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Veröffentlicht von:Rudolf Boening Geändert vor über 10 Jahren
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Simulation komplexer technischer Anlagen
Teil II: Elemente zum Bau virtueller Anlagenkomponenten Kapitel 8: Algorithmen 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen Inhalt • Gewöhnliche Differentialgleichungen • Euler- und Differenzen-Verfahren • Verfahren höherer Ordnung • Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen Experimente: Explizite und implizite Zeitdiskretisierung am Beispiel der Wärmeleitgleichung Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Das sollten Sie heute lernen
Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung Numerische Lösung gew. Dgl‘en Differenzenverfahren implizit und explizit Eulerverfahren Diskretisierung gew. Dgl‘en Struktur von Programmen zur Lösung von Dgl‘en Ursachen für instabiles Verhalten Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Grundbegriffe aus der Theorie der Differentialgleichungen
Gleichungen zwischen Funktionen und ihren Ableitungen heißen Differentialgleichungen (Dgl). Man unterscheidet gewöhnliche Differentialgleichungen und partielle Differentialgleichungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen enthalten nur gewöhnliche Ableitungen. Als Beispiel sei die Schwingungsgleichung angeführt: Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen sind immer gewöhnliche Differentialgleichungen. Differentialgleichungen mit mehreren unabhängigen Variablen enthalten gewöhnlich partielle Ableitungen nach den einzelnen Variablen. Man spricht dann von partiellen Differentialgleichungen. Sie werden entweder direkt oder in Operatorform angeschrieben. Sei L der Operator so lautet die Schwingungsgleichung L y = f(t) L kann verschieden definiert werden. Die Ordnung n einer Differentialgleichung gibt die höchste Ableitung in der Differentialgleichung an. Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Gewöhnliche Differentialgleichungen
Zu lösen sei in a £ t £ b mit y(a) = yo Typischerweise hat bei solchen Problemen die unabhängige Variable die Bedeutung der Zeit. Yo ist dann ein Anfangswert. Von den Problemen, die im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden, fordern wir: a) Sie müssen eine eindeutige Lösung y(t) haben. b) Die Lösung darf nur vom Anfangswert abhängen. c) Sie darf sich nur wenig ändern, wenn yo oder f wenig geändert werden. Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn keine Produkte von Ableitungen auftreten und die Koeffizienten nicht von den abhängigen Variablen oder ihren Ableitungen abhängen; halb-linear, wenn in den Randbedingungen nichtlineare Funktionen der Abhängigen oder ihren Ableitungen vorkommen; quasi-linear, wenn die Differentialgleichung in ihrer höchsten Ableitung linear ist, nicht-linear, wenn die Differentialgleichung Potenzen auch der höchsten Ableitung enthält. Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Integriert man so erhält man Das Intervall tn bis tn+1 heißt Zeitschritt n+1 für einen Zeitschritt gilt: Daraus ergeben sich folgende Möglichkeiten, yn+1 zu bestimmen: 1. Integration der rechten Seite nach dem Newton-Verfahren Euler- und Runge-Verfahren. 2. Entwicklung der rechten Seite nach Lagrange-Funktionen und anschließende Integration Adams-Verfahren. 3. Näherung der Ableitung (linke Seite) durch eine Approximation der Ordnung n Gear-Verfahren. Die Verfahren werden im Folgenden kurz erläutert. Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Euler-Verfahren Euler-Verfahren entsprechen der Differenzennäherung
