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X = log a c a x = c Wert einer Potenz wird gesucht Der Logarithmus ist die Zahl, mit der man eine gegebene Basis potenzieren muß, um eine bestimmte Zahl(Numerus)

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Präsentation zum Thema: "X = log a c a x = c Wert einer Potenz wird gesucht Der Logarithmus ist die Zahl, mit der man eine gegebene Basis potenzieren muß, um eine bestimmte Zahl(Numerus)"—  Präsentation transkript:

1 x = log a c a x = c Wert einer Potenz wird gesucht Der Logarithmus ist die Zahl, mit der man eine gegebene Basis potenzieren muß, um eine bestimmte Zahl(Numerus) zu erhalten. Gültigkeitsumfang: a IR + \ {1} ; c IR + ; x IR Basis einer Potenz wird gesucht M 0.8 Logarithmen Potenzieren: a x = c Radizieren: a x = c a = Gegeben ist die Gleichung : a x = c Wir unterscheiden, je nachdem was gesucht wird: Logarithmieren: a x = c Exponent einer Potenz wird gesucht x = log a c 1. Umkehrung des Potenzierens 2. Umkehrung des Potenzierens Sprechweise: x ist der Logarithmus von c zur Basis a Definition des Logarithmus Seitenwechsel

2 Beispiele: M log 3 9 = log = log = log 3 (1/9) = log 10 (1/10) = log 10 1 = log , weil 3 2 = 9 3, weil 5 3 = 125 2, weil 10 2 = , weil 3 -2 = 1/9 -1, weil = 1/10 0, weil 10 0 = 1 2,1, weil 3 2,1 10 An einem Zahlenbeispiel wird noch einmal der Zusammenhang zwischen Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren gezeigt: 4 3 = 64 log 4 64 = 3 Achtung : Weiterklicken erst nach selbständigem Lösen der Logarithmen. Bitte auch jeweils Begründung überlegen. Seitenwechsel

3 0.8.2 Logarithmengesetze Multiplikation: log a (bc) = log a b + log a c Beweis über Zahlenbeispiel: log 2 (832) = ? log 2 (256) = 8 weil 2 8 = 256 log 2 (8) = 3 weil 2 3 = 8 log 2 (32) = 5 weil 2 5 = 32 8 = also ist log 2 (832) = log 2 (8) + log 2 (32) Division: b log a (--) = log a b - log a c c Beweis über Zahlenbeispiel: log 2 (64/4) = ? log 2 (16) = 4 weil 2 4 = 16 log 2 (64) = 6 weil 2 6 = 64 log 2 (4) = 2 weil 2 2 = 4 4 = also ist log 2 (64/4) = log 2 (64) - log 2 (4) M Seitenwechsel

4 Potenzieren: log a (b n ) = nlog a b Beweis über Zahlenbeispiel: log 2 (4 3 ) = ? log 2 (64) = 6 weil 2 6 = 64 log 2 (4 3 ) = log 2 (444) = log log log 2 4 also ist log 2 (4 3 ) = 3log 2 (4) Radizieren: Beweis über Zahlenbeispiel: log 2 = log 2 4 = ? log 2 4 = 2 weil 2 2 = 4 log 2 (16) 1/2 = 1/2 log 2 16 = 1/2 4 = 2 also ist log 2 = 1/2 log 2 (16) M = log a = log a b log 2 16 = 4 weil 2 4 = 16 Seitenwechsel

5 M Prüfung des Gültigkeitsumfang für x = log a c: Der Logarithmus x kann jede beliebige reelle Zahl sein( siehe vorhergehende Beispiele ) x IR Kann man auch den Logarithmus einer negativen Zahl bilden? z.B. : log 3 (-27) = x 3 x = -27 Es gibt keine reelle Zahl, die diese Gleichung erfüllt, d.h. c darf keine negative Zahl sein. c IR + Kann man auch den Logarithmus von 0 bilden? z.B. : log a 0 = x a x = 0 Es gibt keine reelle Zahl, die diese Gleichung erfüllt, d.h. c darf nicht 0 sein Welche Werte sind für die Basis a möglich? a<0 : x = log -2 8 (-2) x = 8 keine Lösung a=0 : x = log 0 8 (0) x = 8 keine Lösung a=1 : x = log 1 8 (1) x = 8 keine Lösung 0 < a < 1 : x = log 0,5 0,125 (0,5) x = 0,125 x = 3 a IR + \{1} auch aus den Beispielen auf der Seite davor Seitenwechsel


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