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1 Praktikum Numerische Strömungsmechanik C.-D. Munz, S. Roller.

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1 1 Praktikum Numerische Strömungsmechanik C.-D. Munz, S. Roller

2 2 Überblick I- Klassifizierung Differenzialgleichungen II- Numerische Lösung der elliptischen Differenzialgleichungen 1-Problemanalyse a-Problemdarstellung b-Differenzenquotienten c-Aufbau des LGS d-Lösungsverfahren 2-Jacobi-Verfahren 3-Gauß-Seidel-Verfahren 4-SOR-Verfahren 5-LSOR-Verfahren 6-Abbruchkriterien II-Numerische Lösung der parabolischen Differenzialgleichungnen 1-Problemanalyse 2-Explizit 1.Ordnung 3- Implizit 1.Ordnung 4- Explizit 2.Ordnung 5-Implizit 2.Ordnung 6-Splitting 7-DFL Bedingung III-Numerische Lösung von hyperbolischen Differenzialgleichungen 1-Problemanalyse 2-Diskretisierung 3- Charakteristiken Theorie 4- Upwind-Verfahren 5-Vollimplizites-Verfahren 6-Crank-Nicolson-Verfahren 7-Lax-Wendroff-Verfahren 8- Runge-Kutta-Verfahren 9-MUSCL-Verfahren 10-CFL Bedingung

3 3 Klassifizierung DGL Lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung in 2 Dimensionen

4 4 Klassifizierung DGL 1. Elliptische Gleichung

5 5 Klassifizierung DGL 2. Parabolische Gleichung

6 6 Klassifizierung DGL 3. Hyperbolische Gleichungen Anfangs- Randwertproblem Anwendung: Wellengleichung

7 7 Als einfachste hyperbolische Gleichung mit 2 Raumrichtungen ergibt sich somit: Klassifizierung DGL

8 8 Numerische Lösung der elliptischen DGL 1.Problemanalyse a- Problemdarstellung

9 9 Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse b- Differenzenquotienten Zentrales FD-Verfahren 2. Ordnung i, j+1 i-1, ji, ji+1, j i, j-1 5 Punktestern y x P i,j =(x i,y j ) u i,ju(x i,y j ) Ersetzen der Ableitungen in Poisson-Gleichung durch Differenzen ergibt:

10 10 c- Aufbau des Gleichungssystem Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse Mit Sonderbehandlung des Randes ergibt sich: Schwach besetzte Matrix

11 11 Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse d- Lösungsverfahren Gleichungssystem: (7) Au =f A I·J × I·J-Matrix mit Bandstruktur u =(u 11,u 21,…,u I1,u 12,…,u IJ ) -Gaußalgorithmus: Ungünstig, rechnet mit allen Nullen zu hoher Speicheraufwand und Rechenzeit -Thomasalgorithmus: Nicht anwendbar wegen den Nullen zwischen den Diagonalen

12 12 Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren sinnvoller : -Iterationsverfahren: löst LGS bis zur vorgegebenen Genauigkeit

13 13 Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren Aufspaltung von A: A = -A i +A e Aus (8) erhält man damit die Iterationsvorschrift Iterationsverfahren (Splittingverfahren) P ist der iterationsindex (7) Au =f

14 14 Numerische Lösung der elliptischen DGL / Analyse / Verfahren Jacobi Verfahren: A i = -diag(A). Gauß-Seidel Verfahren: A i = -diag(A) – L L untere Dreiecksmatrix ohne Diagonale U obere Dreiecksmatrix ohne Diagonale Iterationsverfahren (Splittingverfahren) Programmtechnische Umsetzung Matrizen A, A i, A e werden nicht berechnet, Ausgangspunkt ist Gleichung (6)

15 15 Numerische Lösung der elliptischen DGL 2.Jakobi-Verfahren Nach u ij aufgelöst: Iterationsvorschrift:

16 16 Numerische Lösung der elliptischen DGL 3.Gauß-Seidel-Verfahren Iterationsvorschrift: Schon bekannt

17 17 Numerische Lösung der elliptischen DGL 4.SOR-Verfahren Iterationsvorschrift: Gauß-Seidel

18 18 Numerische Lösung der elliptischen DGL 5.LSOR-Verfahren Iterationsvorschrift: In x-Richtung wird ein tridiagonales Gleichungssystem gelöst

19 19 Numerische Lösung der elliptischen DGL 6.Abbruchkriterien Die Verfahren können durch erfüllen der Abbruchkriterien beendet werden: Genauigkeit des Ergebnis Genauigkeit der Iteration

