ungleich null, dann können beide Observablen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden. Beispiel: Ort und Impuls Kompletter Satz von kommutierenden Observablen ist die größte Anzahl kommutierender Observablen für ein Problem.

36 Eindimensionale Beispiele Kastenpotential V(x)=0 für |x|

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40 Eigenwerte n=1,2,3.. Bemerkungen Nullpunktsenergie von null verschieden Gerade und ungerade Funktionen Paritätsoperator

41 Eindimensionaler harmonischer Oszillator Bedeutung in der Physik Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Molekülzustände, Gittervibrationen, Näherung in der Umgebung eines Minimums im Minimum

42 und

43 Ansatz: H n Hermite-Polynome folgen aus einem Potenzreihenansatz Lösungen´nur für = 2n+1 Eigenwerte Eigenfunktionen

44 Ist die Grundzustandsenergie verträglich mit dem Unschärfeprinzip? Antwort folgt

45 Drehimpuls Operatoren Simultane Eigenfunktionen zu L 2 und L z : L 2 und L z vertauschen mit H: Erhaltungsgrößen Eigenwerte l(l+1) und m (magnetische Hauptquantenzahl, Werte von m: -l,l+1,...l-1,l) Kugelflächenfunktionen klassischumsetzen in q.m. Ausdruck, kartesische ->sphärische Koordinaten präzediert, daher keine Erhaltungsgröße

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47 Zentralpotentiale Potential V( r )

48 Simultane Eigenfunktionen zu H, L 2,L z Separation

49 mit V eff (r) Radialgleichung


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