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1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Algorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke Sommersemester 2004 21.05.2004 5. Vorlesung.

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2 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Algorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke Sommersemester Vorlesung Christian Schindelhauer

3 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 2 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Kapitel III CHORD

4 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 3 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Brückentagvorlesungsplan IF studenten kommen THEN –Chernoffschranke mit Beweis –Bälle in Körbe (ist dann ganz einfach) –CHORD-Wiederholung –Eigenschaften von CHORD mit Hilfe von Bällen und Körben END IF

5 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 4 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Markov und Chebyshev Stärkere Abschätzung: Chebyshev wenn die Varianz bekannt ist:

6 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 5 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Chernoff-Schranke Bernoulli-Experiment –Entweder 0 mit Wahrscheinlichkeit 1-p –Oder 1 mit Wahrscheindlichkeit p

7 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 6 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beweis der 1. Chernoff-Schranke: Der Trick Zu zeigen: Für t>0: Markov liefert: Zu tun: geeignete Wahl für t und einsetzen...

8 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 7 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beweis der 1. Chernoff-Schranke Ein Erwartungswert Zu zeigen: wobei: Jetzt zu zeigen: Unabhängigkeit der Zufallsvariablen x i

9 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 8 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beweis der 1. Chernoff-Schranke Etwas Algebra Zu zeigen: wobei: Jetzt zu zeigen:

10 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 9 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beweis der 1. Chernoff-Schranke 1.Fall c1: Nun ist für c=1: 2 ln(2) > 4/3 Ableitung: –linke Seite: ln(1+c) –rechte Seite: 4/3 Für c>1 ist Steigung der linken Seite größer als die rechten Seite, da ln(1+c)>ln (2) > 4/3 Also gilt Ungleichung für c>0.

11 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 10 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beweis der 1. Chernoff-Schranke 2. Fall c 2 0: Daraus folgt Nun erhält man für (1+x) ln(1+x) durch Multiplikation: Nun setzt man für ein (1+c) ln(1+c) und erhält for c (0,1):

12 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 11 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer 2. Chernoff-Schranke Bernoulli-Experiment –Entweder 0 mit Wahrscheinlichkeit 1-p –Oder 1 mit Wahrscheindlichkeit p

13 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 12 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beweis der 2. Chernoff-Schranke: Der Trick Zu zeigen: Für t<0: Markov liefert: Zu tun: geeignete Wahl für t und einsetzen...

14 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 13 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beweis der 2. Chernoff-Schranke Der selbe Erwartungswert Zu zeigen: wobei: Jetzt zu zeigen: Unabhängigkeit der Zufallsvariablen x i

15 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 14 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beweis der 2. Chernoff-Schranke Etwas Algebra Zu zeigen: wobei: Jetzt zu zeigen:

16 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 15 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Beweis der Chernoff-Schranke 2. Teil Was ist (1-c) ln (1-c) - Nachtrag Warum ist ? Für c=0 sind beide Seiten gleich. Die Ableitung der linken Seite ist ln(1-c); die der rechten ist -c Nun ist Daraus folgt und insbesondere die gewünschte Ungleichung.

17 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 16 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Bälle und Körbe Lemma Werden m= k n ln n Bälle zufällig in n Körbe geworfen (für jedes k>0), gilt Folgendes: 1.Für alle c>k ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als c log n Bälle auf einen Korb fallen ist höchstens O(n -c ) für ein c>0. 2.Für alle c 0. Beweis: Betrachte einen Korb mit Bernoulli-Experiment: B(k n ln n,1/n) mit Erwartungswert: µ = m/n = k ln n 1.Fall: c>2k 2.Fall: k