Der Integrand wird durch einen konstanten Wert genähert. Dazu gibt es drei Möglichkeiten: a) f (y,t) = f (yn,tn) b) f (y,t) = f (yn+1, tn+1) c) f (y,t) = f (yn+, tn+ ) mit 0 q 1 Die rechte Seite wird mit h = tn+1 - tn wird Daraus folgen 3 Bestimmungsgleichungen für a) explizites Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn, tn) b) implizites Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+1, tn+1) (entspricht Iterationsvorschrift) c) modifiziertes Euler-Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+q , tn+q) Setzt man q = 0, 5, so folgt Prediktorschritt Korrektorschritt Euler-Verfahren entsprechen der Differenzennäherung Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Diskretisierung der 1-dim stationären Wärmeleitgleichung
Diskretisierung einer elliptischen Differentialgleichung mit der Methode der finiten Differenzen am Beispiel der eindim. stationären Wärmeleitgleichung mit inneren Wärmequellen und vorgegebener Randtemperatur Modelliert wird ein isolierter Stab der Laenge 1 m mit der Wäremeleitfähigkeit Lambda = 15 W/mK. Die innere Wärmequelle sei konstant über die gesamte Stablänge. Die linke und rechte Randtemperatur, sowie die Stärke der inneren Wärmequelle können variiert werden. Das Lösungsgebiet wird durch n Lösungspunkte beschrieben. Berechnet werden insgesamt 5 Lösungen, wobei n jeweils um 2 erhöht wird. 1-dim. stationäre Wärmeleitgleichung Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Diskretisierung und Lösung der Bewegungsgleichung
dt y g 2 Die Differentialgleichung der Bewegungsgleichung lautet Ihre ana-lytische Lösung ist Um die Dgl. zu lösen muss sie zunächst in eine Differenzengleichung umgewandelt werden. An der Stelle i gilt für konstante Zeitschrittweite t: Die Diskretisierung erfolgt auf dem Maschenrand. Am linken Rand (i=0) sind als Anfangs-bedingungen und vorzugeben. Damit lautet die Gleichung für die einzelnen Punkte: Daraus ergeben sich für die Systemmatrix M und die rechte Seite R bei 5 Zeitschritten mit folgenden Bedingungen: Anfangshöhe , Anfangsgeschwin-digkeit , Zeitschrittweite t.Jetzt muss nur noch das lineare Gleichungssystem gelöst werden:My=R. Wobei y der Lösungsvektor der Fallhöhe zu dem diskreten Zeitpunkt darstellt. Aufgabe: Bestimme Zeitschrittweite, so dass exakte Lösung und Näherung in der Zeichengenauigkeit übereinstimmen. Der Versuch wird durch Klick gestartet Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
Ein System der Ordnung m wird durch m-Gleichungen definiert Diskretisiert man dieses System, so kann man für jede Gleichung eine der beschriebenen Methoden verwenden. Die Auswahl muss nach physikalischen Gesichtspunkten geschehen. Haben die Gleichung verschiedene Zeitkonstanten, wird das Gleichungssystem "steif". Dann breiten sich Fehler stark aus (implizite Lösungen). Hat man Nichtlinearitäten zu betrachten, so müssen Newton- oder Newton-Raphson-Methoden zur Lösung verwendet werden. Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Die Wärmeleitgleichung als Beispiel
Die Wärmeleitgleichung ist eigentlich eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet Diskretisiert man zunächst den x-Raum, so erhält man x xi, T Ti und oder am Ortspunkt i Das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, allerdings aus einem System von Differentialgleichungen für alle diskreten Punkte des Ortsraumes. Zur Lösung des Problems benötigen wir Die Länge des Stabes Die Zahl der Punkte i Werte für T am linken und rechten Rand Einen Wert von Die Dauer der Simulation Die Zahl der Zeitschritte Die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt 0. Die Diskretisierung ist konsistent, wenn Orts- und Zeitableitung am gleichen Raum-Zeit-Punkt erfolgen. Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Die Wärmeleitgleichung in diskreter Form
Explizites Verfahren Implizites Verfahren Gemischtes Verfahren (Zwischenschrittverfahren) Fehlerfortpflanzung beim expliziten Verfahren Für cond g = verringert sich Fehler wegen folgt, dass a beschränkt ist, Dt und Dx hängen also voneinander ab. Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Diskretisierung der Wärmeleitgleichung
Die Wärmeleitgleichung lautet Für den Versuch sollen die folgenden Bedingungen gelten. Die Diskretisierung erfolgt nach dem Differenzenverfahren mit Lösungspunkte auf dem Maschenrand Konstanten Maschenweiten Ansatz für Lösung Ansatz für Differentiale Konsistenzbedingung Lösung implizit Lösung explizit Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem expliziten Verfahren
