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Tutorat Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Kai Vogt Termin7.

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Präsentation zum Thema: "Tutorat Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Kai Vogt Termin7."—  Präsentation transkript:

1 Tutorat Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Kai Vogt Termin7

2 Statistik Tutorat WS 2010/11 Heute: Kurze Wiederholung (Aufgabenblatt) Hypothesenprüfung Hypothesenformulierung Alpha- und Beta-Fehler Einflussgrößen des Beta-Fehlers

3 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 W ICHTIGES AUS T ERMIN 6 Kombinatorik Wann wird was verwendet? Einfache Beispiele rechnen bzw. einsetzen. Stichprobentheorie Zufallsauswahl vs. Nicht-zufallsgesteuerte Auswahlverfahren (Welche gibt es jeweils? Pros & Contras) Schätzungen Punktschätzung vs. Intervallschätzung Standardfehler Was ist das? Konfidenzintervall (Definition, einfache Berechnungen & Interpretationen, Mutungs- vs. Vertrauensintervalle) 3

4 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Arbeitsblatt Stichprobentheorie Die Varianz ist ein erwartungstreuer Schätzer Das Effizienzkriterium fordert, dass die Streuung des Schätzers möglichst gering sein soll Laut Konsistenzkriterium spielt die Stichprobengröße keine Rolle Die Varianz erfüllt das Kriterium der Exhaustivität nicht

5 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Man unterscheidet zwischen zufallsgesteuerten und nicht-zufallsgesteuerten Verfahren der Stichprobengewinnung Zufallsauswahl ist immer besser als eine nicht- zufallgesteuerte Auswahl Die Quotenauswahl ist ein nicht-zufallsgesteuertes Auswahlverfahren Die Klumpenauswahl ist ein zufallsgesteuertes Verfahren

6 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Bei der uneingeschränkten Zufallsauswahl unterscheidet sich die Wahrscheinlichkeit in die Stichprobe aufgenommen zu werden je nach Personengruppe Die geschichtete Zufallsauswahl hat keine Voraussetzungen Die Klumpenauswahl hat mit der mehrstufigen Zufallsauswahl nichts zu tun Eine Stichprobe computergestützt zufällig aus einem Register zu ziehen ist ein Beispiel für eine Ad-hoc Auswahl

7 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Bei der geschichteten Zufallsauswahl wird nicht davon ausgegangen, dass sich die Teilpopulationen systematisch unterscheiden Bei einer Quotenauswahl lässt sich streng genommen kein Standardfehler bestimmen Bei der geschichteten Zufallsauswahl wird von einem systematischen Unterschied der Teilstichproben ausgegangen Am Bertoldsbrunnen die ersten zehn Leute zu befragen ist ein Beispiel für die Ad-hoc Auswahl

8 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Ein Mutungsintervall schätzt, in welchem Bereich ein Populationsparameter liegt. Ein Konfidenzintervall schätzt, in welchem Bereich ein Anteil der Stichprobe/Population liegt Der zentrale Grenzwertsatz postuliert keine Zusammenhänge zwischen der Anzahl der Stichproben und der Verteilungskurve der gewonnen Mittelwerte Die Streuung der Mittelwerteverteilung ist die Standardabweichung

9 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Hypothesenprüfung

10 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Grundlegende Idee Anhand von Stichprobenkennwerten werden Hypothesen für die Population getestet Dabei soll die Bedeutsamkeit einer Mittelwertsdifferenz oder Relevanz eines Zusammenhangs, einer Korrelation getestet werden Wie groß muss mein gefundener Mittelwertunterschied sein, damit keiner sagen kann, er sei zufällig entstanden? Ab wann ist er statistisch bedeutsam?

11 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Vorgehen bei statistischen Tests: 1. Formulierung der Hypothesen ( gerichtet oder ungerichtet ). 2. Berechnung eine empirischen Werts (z.B. t, r,…) 3. Vergleich von empirischem Wert mit kritischem Wert (Tabelle) Der kritische Wert hängt ab von den Freiheitsgraden und der Art der Hypothese Je nachdem ob der emprische über oder unter dem kritischen Wert liegt wird die H0 aufrechterhalten oder verworfen (=H1 angenommen) heute!

12 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Nullhypothese & Alternativhypothese Nullhypothese ( H 0): Diese Negativhypothese behauptet immer, dass es keine Mittelwertsunterschiede, beziehungsweise keine Zusammenhänge in der Population gibt. Alternativhypothese ( H 1): Diese besagt, dass ein Unterschied oder ein Zusammenhang in der Population existiert. Die Alternativhypothese sollte immer aus einem Theoriegebäude, aus Vorstudien und der Literatur abgeleitet sein.

