Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

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1 Praktikum „Numerische Strömungsmechanik“ C.-D. Munz, S. Roller

2 Überblick I- Klassifizierung Differenzialgleichungen
II- Numerische Lösung der elliptischen Differenzialgleichungen 1-Problemanalyse a-Problemdarstellung b-Differenzenquotienten c-Aufbau des LGS d-Lösungsverfahren 2-Jacobi-Verfahren 3-Gauß-Seidel-Verfahren 4-SOR-Verfahren 5-LSOR-Verfahren 6-Abbruchkriterien II-Numerische Lösung der parabolischen Differenzialgleichungnen 2-Explizit 1.Ordnung 3- Implizit 1.Ordnung 4- Explizit 2.Ordnung 5-Implizit 2.Ordnung 6-Splitting 7-DFL Bedingung III-Numerische Lösung von hyperbolischen Differenzialgleichungen 1-Problemanalyse 2-Diskretisierung 3- Charakteristiken Theorie 4- Upwind-Verfahren 5-Vollimplizites-Verfahren 6-Crank-Nicolson-Verfahren 7-Lax-Wendroff-Verfahren 8- Runge-Kutta-Verfahren 9-MUSCL-Verfahren 10-CFL Bedingung

3 Lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung in 2 Dimensionen
Klassifizierung DGL Lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung in 2 Dimensionen

4 1. Elliptische Gleichung
Klassifizierung DGL 1. Elliptische Gleichung

5 2. Parabolische Gleichung
Klassifizierung DGL 2. Parabolische Gleichung

6 3. Hyperbolische Gleichungen
Klassifizierung DGL 3. Hyperbolische Gleichungen Anfangs- Randwertproblem Anwendung: Wellengleichung

7 Klassifizierung DGL Als einfachste hyperbolische Gleichung mit 2 Raumrichtungen ergibt sich somit:

8 1.Problemanalyse Numerische Lösung der elliptischen DGL
a- Problemdarstellung

9 Zentrales FD-Verfahren 2. Ordnung
Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse b- Differenzenquotienten i, j+1 Pi,j=(xi,yj) ui,j≈u(xi,yj) i-1, j i, j i+1, j y i, j-1 5 Punktestern x Zentrales FD-Verfahren 2. Ordnung Ersetzen der Ableitungen in Poisson-Gleichung durch Differenzen ergibt:

10 Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse
c- Aufbau des Gleichungssystem Mit Sonderbehandlung des Randes ergibt sich:  Schwach besetzte Matrix

11 Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse
d- Lösungsverfahren Gleichungssystem: (7) AuD=fD A I·J × I·J-Matrix mit Bandstruktur uD=(u11,u21,…,uI1,u12,…,uIJ) -Gaußalgorithmus: Ungünstig, rechnet mit allen Nullen  zu hoher Speicheraufwand und Rechenzeit -Thomasalgorithmus: Nicht anwendbar wegen den Nullen zwischen den Diagonalen

12 Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren
 sinnvoller : -Iterationsverfahren: löst LGS bis zur vorgegebenen Genauigkeit

13 Iterationsverfahren (Splittingverfahren)
Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren Iterationsverfahren (Splittingverfahren) (7) AuD=fD Aufspaltung von A: A = -Ai+Ae Aus (8) erhält man damit die Iterationsvorschrift P ist der iterationsindex

14 Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren
Iterationsverfahren (Splittingverfahren) Jacobi Verfahren: Ai = -diag(A) . Gauß-Seidel Verfahren: Ai = -diag(A) – L L untere Dreiecksmatrix ohne Diagonale U obere Dreiecksmatrix ohne Diagonale Programmtechnische Umsetzung Matrizen A, Ai, Ae werden nicht berechnet, Ausgangspunkt ist Gleichung (6)

15 Iterationsvorschrift:
Numerische Lösung der elliptischen DGL 2.Jakobi-Verfahren Nach uij aufgelöst: Iterationsvorschrift:

16 3.Gauß-Seidel-Verfahren
Numerische Lösung der elliptischen DGL 3.Gauß-Seidel-Verfahren Iterationsvorschrift: Schon bekannt

17 Iterationsvorschrift:
Numerische Lösung der elliptischen DGL 4.SOR-Verfahren Iterationsvorschrift: Gauß-Seidel

18 5.LSOR-Verfahren Numerische Lösung der elliptischen DGL
Iterationsvorschrift: In x-Richtung wird ein tridiagonales Gleichungssystem gelöst

