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Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, 23.05.2013 1 VL9.Elemente der Quantenmechanik IV 9.1. Schrödingergleichung mit beliebigem Potential 9.2. Harmonischer.

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1 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, VL9.Elemente der Quantenmechanik IV 9.1. Schrödingergleichung mit beliebigem Potential 9.2. Harmonischer Oszillator 9.3. Drehimpulsoperator VL10.Das Wasserstofatom in der QM (I) SG in einem kugelsymmetrischen Potential Quantenzahlen des Wasserstoffatoms Winkelabhängigkeit (Kugelflächenfunktionen) VL 11 VL11. Das Wasserstofatom in der QM II Radiale Abhängigkeit (Laguerre-Polynome) Energiezustände des Wasserstoffatoms

2 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Zum Mitnehmen Die dreidimensionale SG für das H-Atom lässt sich wegen der Kugelsymmetrie des Potentials in drei eindimensionale Gleichungen der Kugelkoor. r, und φ umformen. Die Wellenfkt. kann als Produkt geschrieben werden, wobei ψ vom Potential abhängt und die Kugelflächenfkt. Y durch den Drehimpuls für alle kugelsymmetrischen Potentiale bestimmt wird.

3 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Kugelflächenfunktionen in realen Linearkomb.

4 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Lösung der Radialabhängigkeit der SG h h /2 (praktisch null)

5 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Lösung der Radialgleichung ħ ħ ħ

6 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, erwarte Aufenthaltswahrs. maximal für bestimmte Bahnen zwischen r und r+dr. Definiere W(r)=r R(r), so dass 4 |W| 2 dr die Wahrscheinlichkeit angibt, dass Elektron in Kugelschale zwischen r und r+dr zu finden. Setzt man R(r) = W(r)/r in Radialgl. ein, dann findet man für r : W= Ae ikr + Be -ikr mit k=((2μE))/ħ Randbedingungen für Radialgleichung:

7 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Lösung der Radialgleichung

8 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Lösung der Radialgleichung

9 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Lösung der Radialgleichung Lösung: Laguerre Polynome Quantelung von a aus Randbedingung: Wellenfkt =0 im

10 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Lösungen der SG für QZ n,l,m

11 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Nomenklatur

12 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Nomenklatur

13 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Radialfunktionen

14 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Radialer Aufenthalts- wahrscheinlichkeit

15 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Vergleich mit Bohrschen Atommodell Benutze

16 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Räumliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit

17 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Zusammenfassung

18 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Zusammenfassung Winkelabhängigkeit

19 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Zusammenfassung radialer Abhängigkeit

20 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Zusammenfassung der Energieniveaus

21 Wim de Boer, Karlsruhe Atome und Moleküle, Zum Mitnehmen Die dreidimensionale SG für das H-Atom lässt sich wegen der Kugelsymmetrie des Potentials in drei eindimensionale Gleichungen der Kugelkoor. r und φ umformen. Die Wellenfkt. Die drei unabhängige Gleichungen führen zu drei Randbedingungen, mit drei Quantenzahlen: n,l,m, wobei die Hauptquantenzahl n die Energie bestimmt, l die Quantelung des gesamten Drehimpulses und m die z-Komponente des Drehimpulses. Zu jeder Energiewert gehören k= l=0 n-l (2l+1) =n 2 Eigenfunktionen, alle mit der gleichen Energie (n 2 -fach entartet).


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