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Räuber-Beute-Systeme Judith Fuchslueger, Anna Steinlechner & Iris Wolf.

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Präsentation zum Thema: "Räuber-Beute-Systeme Judith Fuchslueger, Anna Steinlechner & Iris Wolf."—  Präsentation transkript:

1 Räuber-Beute-Systeme Judith Fuchslueger, Anna Steinlechner & Iris Wolf

2 Überblick/Programm Einführung in das Thema Lotka-Volterra-Modell Lösungen Lotka-Volterra-Gesetze Kritik Zusammenfassung

3 Einführung Fischerei um 1915 Alfred James Lotka (1925) und Vito Volterra (1926) wichtige Grundlage der Theoretischen Biologie (Populationsdynamik) Anwendungen: Fischereidaten, Medizinische Epidemiologie, Wirtschaftswissenschaften, Schädlingsbekämpfung

4 Lotka - Volterra - Modell N = N(t)Anzahl der Beutelebewesenzeitabhängig a > 0 Reproduktionsrate der Beute ohne Störung und bei großem Nahrungsangebot konstant P = P(t)Anzahl der Räuberzeitabhängig d > 0 Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist konstant b > 0 Fressrate der Räuber pro Beutelebewesen = Sterberate der Beute pro Räuber konstant c > 0Reproduktionsrate der Räuber pro Beutelebewesen konstant

5 vermehren wird gefressen vermehren (durch Fressen) sterben

6 Herleitung von Volterra ungestörten Wachstumsraten pro Zeiteinheit dt seien λ 1 und λ 2 mittlere Anzahl der Begegnungen zwischen Beute und Räuber pro Zeiteinheit dt ist α NP, α aus den positiven, reellen Zahlen genügend große Zahl n an Begegnungen haben Effekt β 1, β 2 auf die Populationen N, P

7 Setze und dt 0

8 Konstante Lösungen Durch die nullgesetzten Gleichungen 0 erhält man die Gleichgewichtspunkte und (N*, P*) =

9 Nicht-konstante Lösungen Integration

10 Die Lotka-Volterra-Gesetze 1. Periodizität 2. Erhaltung der Mittelwerte 3. Störung der Mittelwerte

11 1. Periodizität Gesetz der periodischen Zykel: Die Schwankungen der beiden Klassen sind periodisch.

12 1. Periodizität https://www.youtube.com/watch?v=qp4i_Br8-dE (ab 4:20) https://www.youtube.com/watch?v=qp4i_Br8-dE

13 2. Erhaltung der Mittelwerte Die durchschnittlichen Populationen über einen Zyklus mit Periode T sind gegeben durch:

14 2. Erhaltung der Mittelwerte Die durchschnittlichen Populationsgrößen sind ident mit den Gleichgewichtspunkten, also und

15 2. Erhaltung der Mittelwerte Trennung der Variablen Integration von t=0 bis t=T Da N(T) = N(0)

16 3. Störung der Mittelwerte Werden die beiden Tierklassen gleichmäßig und proportional zur Populationsgröße dezimiert, und ist die Rate Dezimierung der Beute keiner als deren Reproduktionsrate, so wächst der Mittelwert der Beutepopulation, und der Mittelwert der Räuberpopulation sinkt. α … Zerstörungsrate der Beutelebewesen β … Zerstörungsrate der Räuber

17 Umformen ergibt:

18 Kritik Nur anwendbar unter Beachtung selten erfüllter Voraussetzungen mathematische Modellierung sehr speziell – in Praxis nur in Abwandlung verwendet

19 Zusammenfassung https://www.youtube.com/watch?v=iUdjzVFO914

20 Danke für eure Aufmerksamkeit!


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