19 6.Abbruchkriterien Numerische Lösung der elliptischen DGL
Die Verfahren können durch erfüllen der Abbruchkriterien beendet werden: Genauigkeit des Ergebnis Genauigkeit der Iteration

20 7.Verfahren der konjugierten Gradienten(CG)
Numerische Lösung der elliptischen DGL 7.Verfahren der konjugierten Gradienten(CG) a- Grundidee Die Idee der Gradientenverfahren besteht darin, für das Gleichungssystem aus (7) ein Fehlerfunktional zu definieren, um dieses anschließend zu minimieren. Das Fehlerfunktional: F(u)=0.5(uTAu) – fTu hat genau ein globales Minimum in u= u* Dabei steht u* für die exakte Lösung des Problems aus (7), womit gilt: Au*=f

21 Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren
b- Mathematische Behandlung (1) (2) (1)+(2) 

22 Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren
Zur Bestimmung des Minimums von F setzen wir Durch Differenzieren erhalten wir

23 Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren
c- Suchrichtungsvektor Steilster Abstieg Man beginnt nun mit der Suche der Lösung mit einem beliebigen Startvektor und sucht in Richtung des steilsten Abstiegs: Wir wählen nun als Suchrichtung Diese Wahl scheint geeignet zu sein, da F(u) in negativer Gradientenrichtung am stärksten abfällt.

24 Insgesamt ergibt sich so die folgende Iterationsvorschrift:
Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren Steilster Abstieg Insgesamt ergibt sich so die folgende Iterationsvorschrift: Diese einfache Suchrichtung konvergiert allerdings nur relativ schlecht. Eine deutliche Verbesserung kann durch die Verwendung von konjugierten Gradienten erzielt werden.

25 Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren
Für das Verfahren der konjugierten Gradienten müssen lediglich die Suchrichtungen so angepasst werden, dass sie A -orthogonal aufeinander stehen. Diese neuen Suchrichtungen werden dann statt dem einfachen negativen Gradienten in obigen Verfahren verwendet.

26 Insgesamt ergibt sich so die folgende Iterationsvorschrift:
Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren Insgesamt ergibt sich so die folgende Iterationsvorschrift:

27 Approximation im Raum:
Numerische Lösung der parabolischen DGL 1.Problemanalyse instationäres Problem i, j+1 i-1, j i, j i+1, j i, j-1 y x Approximation im Raum: zentrale Differenzen

28 2. Explizites Verfahren 1. Ordnung in der Zeit
Numerische Lösung der parabolischen DGL 2. Explizites Verfahren 1. Ordnung in der Zeit Vorwärts Zentraler Differenzenquotient tn+1 Differenzenstern Kein LGS t n xi-1 xi xi+1

29 Programmtechnische Umsetzung
Numerische Lösung der parabolischen DGL / Explizit Auflösen nach Programmtechnische Umsetzung Die Schrittweite wird über die DFL-Bedingung festgelegt, in dem ein Sicherheitsfaktor eingeführt wird:

30 3.Implizites Verfahren 1. Ordnung (Euler-Verfahren)
Numerische Lösung der parabolischen DGL 3.Implizites Verfahren 1. Ordnung (Euler-Verfahren) Rückwärts Zentraler Differenzenquotient xi-1 xi xi+1 tn+1 Differenzenstern t n

31 Numerische Lösung der parabolischen DGL / Implizit
lineares Gleichungssystem

32 4.Explizites Verfahren 2. Ordnung (Du Fort-Frankel)
Numerische Lösung der parabolischen DGL 4.Explizites Verfahren 2. Ordnung (Du Fort-Frankel) t tn+1 tn tn-1 xi-1 xi xi-+1 x

33 Numerische Lösung der parabolischen DGL / Du Fort-Frankel
Anlaufschritt nötig

34 5.Implizites Verfahren 2. Ordnung (Crank-Nicolson)
Numerische Lösung der parabolischen DGL / Crank-Nicolson 5.Implizites Verfahren 2. Ordnung (Crank-Nicolson) t tn+1 tn+1/2 tn xi-1 xi xi+1 x

35 Numerische Lösung der parabolischen DGL

36 Numerische Lösung der parabolischen DGL
6.Splitting-Verfahren (Dimensionensplitting, Zwischenschrittmethode, Fractional Step) Zerlegung:

