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Die Gaußverteilung. Inhalt Spezielle Verteilungen: 1.Die Gaußverteilung (Normalverteilung) 2.Die Poisson-Verteilung.

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Präsentation zum Thema: "Die Gaußverteilung. Inhalt Spezielle Verteilungen: 1.Die Gaußverteilung (Normalverteilung) 2.Die Poisson-Verteilung."—  Präsentation transkript:

1 Die Gaußverteilung

2 Inhalt Spezielle Verteilungen: 1.Die Gaußverteilung (Normalverteilung) 2.Die Poisson-Verteilung

3 Die Gauß-Verteilung Man nimmt mit Gauß an: jede Messung zeigt zufällige Abweichungen von einem unbekannten idealen, wahren Wert, dem Mittelwert Die Anzahl der Messwerte mit zunehmendem Abstand vom idealen Wert nimmt gemäß der Gauß-Verteilung ab Gaußkurve mit μ = 3, σ = 1

4 Die Gaußverteilung φ(x) Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard- abweichung σ = 1 Mittelwert µ Standard- abweichung σ Die Gauß-Verteilung ist durch zwei Parameter definiert: Den Mittelwert μ der Messungen und deren Standardabweichung σ Die Standard- abweichung zeigt die halbe Breite der Gaußkurve bei 60% ihrer max. Höhe

5 Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - σ) < x < (µ + σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard- abweichung σ = 1 Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - σ) und (µ + σ) zu messen. Sie entspricht 68% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve Standard- abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit…

6 Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 2σ) < x < (µ + 2σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard- abweichung σ = 1 Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - 2σ) und (µ + 2σ) zu messen. Sie entspricht 95% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve Standard- abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit…

7 Gaußverteilung φ(x) und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 3σ) < x < (µ + 3σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard- abweichung σ = 1 Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - 3σ) und (µ + 3σ) zu messen. Sie entspricht 99,7% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve Standard- abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit…

8 Intervallbreite um den Mittelwert µ Wahrscheinlichkeit einen Messwert innerhalb dieses Intervalls zu erhalten ±1 σ68% ±2 σ95% ±3 σ99,7% Wahrscheinlichkeiten, Messwerte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert zu erhalten Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard- Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand

9 Standardabweichung der Messwerte Bei Normal-verteilten Daten ist die Standardabweichung σ ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, in einer weiteren Messung einen Messwert im Intervall ±σ um den Mittelwert μ zu erhalten Standardabweichung der N Messwerte x n

10 Standardabweichung des Mittelwerts zu N Messwerten x n Standardabweichung des Mittelwerts Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich

11 Zusammenfassung Bei Normal-verteilten Messwerten gilt: Legt man ein Intervall der Breite ± N·σ um den Mittelwert µ, dann erwartet man bei mehrfacher Wiederholung der Messung für –N=1 68 % –N=2 95 % –N=3 99,7 % der Messwerte innerhalb, den Rest außerhalb des Intervalls Die Standardabweichung σ µ des Mittelwerts ist –σ µ = σ / Wurzel(N) Das heißt, um σ µ auf die Hälfte zu reduzieren bedarf es der 4-fachen Anzahl der Messwerte!

12 finis Quelle : berlin.de/diss/servlets/MCRFileNodeServlet/FUDISS_derivate_ /1_Kapitel_1.pdf berlin.de/diss/servlets/MCRFileNodeServlet/FUDISS_derivate_ /1_Kapitel_1.pdf Q: Welche medizinisch relevante Information zeigt die Folge der Histogramme? A: Bei etwa konstantem Mittelwert steigt die Breite der Verteilung: Das heißt, sie zunehmend ältere, aber auch jüngere Patienten erhalten Hüftendoprothesen


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