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Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden.

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Präsentation zum Thema: "Prof. Dr. E. Larek17.06.20091 Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden."—  Präsentation transkript:

1 Prof. Dr. E. Larek Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden.

2 Prof. Dr. E. Larek Die lineare Algebra erlaubt eine vereinfachte Darstellung komplizierter ökonomischer Probleme, die dann mit der vorhandenen Computertechnik effektiv bearbeitet werden können.

3 2. Matrizen 2.1 Matrizenoperationen Addition und Subtraktion Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix 2.2 Eigenschaften von Matrizen 2.3 Lineare Abhängigkeit und Rang 2.4 Anwendungen Prof. Dr. E. Larek

4 Ein rechteckiges Schema von mn geordneten Elementen a ik wird Matrix A genannt. Prof. Dr. E. Larek

5 Das Format oder der Typ einer Matrix A wird durch das geordnete Paar ( m, n ) angegeben. Prof. Dr. E. Larek Vektoren sind Matrizen mit nur einer Zeile oder einer Spalte.

6 Zwei Matrizen A und B sind dann und nur dann gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und alle entsprechenden Elemente überein stimmen. Prof. Dr. E. Larek

7 Wenn in einer Matrix A alle Zeilen und alle Spalten miteinander vertauscht werden, erhält man die transponierte oder gestürzte Matrix A T. Prof. Dr. E. Larek

8 Eine quadratische Matrix A ist vom Format oder vom Typ ( n, n ) bzw. von der Ordnung n. Prof. Dr. E. Larek Eine quadratische Matrix A ist symmetrisch, wenn A T = A gilt.

9 Eine Blockmatrix oder Hypermatrix ist eine Matrix, deren Elemente wiederum Matrizen sind. Prof. Dr. E. Larek

10 Für die Addition von zwei Matrizen A und B gelten das Kommutativgesetz A + B = B + A sowie das Assoziativgesetz A +B +C = (A +B) +C = A +(B +C). Prof. Dr. E. Larek

11 Man multipliziert eine Matrix A mit einem Skalar k, indem man jedes Element a ik mit dem Skalar k multipliziert. Prof. Dr. E. Larek k A = A k = (k a ik )

12 Das Skalarprodukt a T b zweier Spaltenvektoren a und b entsteht durch paarweise Multiplikation der Elemente dieser beiden Vektoren und anschließender Addition. Prof. Dr. E. Larek

13 Zwei Matrizen A und B heißen verkettet, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist. Prof. Dr. E. Larek

14 Das Produkt C zweier verketteter Matrizen A und B besitzt die Elemente c ik, die aus dem Skalarprodukt der i -ten Zeile von A mit der k -ten Spalte von B berechnet werden. Prof. Dr. E. Larek

15 Prof. Dr. E. Larek

16 Für die Matrizenmultiplikation gelten das Distributivgesetz (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC und das Assoziativgesetz ABC = (AB)C = A(BC), falls die Zwischensummen und Produkte existieren. Prof. Dr. E. Larek

17 In einer Nullmatrix 0 sind alle Elemente null. Prof. Dr. E. Larek Eine Einheitsmatrix E ist eine Diagonalmatrix mit a ii = 1 für alle i. In einer Diagonalmatrix D sind alle Elemente a ik = 0 für i k.

18 Eine orthogonale Matrix A ergibt bei Multiplikation mit der Transponierten A T die Einheitsmatrix E. Prof. Dr. E. Larek A T A = A A T = E

19 Eine Matrix ist regulär, wenn die Determinante det( A ) 0 ist. Prof. Dr. E. Larek Für eine singuläre Matrix A erhält man die Determinante det( A ) = 0.

20 Die Matrix A -1 ist inverse Matrix von A, wenn A A -1 = A -1 A = E gilt. Prof. Dr. E. Larek

21 Prof. Dr. E. Larek Jede reguläre Matrix A besitzt eine eindeutig bestimmte inverse Matrix A -1.

22 Der Vektor a n ist Linearkombination der Vektoren a 1, a 2,..., a n -1, wenn a n = l 1 a 1 + l 2 a l n -1 a n -1 für gebildet werden kann. Prof. Dr. E. Larek

23 Der Vektor a n ist eine konvexe Linearkombination der Vektoren a 1, a 2,..., a n -1, wenn a n = l 1 a 1 + l 2 a l n -1 a n -1 für l i R mit l i 0 und gebildet werden kann. Prof. Dr. E. Larek

24 Die Vektoren a i mit i = 1, 2,..., n heißen linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkom- bination der übrigen Vektoren darstellen lässt. Prof. Dr. E. Larek

25 Es sind höchstens m Vektoren a i der Ordnung m voneinander linear unabhängig. Prof. Dr. E. Larek Sind n Vektoren gegeben, so beschreibt der Rang r die Anzahl linear unabhängiger Vektoren.

26 Die Matrix A hat den Rang r, wenn es eine Unterdeterminante der Ordnung r gibt, die ungleich null ist, und alle Unterdeterminanten höherer Ordnung verschwinden. Prof. Dr. E. Larek

27 Der Rang r einer Matrix A vom Typ ( m, n ) ist höchstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m oder n. Prof. Dr. E. Larek

28 Der Rang einer Matrix A ändert sich nicht, wenn Prof. Dr. E. Larek das k -fache einer Reihe zu einer anderen Reihe addiert wird. eine Reihe mit einem Faktor k multipliziert wird oder die Matrix transponiert wird, zwei Reihen miteinander vertauscht werden,


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