37 Numerische Lösung der parabolischen DGL / Splitting
a- Splitting-Methode implizit 1. Ordnung In jedem Zeitschritt wird (9), (10), (11) nacheinander 1. Ordnung gelöst

38 Numerische Lösung der parabolischen DGL / Splitting
b- Splitting-Methode implizit 2. Ordnung (9), (10), (11) werden jeder für sich 2. Ordnung genau gelöst (mit Crank-Nicolson-Verfahren): Damit das Gesamtverfahren auch 2. Ordnung in der Zeit ist, muß die Reihenfolge der Schritte in jedem Zeitschritt vertauscht werden:

39 Numerische Lösung der parabolischen DGL
7.Die DFL Bedingung Die DFL Zahl steht für die dimensionslose Diffusionszahl, die in parabolischen Gleichungen auftritt:

40 Numerische Lösung der parabolischen DGL / DFL-Bedingung

41 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL
1.Problemanalyse

42 Umformulierung als Erhaltungsgleichung
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problemanalyse Umformulierung als Erhaltungsgleichung i+1, j i, j+1 i-1, j i, j i, j-1 y x i+1/2, j i-1/2, j i,j-1/2 i,j+1/2 Differenz dessen, was links ein und rechts ausströmt Fluß über den linken bzw. rechten Rand Erhaltungseigenschaft: was aus einer Zelle ausströmt, strömt in die Nachbarzelle ein

43 Verfahren in Erhaltungsform
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problemanalyse Splitting-Methode Verfahren in Erhaltungsform g, h numerische Flüsse

44 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problrmanalyse
Im Weiteren werden Verfahren angegeben, die Gleichungen der Form lösen, d.h . Verfahren für eine Raumdimension. Treten weitere Dimensionen auf, so werden sie gemäß des angegebenen Splitting-Vefahrens nacheinander gelöst.

45 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL
2. Diskretisierung Im Raum Eingesetzt in das Verfahren ergibt sich für ai+½,,j=ai-½,,j: Zentrale Differenz (2. Ordnung) im Raum

46 Gebräuchlich für die Diskretisierung der Ableitungen in der Zeit sind:
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Diskretisierung In der Zeit Die Ableitungen im Raum werden zu einem gemeinsamen Zeitpunkt gebildet. Für die DGl fehlt nun noch die Ableitung nach der Zeit zu diesem Zeitpunkt. Sie ermöglicht dann das Fortschreiten in der Zeit. Entscheidend ist dabei der Zeitpunkt, zu dem die DGl angeschrieben wird. Gebräuchlich für die Diskretisierung der Ableitungen in der Zeit sind: Zentrale Differenz mit Mittelung (2. Ordnung) Vorwärts- und Rückwärtsdifferenz (1. Ordnung) Differenz mit Extrapolation (2. Ordnung) Runge Kutta Verfahren höherer Ordnung

47 3.Charakteristiken Theorie
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 3.Charakteristiken Theorie Die Exakte Lösung von erhält man,Indem man die Kurven(C) berechnet, auf denen u =const gilt (totale Ableitung=0). (16) durch Identifikation ( 15 und 16 ) C t a konstant  C ist eine Gerade u konstant auf C  u(x,t)=u(x-at,0) x

48 Eingesetzt in das Verfahren ergibt sich:
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 4.Upwind-Verfahren Idee: Upwind  Eingesetzt in das Verfahren ergibt sich: Linksseitige Differenz für a>0, rechtsseitige Differenz für a<0 (1. Ordnung)

49 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Upwind
Vorwärtsdifferenz (explizit 1. Ordnung) in der Zeit. Upwind (1.Ordnung) im Raum. Information wird entlang der Charakteristik (PQ) transportiert. Differenzenbildung in die Richtung, aus der die Information kommt.

50 5.Vollimplizites Verfahren
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 5.Vollimplizites Verfahren Zentrale Differenz (2. Ordnung) im Raum. Rückwärtsdifferenz (implizit 1.Ordnung) in der Zeit. Lineares Gleichungssystem

51 6.Crank-Nicolson Verfahren
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 6.Crank-Nicolson Verfahren Zentrale Differenzen um n+1/2 ergibt Wie berechnet man die numerischen Flüsse im Zeitpunkt (n+1/2) ? Durch Mittelung  Implizit 2.Ordnung in Raum und Zeit

52 7.Lax-Wendroff-Verfahren (x-Richtung)
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 7.Lax-Wendroff-Verfahren (x-Richtung) Prädiktor : berechne Hilfswert un+1/2 Taylorentwicklung Explizites Verfahren 2. Ordnung in Raum und Zeit

