Symmetrie in dynamischen Systemen

Präsentation zum Thema: "Symmetrie in dynamischen Systemen"—  Präsentation transkript:

1 Symmetrie in dynamischen Systemen

2 Inhalt Symmetrie Symmetrie in Bewegungen: Gekoppelte Pendel
Schwingungen in Molekülen Gasen bei unterschiedlichen Drucken Festkörpern Verwandtschaft zur Form der Orbitale

3 Gekoppelte Pendel

4 Symmetrie des Aufbaus Spiegelebene

5 Erste Eigenschwingung
Spiegelebene

6 Zweite Eigenschwingung
„Umfärbende“ Spiegelebene „Umfärbend“ bezeichnet die Eigenschaft, dass die Auslenkung des Pendels links aus der Spiegelung der des Pendels rechts folgt, wenn das Spiegelbild „umgefärbt“, d. h. das Vorzeichen der gespiegelten Auslenkung mit „ -1“ multipliziert wird

7 Gekoppelte Pendel Schwingungsart Symmetrie bei Spiegelung Muster Erste
Eigenschwingung Symmetrisch Zweite Eigenschwingung „Antisymmetrisch“ Beliebig, das ist eine Überlagerung beider Eigenschwingungen Unsymmetrisch

8 Effekt der Kopplung Ohne Kopplung: Beide Oszillatoren zeigen die gleiche Eigenfrequenz Mit Kopplung: Zwei „Schwingungsmoden“ mit unterschiedlichen Eigenfrequenzen und unterschiedlichen Symmetrie Eigenschaften

9 Gekoppelte Schwingungen in der Materie
Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“ Bei Teilchenzahl n wächst - im dreidimensionalen Raum - die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften Energie-Werten An jeder Eigenschwingung sind immer alle Oszillatoren beteiligt

10 Beispiele „Gekoppelte Pendel“ Kopplung zwischen Gas-Molekülen
Orbitale des Elektronensystems Molekülschwingungen Schwingungen im Festkörper, „Phononen“

11 Molekülschwingungen, Beispiel CO2, erste Streckschwingung, symmetrisch
z x

12 Beispiel CO2, zweite Streckschwingung antisymmetrisch
x

13 Beispiel CO2, erste Deformationsschwingung
z x

14 Beispiel CO2, erste Deformationschwingungen, Ansicht von der Längs-Seite
z y

15 Beispiel CO2, zweite Deformationschwingung, Ansicht von der Längs-Seite
y

16 Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?
Symmetrieeigenschaften dieser Schwingungen bei der Einheitsoperation, Drehung und Spiegelung 1 ja nein Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?

17 Zu wenig Stoß-Anregung bei zu niederem Druck
Verbreiterung der Emissionslinien von Hg-Gas durch Kopplung der Atome bei Druck-Erhöhung Zu wenig Stoß-Anregung bei zu niederem Druck atm 0,5 atm 1 atm Linienverbreiterung durch starke Kopplung zwischen den Elektronen während des Übergangs 10 atm 50 atm 200 atm Kopplung durch Druck erzeugt neben den Linie der freien Atome neue Zustände mit benachbarten Frequenzen Quelle:

18 Kristalline Festkörper
Bei n Teilchen gibt es n „Schwingungsmoden“ mit Auslenkungsmuster unterschiedlicher Symmetrie Die n Eigenfrequenzen der Moden liegen zum Teil sehr dicht beisammen, es entstehen Energiebänder Normalschwingungen der Teilchen in kristallinen Festkörpern werden „Phononen“ genannt

19 Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

20 Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle
Translation Innere Schwingung Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

21 Beispiel für eine Eigenschwingung

22 Symmetrie in der Atomphysik
Orbital (1) eines s-Elektrons, (2) eines p-Elektrons, (3) Orbitale von drei d-Elektronen. Gezeichnet sind die Gebiete, in denen die Teilchen bei vielen Beobachtungen in mindestens 95% aller Beobachtungen angetroffen werden („mit 95%iger Wahrscheinlichkeit“).

23 Bohr- und Orbital Modell für He, zwei Elektronen, Bahn s
Von gleicher Energie sind maximal zwei Elektronen (z.B. in He), die sich ihrem Eigendrehimpuls, dem „Spin“ unterscheiden Links: Bohrs Modell Rechts: Orbital-Modell, zwei Elektronen mit Hauptquantenzahl 1, s Orbital mit Drehimpuls 0, diese Elektronen haben nur potentielle Energie

24 Bohr- und Orbital Modell für Be, vier Elektronen, Bahn s
Zwei weitere Elektronen (Beryllium hat 4) liegen auf einer „neuen“ Schale mit Energie zur Hauptquantenzahl 2 Rechts: Orbital-Modell, zwei Elektronen mit Hauptquantenzahl 1, s Orbital mit Drehimpuls 0, zwei weitere mit Hauptquantenzahl 2, s Orbital mit Drehimpuls 0. Alle Elektronen haben nur potentielle Energie

25 Be in angeregtem Zustand
Das Orbitalmodell zeigt die zwei weiteren Elektronen in einem „angeregten Zustand“ mit Energie zur Hauptquantenzahl 2, aber dem Orbital p mit Drehimpulsquantenzahl 1: Diese Elektronen haben neben potentieller auch kinetische Energie

26 Bahnen und Orbitale Orbitale zeigen Aufenthalts-Wahrscheinlichkeiten. Die Animationen sind Versuche, die Verwandtschaft bzw. Unterschiede zum Bohr-Modell darzustellen. Die im Orbitalmodell gezeigte „Bahnen“ variieren in Wirklichkeit ständig, fest ist nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit mit Form und Symmetrie der Orbitale

27 Zusammenfassung Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“ Bei Teilchenzahl n im R3 wächst deshalb die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n In Molekülen und Kristallen gibt es 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften Energie-Werten Die Elektronen um einen Atomkern auf einer Schale bilden ein gekoppeltes System: Die Formen der Orbitale unterscheiden sich deshalb in ihren Symmetrie-Eigenschaften

28 finis