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Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basen Zu Übung 1, WS 2010/2011.

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Präsentation zum Thema: "Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basen Zu Übung 1, WS 2010/2011."—  Präsentation transkript:

1 Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basen Zu Übung 1, WS 2010/2011

2 Inhalt Test von Werten auf die Eigenschaft Wachstumsfunktion durch Logarithmieren Zusammenhang zwischen den Ergebnissen bei der Logarithmierung mit unterschiedlichen Basen

3 Wachstumskurve Wachstumskurve aus Aufgabe 1

4 Logarithmus zur Basis 10 zur Wachstumskurve Logarithmus zur Basis 10 der Wachstumskurve aus Aufgabe 1

5 Interpretation der Geraden nach dem Logarithmieren Die Gerade nach dem Logarithmieren zeigt, dass die Kurve eine Exponentialfunktion der Zeit darstellt Folge: Zu jeder Zeit ist der Zuwachs der Population proportional zur momentanen Anzahl der Individuen –Anmerkung. Dieses Wachstumsgesetz gilt auch für Kapital bei konstanter Verzinsung

6 Ansteige des Logarithmus zur Basis 10 Der Logarithmus zur Basis 10 zeigt eine Gerade mit Anstieg Δy / Δx = 1,63/15, also log y = 0,11 ·t Δy = 1,63 Δx = 15

7 Funktion der Wachstumskurve zur Basis 10 Zuwachs im Zeitintervall, als Exponenten zur Basis 10 geschrieben folgt Wachstumskurve zur Basis 10 Faktor b = 0,11

8 Wachstumskurve Bei Wechsel der Basis ändert sich der Faktor vor der Zeit Wachstumskurve zur Basis e Wachstumskurve zur Basis 10

9 Relativer Zuwachs pro Zeit bei Basis e Der relative Zuwachs Δy / y pro Zeiteinheit wird entweder unmittelbar aus dem Diagramm oder über die Ableitung der Funktion ermittelt Funktion Ableitung Zuwachs bei Basis e

10 Relativer Zuwachs pro Zeit bei Basis10 Beachte: Bei einer von e unterschiedlichen Basis enthält die Ableitung y den Faktor ln(Basis), also ln(10) bei Basis 10 Funktion Ableitung Zuwachs bei Basis 10

11 Vergleich der Ergebnisse zu Basis e und Basis 10 Der Zuwachs pro Zeit ist unabhängig von der Basis, deshalb, daraus folgt eine Beziehung zwischen den Faktoren in den Exponenten zu unterschiedlichen Basen: Bei einer von e unterschiedlichen Basis unterscheiden sich Faktoren im Exponenten den Faktor ln(Basis), also ln(10) bei Basis 10 Zuwachs bei Basis e Zuwachs bei Basis 10 Beziehung zwischen a und b

12 Vergleich der Ergebnisse zu Basis e und Basis 10 im Beispiel der Aufgabe Beachte: Bei einer von e unterschiedlichen Basis unterscheiden sich Faktoren im Exponenten den Faktor ln(Basis), also bei Basis 10 um ln(10) =2,30 b = 1,63/15 = 0,11Faktor zur Basis 10 a = b · ln10 = 1,63/15 = 0,25Faktor zur Basis e

13 Zusammenfassung Folgt nach dem Logarithmieren von Werten eine Gerade, dann folgen sie einer Wachstumsfunktion –Die Gerade zeigt sich bei beliebiger Basis Folge: Zu jeder Zeit ist der Zuwachs der Population proportional zur momentanen Anzahl der Individuen Der Koeffizient a der Exponentialfunktion y = exp(a·t) zeigt bei Basis e den relativen Zuwachs Δy / y pro Zeiteinheit –Bei Basen ungleich e enthält der relative Zuwachs pro Zeiteinheit noch den ln der Basis, z. B. bei y = 10^(a·t) folgt Δy / y =a· ln(10)

14 finis


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