13 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Grundlegende Idee (Reloaded) Anhand von Stichprobenkennwerten werden Hypothesen für die Population getestet Dabei soll die Bedeutsamkeit einer Mittelwertsdifferenz oder Relevanz eines Zusammenhangs, einer Korrelation getestet werden. Grundlage beim Hypothesentesten ist immer die H0. Statistisch wird die Wahrscheinlichkeit für gefundene Mittelwertsdifferenzen (Effekte) erhoben. Wenn die Gültigkeit der H0 aufgrund der gefundenen Stichprobenergebnisse sehr unwahrscheinlich ist, wird die Gültigkeit der H1 angenommen (ansonsten wird die H0 beibehalten.)

14 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Das alpha-Niveau Es legt in Abhängigkeit von Stichprobengröße und zugrunde liegender theoretischer Verteilung den Grenzwert für ein Konfidenzintervall fest. Umgangssprachlich: Es legt die Größe des Konfidenzintervalls fest und damit die Grenze für die Wahrscheinlichkeit eines alpha- Fehlers. Liegt der empirisch ermittelte Kennwert einer erhobenen Stichprobe außerhalb dieses Intervalls so wird die Ho verworfen und die H1 angenommen. Es liegt ein signifikanter Mittelwertsunterschied vor… Das alpha-Niveau wird immer vor der Untersuchung festgelegt (und darf danach nicht mehr verändert werden). Meistens liegt es bei 5% (selten bei 1% oder 0,1%)

15 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Die (heilige) Signifikanz Liegt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines gefundenen Mittelwertunterschieds unter der Bedingung der H0, unterhalb des alpha- Niveaus, handelt es sich um einen signifikanten (bedeutsamen) Mittelwertsunterschied.

16 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 S TATISTISCHE F ORMULIERUNG VON H YPOTHESEN Es sei μ1 das mittlere (…) in der Population der (...) und es sei μ2 die mittlere (...) in der Population der (...). Dann gilt: H0 : μ1 = μ2 und H1 : μ1 μ2 bei einem alpha-Niveau von 5%. zweiseitige bzw. ungerichtete Testung

17 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11

18 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11

19 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 S TATISTISCHE F ORMULIERUNG VON H YPOTHESEN Es sei μ1 das mittlere (…) in der Population der(...) und es sei μ2 die mittlere (...) in der Population der (...). Dann gilt: H0 : μ1 μ2 und H1 : μ1 > μ2 bei einem alpha-Niveau von 5%. einseitige bzw. gerichtete Testung Oder : H0 : μ1 μ2 und H1 : μ1 < μ2

20 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11

21 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 F EHLER BEIM H YPOTHESENTESTEN Aufgrund von Unsicherheiten bei der Stichprobenziehung besteht die Gefahr eines falschen Schlusses auf die Population. Es wird zwischen zwei möglichen Fehlern bei der Testung einer Hypothese unterschieden.

22 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Z WEI MÖGLICHE F EHLER : alpha-Fehler: Ablehnung der richtigen Nullhypothese bei gültiger Nullhypothese (Fehler erster Art). Umgangssprachlich: Ein Effekt wird angenommen dabei gibt es diesen nicht. beta-Fehler: Beibehaltung der falschen Nullhypothese bei gültiger Alternativhypothese (Fehler zweiter Art). Umgangssprachlich: Ein Effekt wird nicht entdeckt obwohl dieser eigentlich existiert.

23 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 T ESTSTÄRKE Die Teststärke ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein in der Population vorhandener Unterschied bei statistischer Testung entdeckt wird. Sie berechnet sich mit T= 1 - β Umgangssprachlich: Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein existierender Effekt auch gefunden wird.

24 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Z UR Ü BERSICHT : ? ?

25 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11

26 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11

27 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11

28 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 Was beeinflusst den Beta-Fehler? Höhe des alpha-Niveaus Ein- oder zweiseitige Testung Homogenität der Merkmalsverteilung (=Streuung des Merkmals) Stichprobenumfang Größe des statistischen Effekts Abhängige versus unabhängige Stichproben Teststärke (1 beta-Fehler)

29 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 WICHTIGES AUS TERMIN 7 Einführung: Hypothesenprüfung Nullhypothese (H0) vs. Alternativhypothese (H1) Was ist eine H1 bzw. eine H0? Verständnis für die grundlegende Idee des Hypothesentestens (Es wird von der H0 ausgegangen wenn H0 zu unwahrscheinlich dann wird die H1 angenommen.) Alpha-Niveau und Signifikanz Hypothesen formulieren (gerichtet & ungerichtet) Alpha-Fehler, Beta-Fehler & Teststärke (T=1-ß) Definitionen (Was ist Fehler erster bzw. zweiter Ordnung? Was versteht man unter der Teststärke) Einzeichnen der beiden Fehler in Verteilungsformen. Wie lassen sich die beiden Fehler beeinflussen? (alpha-Fehler a posteriori überhaupt nicht mehr…)

30 Termin 7Statistik Tutorat WS 2010/11 V IELEN D ANK FÜR EURE A UFMERKSAMKEIT ! Bis nächste Woche… Schreibt euch Fragen auf wenn ihr welche habt… Fragen an


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