1/2 Beim expliziten Verfahren erfolgt der Ansatz für die Diskretisierung am Zeitpunkt . Es gilt also Die Wärmegleichung in diskreter Form lautet: Nun wird die Gleichung so umgestellt, dass die Temperaturen eines Zeitpunk- tes auf einer Seite stehen: , in Matrixschreibwei- se: E ist die Einheitsmatrix und B eine Tridiagonalmatrix. Berücksichtigt man die Vorgabe Konstanter Randtemperaturen so gilt für B: Die Anfangsbedingungen, d.h. im vorgegebenen Beispiel die Anfangstemper-aturen des Stabs müssen in den Startvektor eingehen. (Für sich mit der Zeit ändernde Randbedingungen müsste bei dieser Diskretisierung der Lösungs-vektor vor jedem Zeitschritt in den Werten, die den Rand betreffen - hier erste und letzte Komponente - modifiziert werden.) Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem expliziten Verfahren
2/2 Um das Gleichungssystem , zu lösen, kann die Einheits-matrix wegfallen und der jeweils neu berechnete Temperatur-vektor wird rekursiv als Ausgangsvektor für den folgenden Zeitschritt benützt. Das explizite Verfahren konvergiert aber nur für , bei größeren Werten zeigt sich, dass die Lösung instabil ist. Bei diesem Versuch wird das Temperaturprofil eines idealisierten Stabs (ein- dimensional) bei fortlaufender Zeit visualisiert. Die Anfangstemperatur beträgt 20 Grad. Der Stabanfang wird konstant auf 100 Grad gehalten, das Stabende konstant auf 20 Grad. Für die Temperaturleitfähigkeit wird 1 angesetzt. Die Matrix B wird ebenfalls dargestellt und der erste berechnete Temperatur-vektor in schriftlicher Form gezeigt. Aufgabe: Bestimmen Sie die Zahl der Zeitschritte bis zur stationären Lösung für einen Stab der Länge 5 und 10. Untersuchung der Stabilität und der Genauigkeit. Der Versuch wird durch Klick gestartet Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem impliziten 1/1 Verfahren
Beim impliziten Verfahren erfolgt der Ansatz für die Diskretisierung am Zeitpunkt Es gilt also für die Wegdiskretisierung. Die Wärmegleichung in diskreter Form lautet: Nun wird die Gleichung so umgestellt, dass die Temperaturen eines Zeitpunk- tes auf einer Seite stehen: , in Matrixschreibwei- se: E ist die Einheitsmatrix und B eine Tridiagonalmatrix. Berücksichtigt man die Vorgabe Konstanter Randtemperaturen so gilt für B: Die Anfangsbedingungen, d.h. im vorgegebenen Beispiel die Anfangstemper-aturen des Stabs müssen in den Startvektor eingehen.(Für sich mit der Zeit ändernde Randbedingungen müsste bei dieser Diskretisierung der Lösungs-vektor vor jedem Zeitschritt in den Werten, die den Rand betreffen - hier erste und letzte Komponente - modifiziert werden.) Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem impliziten Verfahren 1/2
Um das Gleichungssystem , zu lösen, kann die Einheits-matrix wegfallen und der jeweils neu berechnete Temperatur-vektor wird rekursiv als Ausgangsvektor für den folgenden Zeitschritt benützt. Das implizite Verfahren konvergiert für alle Werte von . Der Rechenaufwand beim impliziten Verfahren ist wegen der damit verbundenen Lösung größer als beim expliziten, dafür bleibt aber das Verfahren für alle Werte stabil. Bei diesem Versuch wird das Temperaturprofil eines idealisierten Stabs (ein- dimensional) bei fortlaufender Zeit visualisiert. Die Anfangstemperatur beträgt 20 Grad. Der Stabanfang wird konstant auf 100 Grad gehalten, das Stabende konstant auf 20 Grad. Für die Temperaturleitfähigkeit wird 1 angesetzt. Die Matrix B wird ebenfalls dargestellt und der erste berechnete Temperatur-vektor in schriftlicher Form gezeigt. Aufgabe: Bestimmen Sie die Zahl der Zeitschritte bis zur stationären Lösung für einen Stab der Länge 5 und 10. Untersuchung der Stabilität und der Genauigkeit. Der Versuch wird durch Klick gestartet Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en
Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Im Folgenden ist ein typisches Flussdiagramm gezeigt. Lösung des Gleichungssystems Berechnung der rechten Seiten Neue Matrizen Nicht linear ja nein (bei Quellrechnung, Endzeitpunkt, Endgenauigkeit) Eingabe und ihre Verarbeitung Geometrie, Materialdaten, Randbedingungen, Anfangswerte Ausgabe Nein linear Erzeugung des Gleichungssystems Ende Zeitfortschaltung, Eigenwertiteration, Nichtlinearität Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Runge-Kutta-Verfahren
Verwendet man zur Integration der rechten Seite Verfahren höherer Ordnung, so erhält man die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. a) Integration mit Trapez-Regel Verfahren von Heun Lösung iterativ mit Startwert b) Iteration mit Simpson-Regel Die Simpson-Regel verwendet die Punkte tn,tn+1/2 und t n+1 zur Integration, f (y,t) muss also an diesen Punkten genähert werden. Dies leistet gerade das Runge- Kutta-Verfahren der Ordnung 4. Die Zwischenwerte werden wie folgt genähert: Für f (y,t) = f (t) degeneriert das Verfahren zur Simpson-Formel. Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Beispiel zum Runge-Kutta-Verfahren
Gegeben sei das Anfangswertproblem: = y2 mit y (0) = t 0, h = 0,1 Die exakte Lösung lautet Für und Für den Schritt n+1 folgt: Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Adams-Verfahren Eine weitere Verbesserung der Bestimmung der rechten Seite erhält man dadurch, dass man den Integranden über eine Funktionsentwicklung darstellt. Als Entwicklungskoeffizienten können die Werte der diskreten Zeitpunkte verwendet werden. Entwicklungsfunktionen sind dann wieder die Lagrange-Polynome Zum Zeitschritt n ist folgende Entwicklung möglich: mit m n Damit lässt sich f (y, t) integrieren. Die mi sind tabelliert. Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Baskford-Adams-Verfahren
Man unterscheidet zwei Fälle: a) j = 1 Verfahren nach Adams-Baskford Bestimmung von yn+1: Integration zwischen tn und tn+1 Entwicklung von f bis zur Stelle tn Aus Entwicklung bis tn wird Verlauf extrapoliert - Prediktor-Schritt. Für die Integrale ni gilt: Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Adams-Moulton-Verfahren
b) j = 0 Verfahren nach Adams-Moulton Bestimmung von yn+1 Integration zwischen tn und tn+1 Entwicklung von f bis zur Stelle tn+1 (ersetze n durch n+1 in allgemeiner Formel) Entwicklung verwendet schon Endwert - Korrektor-Schritt oder implizit. Lösungen nur iterativ. Für die Integrale ni gilt: Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Gear-Verfahren - 1 Simulation technischer Systeme, WS 02/03
Kap. 8: Algorithmen-2
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Das entspricht dem Ergebnis nach Euler
Gear-Verfahren - 2 Die allgemeine Form der Koeffizienten lautet: Das entspricht dem Ergebnis nach Euler Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Gear-Verfahren -3 Daraus folgt
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Stabilität -1 Drei Fehlerquellen können auftreten a) Näherung von
b) Näherung des Integrals der rechten Seite, c) Bestimmung von y. Werden Fehler durch die Zeitfortschaltung verkleinert, so heißt ein Verfahren stabil. Analog der notwendigen Bedingung für die Verkleinerung von Fehlern bei der Iteration gilt auch bei der Zeitfortschaltung. Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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Stabilität -2 Mehrschrittverfahren kann man darstellen als
Dann gibt es zu dieser Gleichung ein charakteristisches Polynom p () Für p () = 0 gibt es m-Nullstellen und man kann zeigen: Ein Verfahren ist stabil, wenn für alle Nullstellen gilt und Nullstellen mit höchstens als einfache Nullstellen vorkommen. Verfahren nach Adam und Gear sind stabil. Die Verfahren von Runge-Kutta sind schwach stabil. Explizite Euler-Verfahren sind für große Zeitschritte instabil. Simulation technischer Systeme, WS 02/03 Kap. 8: Algorithmen-2
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