53 8.Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (klassische Variante)
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 8.Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (klassische Variante)

54 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Runge-kutta
Dämpfungsterme

55 9.MUSCL Verfahren (x-Richtung)
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 9.MUSCL Verfahren (x-Richtung) a- Problemdarstellung Flussformulierung: gi+1/2,j ist eine Approximation an das, was während des gesamten Zeitintervalls Dt über den Rand i+1/2,j der Zelle i,j rein oder raus fließt. Problem: man kennt nur uij, d.h. was zum Zeitpunkt tn insgesamt in der Zelle i,j ist, aber nicht, wie es verteilt ist oder wie es sich innerhalb des Zeitschritts ändert. Idee: innerhalb einer Zelle wird eine lineare Verteilung angenommen, so daß man den Fluß am Rand genauer bestimmen kann. => Explizites Verfahren 2. Ordnung in Raum und Zeit

56 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL
b- Stückweise lineare Rekonstruktion Monotonic Upwind Scheme for Conservation Laws xi-1 xi xi+1 xi+2 x u Statt anzunehmen, dass u konstant ist zwischen xi-1/2 und xi+1/2, nehmen wir jetzt an, dass u in diesem Bereich linear verteilt ist, d.h. wir bestimmen eine Gerade und werten sie an den Rändern aus, um die Flüsse zu berechnen.

57 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL
c- MUSCL Schema Bestimmung der Geraden: wir benötigen einen Punkt und eine Steigung. Der Punkt ist xij mit dem Funktionswert uij. Steigung: 2 Möglichkeiten, linksseitige oder rechtsseitige Differenz: Wir müssen eine der beiden oder eine Linearkombination davon auswählen. Dies geschieht mit einem sogenannten Limiter, der bestimmte Bedingungen erfüllen muß.

58 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL
Limiter: TVD-Eigenschaft Mathematische Theorie für skalare Erhaltungsgleichungen Erweitert auf Systeme TVD-Eigenschaft (Total Variation Diminishing) Hinreichende Bedingung (A. Harten)

59 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL
Limiter: Beispiele Minmod-Funktion Sweby‘s Steigungsberechnung (gewichteter Minmod)

60 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL
Rekonstruktion im Raum Damit kann man von Zellmittelpunkt an den Rand extrapolieren Randwerte zu tn Steigung sin Rekonstruktion in der Zeit Um die 2. Ordnung auch in der Zeit zu bekommen, geht man prinzipiell genauso vor, man extrapoliert vom Zeitpunkt tnden Zeitpunkt tn+1: In der Zeit kann man aber keine Steigung berechnen, da man nur die Werte zu einem Zeitpunkt hat. Man behilft sich, indem man die Zeitableitung durch Raumableitungen ersetzt:

61 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL
Randbehandlung uij ui+1,j xi-1 xi xi+1 xi+2 x u Jetzt muß von der Zelle auf den Rand umgedacht werden. Der Fluß am Rand, gi+1/2,j ist jetzt:

62 Upwind-Verfahren mit MUSCL
Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL Upwind-Verfahren mit MUSCL

63 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL
d- MUSCL Prozedur (gesamt) Randwerte zu tn Steigung sin FV-Schema: mit

64 10.CFL Bedingung Numerische Lösung der hyperbolischen DGL
Die Neumannsche Stabilitätsanalyse zeigt ,dass die expliziten Verfahren bedingt stabil sind. CFL Bedingung CFL steht hier für Courant-Friedrichs-Lewy. Die CFL Zahl beschreibt die dimensionslose Konvektionsgeschwindigkeit, die in hyperbolischen Gleichungen auftritt. mit a als Transportgeschwindigkeit der eindimensionalen linearen Transportgleichung. Die Geschwindigkeit, mit der das Verfahren Information verteilt ist

65 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / CFL
Damit das gewählte Verfahren mit der vorgenommenen Diskretisierung stabil ist, muss die Informationsausbreitung des Verfahrens mindestens so groß sein, wie die der DGl, also bei einer Weitergabe von Information in einem Zeitschritt um ein Raumgitter:

66 Numerische Untersuchung der Verfahrensordnung
Numerische Lösung auf einem Gitter der Schrittweite Dx: Fehler auf einem Gitter der Schrittweite Dx bzw. 2 Dx : Konvergenzordnung q des Verfahrens: