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Folie 1 §14 Basis und Dimension (14.1) Definition: V sei wieder ein K-Vektorraum. Eine Menge B von Vektoren aus V heißt Basis von V, wenn B ist Erzeugendensystem.

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1 Folie 1 §14 Basis und Dimension (14.1) Definition: V sei wieder ein K-Vektorraum. Eine Menge B von Vektoren aus V heißt Basis von V, wenn B ist Erzeugendensystem von V, und B ist linear unabhängig. (14.2) Beispiele: 1 o {e 1, e 2,..., e n } aus K n ist Basis von K n : Nach o Erzeugendensystem, nach o linear unabhängig. 5 o Ebenso: {T k : k aus N} ist Basis von K[T]. 4 o Die Menge ist Basis von K (M). 2 o Auch {e 1 +e 2, e 1 -e 2, e 3..., e n } ist eine Basis von K n, wenn in K die Gleichung 2x = 0 nur die Lösung x = 0 hat, z.B. K aus {R,C,Q}. 3 o Aber für x aus K n ist {x, e 1, e 2,..., e n } keine Basis von K n, vgl o. 6 o Die leere Menge ist Basis von {0}

2 Folie 2 Kapitel III, §14 Die grundlegenden Fragestellungen zum Basisbegriff: mit b k aus B und s k aus K\{0}. 1 o B ist Basis von V. 3 o B ist minimales Erzeugendensystem, d.h. B erzeugt V und für jede echte Teilmenge A von B ist A nicht Erzeugendensystem von V. 2 o Jeder Vektor x aus K hat eine eindeutige Darstellung als Linearkombination (bis auf die Reihenfolge der Summation) x = s 1 b 1 + s 2 b s m b m. 1 o Hat jeder K-Vektorraum eine Basis? (14.3) Lemma: B sei ein Erzeugendensystem des K-Vektorraums V. Die folgenden Aussagen sind dann äquivalent: 2 o Steht die Anzahl der Basiselemente (im Falle der Existenz) fest?

3 Folie 3 Kapitel III, §14 3 o Wie kann die Gesamtheit der Basen (im Falle der Existenz) beschrieben werden? 1 o V besitzt eine endliche Basis. (14.4) Satz: V sei ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Dann: Je zwei Basen haben gleichviel Elemente. (14.5) Basissatz (für endlich erzeugte Vektorräume): V sei ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit einem Erzeugendensystem E. Dann gilt: Zur Frage 2 o : Zur Frage 1 o : o {b 1, b 2,... b r } aus V sei linear unabhängig. Dann ist {b 1, b 2,... b r } eine Basis von V, oder man findet b r+1, b r+2,..., b n in E, so dass {b 1, b 2,... b r, b r+1,..., b n } eine Basis von V ist.

4 Folie 4 Kapitel III, §14 (14.6) Definition: Die nach 14.4 eindeutig bestimmte und nach 14.5 existierende Zahl n aus N eines endlich erzeugten Vektorraumes V heißt die Dimension von V. Notation: dim V = n. 3 o Die Basis B nach 1 o kann als Teilmenge von E gewählt werden. Notation, wenn klargestellt werden soll, dass die Dimension sich auf den Körper K bezieht: dim K V = n. 1 o dim K n = n, auch für n = 0. 5 o V sei endlich erzeugt. Dann gilt: 2 o dim {(x,y,0) T aus K 3 : x,y aus K} = 2. (14.7) Beispiele: 3 o dim {(x+y,0,x-y) T aus R 3 : x,y aus R} = 2. dim V = min{n aus N : je n+1 Elemente aus V sind linear abhängig} 4 o dim C C = 1, aber dim R C = 2.

5 Folie 5 Kapitel III, §14 Die letzte Formel hat ihre Gültigkeit insbesondere auch für V = 0. Sie gibt auch Sinn für Vektorräume, die nicht endlich erzeugt sind: (14.9) Dimensionssatz: Für einen K-Vektorraum V gilt 1 o entweder hat V die endliche Dimension n aus N ; und das bedeutet: V besitzt n linear unabhängige Vektoren und je n+1 sind linear unabhängig. 2 o oder V ist unendlichdimensional; und das bedeutet, dass es zu jedem n aus N mindestens n linear unabhängige Vektoren gibt. (14.8) Definition: Die Dimension eines nicht endlich erzeugten Vektorraumes wird als unendlich definiert: Zusammenfassend haben wir damit den: 1 o Jeder Untervektorraum U eines endlichdimensionalen Vektorraumes V ist endlichdimensional. (14.10) Beispiele:

6 Folie 6 Kapitel III, §14 3 o Auch die Folgenräume in 10.6 sind unendlichdimensional. (14.11) Satz: Auch jeder unendlichdimensionale Vektorraum hat eine Basis. 2 o K[T] ist unendlichdimensional, ebenso K M und K (M) für unendliche Mengen M. Das ist für K[T] und K (M) evident, weil wir eine Basis direkt angeben können. Beispiel: Für R als Vektorraum über Q ist keine Basis bekannt. Ohne Beweis zitieren wir: 4o4o Im allgemeinen beruht der Satz auf dem Wohlordnungsaxiom,bzw. dem Lemma von Zorn ; der Beweis ist nicht konstruktiv!


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