18 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 17 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Bälle und Körbe Lemma Werden m Bälle zufällig in n Körbe geworfen. Dann gilt: 1.Die Wahrscheinlichkeit, dass ein (bestimmter) Korb leer bleibt, ist kleiner als e -n/m. 2.Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als k (ln n) + k m/n (ln n) Bälle auf einen bestimmten Korb fallen, ist höchstens O(n -c ) für konstante k und c. Beweis: 1.Wahrscheinlichkeit: (1-1/n) m < e -n/m 2.Bernoulli-Ereignis: 1 Ball in einem Korb X: Summe aller m Ballwürfe in einem Korb Wahrscheinlichkeit: p=1/n Erwartungswert µ = 1 1.Fall mn, c>1: 2.Fall m 1:

19 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 18 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Hohe Wahrscheinlichkeit Lemma Falls Aussage A(i) für jedes von n Objekten i mit Wahrscheinlichkeit 1-n -c gilt, dann gilt (A(1) und A(2) und... und A(n)) mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1-n -(c-1) Beweis: Für alle i gilt: P[ A(i)] n -c Somit ist: P[ A(1) oder A(2) oder... A(n) ] n n -c P[ ( A(1) oder A(2) oder... A(n)) ] 1- n n -c Nach DeMorgan: P[A(1) und A(2) und... A(n) ] 1- n n -c

20 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 19 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Chord als DHT n: Knotenanzahl, Knotenmenge V k: Anzahl Schlüssel, Schlüsselmenge K m: Hashwertlänge: m >> log max{K,N} Zwei Hash-Funktionen bilden auf {0,..,2 m -1} ab –r V (b): bildet Peer b zufällig auf {0,..,2 m -1} ab –r K (i): bildet Index i zufällig auf {0,..,2 m -1} ab Abbildung von i auf einen Peer b = f v (i) –f V (i) := arg min b V (r B (b)-r K (i)) mod 2 m Index r K (i) = 3i-2 mod r V (b) = b+1 mod

21 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 20 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Eigenschaften der Datenstruktur Lemma 1.Der Abstand zweier benachbarter Peers auf dem Ring ist a)im Erwartungswert 2 m /n, b)< O((2 m /n) log n) (mit hoher Wkeit) und c)> 2 m /n c (mit hoher Wkeit) für eine Konstante c>1 2.In einem Intervall des Rings der Länge w 2 m /n sind (mit hoher Wkeit) a)O(log n + w log n) Peers, falls w=O(log n) b)O(w) Peers, falls w=(log n)

22 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 21 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Eigenschaften der Datenstruktur Lemma 1.Der Abstand zweier benachbarter Peers auf dem Ring ist a)im Erwartungswert 2 m /n, b)< O((2 m /n) log n) (mit hoher Wkeit) und c)> 2 m /n c (mit hoher Wkeit) für eine Konstante c>1 Beweis 1a) Die Summe aller Abstände ist 2 m 1b) Betrachte Intervall auf dem Ring der Länge c ((2 m /n) log n) Wkeit, dass ein Peer dieses Intervall trifft: c (log n)/n Wkeit, dass n Peers dieses Intervall nicht treffen: Damit bleibt so ein Intervall nicht leer und der Abstand zweier Peers ist mit hoher Wkeit 2c (2 m /n) log n) 1c) Die Wkeit, dass ein Peer ein Intervall der Größe 2 m /n c trifft, ist n -c Also treffen Peers mit hoher Wkeit nicht in die Nähe eines anderen Peers

23 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 22 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Eigenschaften der Datenstruktur (Beweis 2) Lemma 2. In einem Intervall des Rings der Länge w 2 m /n sind (mit hoher Wkeit) a)O(log n + w log n) Peers, falls w=O(log n) b)O(w) Peers, falls w=(log n) Beweis Betrachte Intervall der Länge w 2 m /n – Die Wkeit, dass ein Peer hineinfällt ist p= w n – Erwartete Anzahl von Peers: p n = w 2a) 1.Fall: p n 1, c>1 2.Fall: p n 1 2b) p n > k ln n, c > 1