20 20 7.Verfahren der konjugierten Gradienten(CG) Numerische Lösung der elliptischen DGL Die Idee der Gradientenverfahren besteht darin, für das Gleichungssystem aus (7) ein Fehlerfunktional zu definieren, um dieses anschließend zu minimieren. Das Fehlerfunktional: F(u)=0.5(u T Au) – f T u hat genau ein globales Minimum in u= u* Dabei steht u* für die exakte Lösung des Problems aus (7), womit gilt: Au*=f a- Grundidee

21 21 b- Mathematische Behandlung (1) (2) (1)+(2) Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren

22 22 Zur Bestimmung des Minimums von F setzen wir Durch Differenzieren erhalten wir Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren

23 23 Man beginnt nun mit der Suche der Lösung mit einem beliebigen Startvektor und sucht in Richtung des steilsten Abstiegs : Wir wählen nun als Suchrichtung Diese Wahl scheint geeignet zu sein, da F(u) in negativer Gradientenrichtung am stärksten abfällt. Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren c- Suchrichtungsvektor Steilster Abstieg

24 24 Insgesamt ergibt sich so die folgende Iterationsvorschrift: Diese einfache Suchrichtung konvergiert allerdings nur relativ schlecht. Eine deutliche Verbesserung kann durch die Verwendung von konjugierten Gradienten erzielt werden. Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren Steilster Abstieg

25 25 Für das Verfahren der konjugierten Gradienten müssen lediglich die Suchrichtungen so angepasst werden, dass sie A -orthogonal aufeinander stehen. Diese neuen Suchrichtungen werden dann statt dem einfachen negativen Gradienten in obigen Verfahren verwendet. Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren CG Verfahren

26 26 Insgesamt ergibt sich so die folgende Iterationsvorschrift: Numerische Lösung der elliptischen DGL / CG Verfahren

27 27 Numerische Lösung der parabolischen DGL i, j+1 i-1, ji, ji+1, j i, j-1 y x Approximation im Raum: zentrale Differenzen 1.Problemanalyse instationäres Problem

28 28 Numerische Lösung der parabolischen DGL 2. Explizites Verfahren 1. Ordnung in der Zeit VorwärtsZentralerDifferenzenquotient t n+1 t n x i-1 xixi x i+1 Differenzenstern Kein LGS

29 29 Programmtechnische Umsetzung Die Schrittweite wird über die DFL-Bedingung festgelegt, in dem ein Sicherheitsfaktor eingeführt wird: Auflösen nach Numerische Lösung der parabolischen DGL / Explizit

30 30 Numerische Lösung der parabolischen DGL 3.Implizites Verfahren 1. Ordnung (Euler-Verfahren) RückwärtsZentralerDifferenzenquotient t n+1 t n x i-1 xixi x i+1 Differenzenstern

31 31 Numerische Lösung der parabolischen DGL / Implizit lineares Gleichungssystem

32 32 Numerische Lösung der parabolischen DGL 4.Explizites Verfahren 2. Ordnung (Du Fort-Frankel) t n+1 t n-1 tntn t x x i-1 xixi x i-+1

33 33 Numerische Lösung der parabolischen DGL / Du Fort-Frankel Anlaufschritt nötig

34 34 t n+1 tntn t n+1/2 t x 5.Implizites Verfahren 2. Ordnung (Crank-Nicolson) Numerische Lösung der parabolischen DGL / Crank-Nicolson x i-1 xixi x i+1

35 35 Numerische Lösung der parabolischen DGL

36 36 6.Splitting-Verfahren (Dimensionensplitting, Zwischenschrittmethode, Fractional Step) Zerlegung: Numerische Lösung der parabolischen DGL

37 37 Numerische Lösung der parabolischen DGL / Splitting In jedem Zeitschritt wird (9), (10), (11) nacheinander 1. Ordnung gelöst a- Splitting-Methode implizit 1. Ordnung

38 38 Numerische Lösung der parabolischen DGL / Splitting (9), (10), (11) werden jeder für sich 2. Ordnung genau gelöst (mit Crank-Nicolson-Verfahren): Damit das Gesamtverfahren auch 2. Ordnung in der Zeit ist, muß die Reihenfolge der Schritte in jedem Zeitschritt vertauscht werden: b- Splitting-Methode implizit 2. Ordnung

39 39 Numerische Lösung der parabolischen DGL Die DFL Zahl steht für die dimensionslose Diffusionszahl, die in parabolischen Gleichungen auftritt: 7.Die DFL Bedingung

40 40 Numerische Lösung der parabolischen DGL / DFL-Bedingung

41 41 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 1.Problemanalyse

42 42 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problemanalyse Umformulierung als Erhaltungsgleichung i+1, j i, j+1 i-1, j i, j i, j-1 y x i+1/2, ji-1/2, j i,j-1/2 i,j+1/2 Erhaltungseigenschaft: was aus einer Zelle ausströmt, strömt in die Nachbarzelle ein Differenz dessen, was links ein und rechts ausströmt Fluß über den linken bzw. rechten Rand

43 43 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problemanalyse Splitting-Methode Verfahren in Erhaltungsform g, h numerische Flüsse

44 44 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Problrmanalyse Im Weiteren werden Verfahren angegeben, die Gleichungen der Form lösen, d.h. Verfahren für eine Raumdimension. Treten weitere Dimensionen auf, so werden sie gemäß des angegebenen Splitting-Vefahrens nacheinander gelöst.

