Vorlesung Informatik 3 Einführung in die Theoretische Informatik (05 – Reguläre Ausdrücke) Prof. Dr. Th. Ottmann.

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1 Vorlesung Informatik 3 Einführung in die Theoretische Informatik (05 – Reguläre Ausdrücke)
Prof. Dr. Th. Ottmann

2 Motivation für reguläre Ausdrücke
Ziel: Automatenfreie Charakterisierung der regulären Sprachen, also der von endlichen Automaten akzeptierbaren Mengen von Worten. Kompakte Notation zur Bezeichnung von regulären Sprachen. Unterschied: Regulärer Ausdruck α (Bezeichnung, syntaktisches Konzept) und die von einem regulären Ausdruck α bezeichnete Menge L(α) von Worten (semantisches Konzept). Reguläre Sprachen besitzen Abgeschlossenheitseigenschaften gegenüber Operationen an Mengen von Worten. Reguläre Sprachen haben viele Anwendungen, sind aber leider sehr beschränkt.

3 Reguläre Ausdrücke Wir definieren simultan, was unter einem regulären Ausdruck α über dem Alphabet  und der von α bezeichneten Menge L(α)  * verstanden wird: Sei  ein endliches Alphabet.  ist ein regulärer Ausdruck über  und L() = . ε ist ein regulärer Ausdruck über  und L(ε) = {ε}. Für jedes a   ist a ein regulärer Ausdruck über  und L(a) = {a}. Sind α und β reguläre Ausdrücke über , so auch (α  β), (α β), α* und L((α  β)) = L(α)  L(β) L((α β)) = L(α) L( β) L(α* ) = (L(α))* Konvention: Klammern dürfen weggelassen werden, wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind.

4 Bemerkungen und Beispiele

5 Konstruktion von DFAs zu regulären Ausdrücken
Satz 1: Zu jedem regulären Ausdruck α über dem Alphabet  kann man einen DFA A = (Q, , δ, s0, F) angeben mit L(A) = L(α). Bew.: Durch Induktion über den Aufbau von α. (1) Sei α = . Dann ist L(α) = L(A) für den wie folgt definierten DFA A: (2) Sei α = ε. Dann ist L(α) = L(A) für den wie folgt definierten DFA A:

6 (3) Sei α = a, mit a  . Dann ist L(α) = L(A) für den wie folgt definierten DFA A: (4) Hat man bereits DFAs A und B, die die von α und β bezeichneten Mengen L(α) und L(β) akzeptieren, also L(A) = L(α) und L(B) = L(β), so kann man offensichtlich DFAs konstruieren, die L((α  β)) = L(α)  L(β) L((α β)) = L(α) L( β) L(α* ) = (L(α))* akzeptieren. Denn die Klasse der regulären Sprachen ist abgeschlossen gegenüber Vereinigung, Verkettung und Kleene Stern!

7 Beispiel Gegeben sei der reguläre Ausdruck α = (ab  a)* über dem Alphabet {a, b}.

8 Konstruktion eines regulären Ausdrucks zu DFA
Satz: Zu jedem DFA A =(S, , δ, s1, F) kann man einen regulären Ausdruck α angeben mit L(A) = L(α).

9 Weitere Abschlusseigenschaften
Sei für ein Wort w = a1a2 … an, n ≥ 0, w  *, das Spiegelbild sp(w) definiert durch sp(w) = anan-1 … a1. Satz: Zu jedem regulären Ausdruck α über  kann man einen regulären Ausdruck αsp angeben, so dass L(αsp ) = {sp(w); w  L(α)}