24 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 23 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Balance in Chord –n: Anzahl der Knoten im P2P-Netzwerk –k: Anzahl der Schlüssel 1 Theorem Elemente werden auf die Peers wie folgt verteilt: –Falls k=O(n log n): In jedem Knoten werden höchstens O(log n + k/n log 2 n) Schlüssel gespeichert mit hoher Wkeit –Falls k= (n log n): In jedem Knoten werden höchstens O(k/n log n) Schlüssel gespeichert mit hoher Wkeit Beweis –Übung –Tipp:

25 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 24 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Die Datenstruktur von Chord Für jeden Knoten b: –successor: Nachfolger –predecessor: Vorgänger –Für i {0,..,m-1} Finger[i] := Der Knoten der dem Wert r V (b+2 i ) folgt Für kleine i werden die Finger- Einträge immer gleich –Nur unterschiedliche Fingereinträge werden gespeichert successor predecessor finger[0] finger[1] finger[2]

26 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 25 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Fingeranzahl Lemma 1.Der Ausgrad im CHORD-Netzwerk ist O(log n) mit hoher Wkeit 2.Der Eingrad im CHORD-Netzwerk ist O(log 2 n) mit hoher Wkeit Beweis 1.Der minimale Abstand zweier Peers ist 2 m /n c (mit hoher Wkeit) – Damit ist der Ausgrad beschränkt durch c log n (mit hoher Wkeit) 2.Der maximale Abstand zweier Peers ist O(log n 2 m /n) – Jeder Peer, der mit einem seiner Finger auf diese Linie zeigt, erhöht den Eingrad des nachstehenden Peers. – Die Gesamtlänge der Streckenabschnitte, wo solche Peers liegen ist O(log 2 n 2 m /n) – Damit ist w=O(log 2 n) b b.finger[m] a.finger[m-1] xy a

27 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 26 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Suchen in Chord Theorem Die Suche braucht mit hoher Wkeit O(log n) Sprünge Suchalgorithmus für Element s: –Abbruch(b,s): Knoten b,b=b.succ gefunden, mit r K (s) [r V (b),r V (b)| –Hauptroutine: Starte mit irgendeinem Knoten b while not Abbruch(b,s) do for i=m downto 0 do if r K (s) [r V (b.finger[i]),r V (finger[i+1])] then b b.finger[i] fi od b s b.finger[m] b.finger[m-1] c xy

28 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 27 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer b s b.finger[m] b.finger[m-1] c xy Suchen in Chord Theorem Die Suche braucht mit hoher Wkeit O(log n) Sprünge Beweis: Mit jedem Sprung wird die Entfernung zum Ziel mindestens halbiert Zu Beginn ist der Abstand höchstens 2 m Der Mindestabstand zweier benachbarter Peers ist 2 m /n c mit hoher Wkeit Damit ist die Laufzeit beschränkt durch c log n

29 Algorithmen für Peer-to-Peer- Netzwerke 28 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Christian Schindelhauer Einfügen von Peers Theorem O(log 2 n) Nachrichten genügen mit pol. Wkeit, um Peers in CHORD aufzunehmen Beweisidee oZuerst wird Zielgebiet in O(log n) Schritten gesucht oDie ausgehenden Zeiger werden vom Vorgänger und Nachfolger übernommen und angepasst –Die Zeiger müssen jeweils um bis zu O(log n) Schritte entlang des Rings angepasst werden oDer Eingrad des neuen ist mit hoher Wkeit O(log 2 n) –Zu suchen kostet jeweils O(log n) –Diese sind jeweils in Gruppen von maximal O(log n) benachbart. –Damit fallen nur O(log n) Suchen á Kosten O(log n) an –Die Aktualisierung hat jeweils konstante Kosten

30 29 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Heinz Nixdorf Institut & Institut für Informatik Universität Paderborn Fürstenallee Paderborn Tel.: / Fax: / Vielen Dank Ende der 5. Vorlesung Nächste Vorlesung: Fr Uhr Nächste Übung: 6. Übung Mo ,12,16 Uhr (A,B,C)


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