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08-11-05 © Roland Angst 8. Übungsstunde Zeit:13h-15h Datum: 6.11.08 Raum: IFW B42 Linear Algebra HS08.

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1 © Roland Angst 8. Übungsstunde Zeit:13h-15h Datum: Raum: IFW B42 Linear Algebra HS08

2 © Roland Angst Organisatorisches Wechsel des Dozenten und Hauptassistenten Prof. Marc Pollefeys Vorlesung in Englisch Roland Angst

3 © Roland Angst Organisatorisches Theoretische Aufgaben Behebe klar ersichtliche Fehler (Gegenprobe) Nicht einfach im Kommentar Rechenfehler erwähnen Lösungsweg sollte klar ersichtlich sein Praktische Aufgaben gesunden Menscherverstand einsetzen Nicht eingebaute Matlab-Funktion aufrufen um eigentliche Aufgabe zu umgehen In Zukunft striktere Korrektur

4 © Roland Angst Neue Übung (Serie 7) Spätester Abgabetermin: 20. November theoretische + 1 praktische Aufgaben

5 © Roland Angst Repetition: Vektorraum Nichtleere Menge mit zwei Operationen Addition: Skalare Multiplikation: Mit 8 Axiomen V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 Skalarenkörper

6 © Roland Angst Beispiele Im Intervall [a,b] definierte, stetig reelle Funtionen Punktweise Addition Punktweise skalare Multiplikation: Im Intervall [a,b] m-mal stetig differenzierbare Funktionen Polynome mit maximalem Grad m Details siehe später

7 © Roland Angst Körper Nichtleere Menge mit zwei Operationen Addition: Multiplikation: Mit 10 Axiomen

8 © Roland Angst Definitionen Linearkombination einer Vektormenge Beispiel

9 © Roland Angst Definitionen Aufgespannter (oder erzeugter) Unterraum einer Vektormenge Menge aller möglichen Linearkombinationen Beispiele Polynome vom max. Grad m Spalten einer Matrix (siehe Aufg. 7.1 & 7.2.b)

10 © Roland Angst Definitionen Linear unabhängige Vektormenge Linear abhängige Vektormenge ist Linearkombination der restlichen Vektoren

11 © Roland Angst Aufgabe 7.1 Abhängigkeiten von Vektoren Linear abhängig? Nicht-triviale Lösung für Errinnerung: Aufgespannter Unterraum einer Vektormenge

12 © Roland Angst Aufgabe 7.1 Abhängigkeiten von Vektoren Linear abhängig? Nicht-triviale Lösung für Rang von A < n Mittels Gauss-Elimination zu bestimmen Linear unabhängig? Rang von A = n (vollen Spaltenrang) Erzeugend? Jeder Vektor des Vektorraums lässt sich als Linearkombination des Erzeugendensystems darstellen Gleichungssystem hat Lösung für jede RHS Rang von A = m (vollen Zeilenrang)

13 © Roland Angst Aufgabe 7.1 Linear unabhängig Rang von A = n (vollen Spaltenrang) Linear abhängig Rang von A < n (nicht triviale Lösungen) Erzeugend Rang von A = m (vollen Zeilenrang) Basis reguläre Matrix Rang von A = n = = = =

14 © Roland Angst Aufgabe 7.2 Unterräume Nichtleere Teilmenge U eines Vektorraums V die bzgl. Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist Ein Unterraum ist selbst auch ein Vektorraum

15 © Roland Angst Aufgabe 7.2 Wie zeigt man ob U ein Unterraum von V ist? Abgeschlossen bzgl. Addition Abgeschlossen bzgl. Skalarer Multiplikation Beispiele Ist der Nullraum ein Unterraum? Falls ja, von welchem Vektorraum? Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems ? Beweis, Gegenbeispiel?

16 © Roland Angst Aufgabe 7.2 Aufgabe 7.2.a Zeige wieso Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems kein Unterraum ist Aufgabe 7.2.b Zeige, dass ein Unterraum ist.

17 © Roland Angst Aufgabe 7.3 = Vektorraum der Polynome vom maximalen Grad m Addition Skalare Multiplikation Rein algebraische Definition Potenzen sind Platzhalter Dimension dieses Vektorraums?

18 © Roland Angst Aufgabe 7.3.a Basis für Polynom-Vektorraum Erzeugend Linear unabhängig Standardbasis Monome: Erzeugend Linear unabhängig

19 © Roland Angst Aufgabe 7.3.a Vektorraum: Mögliche Basis: Tipp: Satz 4.12 Jeder Vektor? Wähle Monombasis

20 © Roland Angst Aufgabe 7.3.a Zu zeigen Jedes Polynom in Monombasis impliziert eine eindeutige Linearkombination bzgl. Basispolynomen der anderer Basis ist bekannt in Monombasis Einsetzen Koeffizientenvergleich der Monomterme Liefert Gleichungssystem für

21 © Roland Angst Aufgabe 7.3.b Trivial, wenn 7.3.a gelöst…

22 © Roland Angst Aufgabe 7.3.c Polynom in unserer Basis Gegeben 4 Funktionswerte yi an 4 verschiedenen Stellen ti 4 Bedingungen…

23 © Roland Angst Aufgabe 7.4 Matlab-Aufgabe Implementiere Vorgehen in Aufgabe 3.c in Matlab Für beliebig viele Basispolynome der gegebenen Form (d.h. auch für mehr als m = 3) 2 Funktionen a = interpol(t,f) A: Koeffizienten t: Stützstellen f: Funktionswerte f = eval_poly(a,t,tau) A: Koeffizienten t: Stützstellen tau: Auswertestellen f: Funktionswerte

24 © Roland Angst Aufgabe 7.4 Wie kann diese Polynombasis effizient ausgewertet werden?

25 © Roland Angst Serie 6 Abgabe nächste Woche Fragen? Probleme?

26 © Roland Angst Vorlesung Fragen? Probleme?

27 © Roland Angst Nachbesprechung Serie 4 Bestimme sodass orthogonal ist Mehrere Bedingungen an Sind alle erfüllt? Fallunterscheidungen Komplexe Zahlen x liegt auf Einheitskreis der komplexen Ebene

28 © Roland Angst Nachbesprechung Serie 4 Matlab-Aufgabe Forward- und Backwardsubstitution Matrixprodukte anstatt Schleifen Gesunder Menschenverstand welche eingebauten Matlabfunktionen verwendet werden können!

29 © Roland Angst Nachbesprechung Serie 4 Individuelle Fehler Bei Unklarheiten zur LR-Zerlegung Skript Mich fragen Genereller Tipp Den Zug nicht abfahren lassen Lücken aufarbeiten um der Vorlesung folgen zu können


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