Knoten- und Maschenregel

Präsentation zum Thema: "Knoten- und Maschenregel"—  Präsentation transkript:

1 Knoten- und Maschenregel
Analyse von Schaltungen mit vernetzen Bauteilen

2 Inhalt Die Maschenregel
Anwendung auf die Brückenschaltung im EKG Versuch Messung eines unbekannten Widerstands Messung einer Spannung ohne Stromentnahme aus dieser Quelle * * Klingt wie ein Widerspruch: Spannungsmessung ist eine Transportmessung und erfordert daher Stromfluss

3 Kirchhoffsche „Maschenregel“
In statischen Feldern sind die Potentiale vom Weg unabhängig Deshalb ist die Summe über alle Spannungen auf einem beliebigen geschlossenen Weg innerhalb einer Schaltung Null N Anzahl der Spannungsquellen in der „Masche“, der Bezeichnung für einen „geschlossenen Weg“

4 Anleitung zur Kirchhoffschen „Maschenregel“
Von einem beliebigen Punkt ausgehend bewegt man sich auf einem geschlossenen Weg in gleich bleibendem Umlaufsinn, und summiert die Spannungen über allen Bauteilen auf diesem Weg (Spulen, Kondensatoren, ohmschen Widerständen) Induzierte Spannungen werden als Spannungsquellen - wie Batterien- behandelt Den Weg wählt man z.B. in Richtung des technischen Stromflusses von Plus nach Minus zwischen zwei Bauteilen, Spannungen aus Spannungsquellen, die von Minus nach Plus durchlaufen werden, erhalten ein negatives Vorzeichen

5 Maschenregel zur Messung eines unbekannten Widerstands (1)
Strom I2 Rx R4 Strom I1 R1 R2 1 I2· Rx + I2· R4 = U0 Spannung über Masche R3, R4, U0 2 I1· R1 + I1· R2 = U0 Spannung über Masche R1, R2, U0 3 I2· Rx = I1· R1 Spannung über Masche R1, R3 Analyse der abgeglichenen Brücke mit der Maschenregel Die Analyse liefert drei Gleichungen: Sie erlauben die Bestimmung von drei Unbekannten, z. B. der beiden Ströme und eines unbekannten Widerstands Rx

6 Messung eines unbekannten Widerstands (2)
Strom I2 Rx R4 Strom I1 R1 R2 1 I2· Rx + I2· R4 = U0 Spannung über Masche R3, R4, U0 2 I1· R1 + I1· R2 = U0 Spannung über Masche R1, R2, U0 3 I2 = I1· R1 / Rx Spannung über Masche R1, R3 1 I1· R1 + I1· R1 · R4 / Rx = U0 2 I1· R1 + I1· R2 = U0 I1· R1 + I1· R1 · R4 / Rx = I1· R1 + I1· R2 Elimination von I2

7 Messung eines unbekannten Widerstands (3)
Strom I2 Rx R4 Strom I1 R1 R2 1 R1 + R1 · R4 / Rx = R1 + R2 R1 · R4 / Rx = R2 R1 · R4 / R2 = Rx Unbekannter Widerstand Rx Elimination von I1, , Auflösung nach Rx

8 Messung einer unbekannten Spannung ohne Strom-Entnahme (1)
„Brücken-“ oder Kompen-sations-Schaltung Ux Fließt kein Strom über das Instrument, dann wird das Potential Ux ohne Strom-Entnahme aus dieser Quelle gemessen R1 R2 Lx U0 1 I1· R1 = Ux Spannung über Masche Ux, R1 2 I1· R1 + I1· R2 = U0 Spannung über Masche R1, R2, U0 Diese Messung prüft die Feldstärke über dem Messinstrument und nicht die Spannung Ux . Über der Brücke wird mit Stromfluss eine Spannung aufgebaut, ist sie gleich Ux , dann verschwindet die Feldstärke – das Ziel der Messung ist erreicht

9 Messung einer unbekannten Spannung ohne Strom-Entnahme (2)
„Brücken-“ oder Kompen-sations-Schaltung Ux Fließt kein Strom über das Instrument, dann wird das Potential Ux ohne Strom-Entnahme aus dieser Quelle gemessen R1 R2 Lx U0 Ux + Ux · R2 / R1 = U0 I1 aus (1) in (2) eingesetzt Ux = U0 · R1 / (R1+ R2) Unbekannte Spannung bei abgeglichener Brücke Ux = U0 · Lx / L Die Länge der Brücke sei L, R~L

10 Die Summe der Ströme bleibt konstant
Knotenregel Rx R4 Strom I2 Strom I1 R1 R2 Strom I0 1 I1+ I2 = I0 Die Summe der Ströme bleibt konstant Die Knotenregel besagt, dass bei Verzweigungen kein Strom verloren geht

11 Zusammenfassung Maschenregel: Die Summe über alle Spannungen auf einem beliebigen geschlossenen Weg (einer „Masche“) innerhalb einer Schaltung ist Null Von einem beliebigen Punkt ausgehend bewegt man sich in Richtung des technischen Stromflusses, von Plus nach Minus, auf einem geschlossenen Weg und summiert alle Spannungen über den Bauteilen Spannungen aus Spannungsquellen, die von Minus nach Plus durchlaufen werden, werden mit negativem Vorzeichen in die Summe aufgenommen Induzierte Spannungen werden als Spannungsquellen - wie Batterien- behandelt Die Anwendung der Kirchhoffschen Maschenregel legt die Vorzeichen der „über den Bauteilen abfallenden Spannungen“ fest Knotenregel: bei Verzweigungen bleibt die Summe der Ströme konstant Mithilfe von Knoten- und Maschenregel sammelt man Gleichungen mit den elektrischen Eigenschaften der Bauteile, den Spannungen und Strömen. Die Lösung dieses Gleichungssystems zeigt die gesuchten Größen

12 finis R3 R4 Strom I1 R1 R2 Potential-Messung (=Messung der Überführungsarbeit) erfordert Ladungstransport, das ist Stromfluss: Deshalb ist eine leitende Umgebung erforderlich: Der „Elektrolytische Trog“