45 45 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 2. Diskretisierung Eingesetzt in das Verfahren ergibt sich für a i+½,,j =a i-½,,j : Zentrale Differenz (2. Ordnung) im Raum Im Raum

46 46 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Diskretisierung Die Ableitungen im Raum werden zu einem gemeinsamen Zeitpunkt gebildet. Für die DGl fehlt nun noch die Ableitung nach der Zeit zu diesem Zeitpunkt. Sie ermöglicht dann das Fortschreiten in der Zeit. Entscheidend ist dabei der Zeitpunkt, zu dem die DGl angeschrieben wird. Gebräuchlich für die Diskretisierung der Ableitungen in der Zeit sind: Zentrale Differenz mit Mittelung (2. Ordnung) Vorwärts- und Rückwärtsdifferenz (1. Ordnung) Differenz mit Extrapolation (2. Ordnung) Runge Kutta Verfahren höherer Ordnung In der Zeit

47 47 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 3.Charakteristiken Theorie Die Exakte Lösung vonerhält man,Indem man die Kurven(C) berechnet, auf denen u =const gilt (totale Ableitung=0). t x C a konstant C ist eine Gerade u konstant auf C u(x,t)=u(x-at,0) durch Identifikation ( 15 und 16 ) (16)

48 48 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 4.Upwind-Verfahren Eingesetzt in das Verfahren ergibt sich: Linksseitige Differenz für a>0, rechtsseitige Differenz für a<0 (1. Ordnung) Idee: Upwind

49 49 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Upwind Differenzenbildung in die Richtung, aus der die Information kommt. Information wird entlang der Charakteristik (PQ) transportiert. Vorwärtsdifferenz (explizit 1. Ordnung) in der Zeit. Upwind (1.Ordnung) im Raum.

50 50 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 5.Vollimplizites Verfahren Lineares Gleichungssystem Zentrale Differenz (2. Ordnung) im Raum. Rückwärtsdifferenz (implizit 1.Ordnung) in der Zeit.

51 51 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 6.Crank-Nicolson Verfahren Durch Mittelung Implizit 2.Ordnung in Raum und Zeit Zentrale Differenzen um n+1/2 ergibt Wie berechnet man die numerischen Flüsse im Zeitpunkt (n+1/2) ?

52 52 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 7.Lax-Wendroff-Verfahren (x-Richtung) Explizites Verfahren 2. Ordnung in Raum und Zeit Taylorentwicklung Prädiktor : berechne Hilfswert u n+1/2

53 53 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 8.Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (klassische Variante)

54 54 Dämpfungsterme Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / Runge-kutta

55 55 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL 9.MUSCL Verfahren (x-Richtung) a- Problemdarstellung Flussformulierung: g i+1/2,j ist eine Approximation an das, was während des gesamten Zeitintervalls t über den Rand i+1/2,j der Zelle i,j rein oder raus fließt. Problem: man kennt nur u ij, d.h. was zum Zeitpunkt t n insgesamt in der Zelle i,j ist, aber nicht, wie es verteilt ist oder wie es sich innerhalb des Zeitschritts ändert. Idee: innerhalb einer Zelle wird eine lineare Verteilung angenommen, so daß man den Fluß am Rand genauer bestimmen kann. => Explizites Verfahren 2. Ordnung in Raum und Zeit

56 56 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL b- Stückweise lineare Rekonstruktion x i-1 xixi x i+1 x i+2 x u Monotonic Upwind Scheme for Conservation Laws Statt anzunehmen, dass u konstant ist zwischen x i-1/2 und x i+1/2, nehmen wir jetzt an, dass u in diesem Bereich linear verteilt ist, d.h. wir bestimmen eine Gerade und werten sie an den Rändern aus, um die Flüsse zu berechnen.

57 57 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL c- MUSCL Schema Bestimmung der Geraden: wir benötigen einen Punkt und eine Steigung. Der Punkt ist x ij mit dem Funktionswert u ij. Steigung: 2 Möglichkeiten, linksseitige oder rechtsseitige Differenz: Wir müssen eine der beiden oder eine Linearkombination davon auswählen. Dies geschieht mit einem sogenannten Limiter, der bestimmte Bedingungen erfüllen muß.

58 58 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL Mathematische Theorie für skalare Erhaltungsgleichungen Erweitert auf Systeme TVD-Eigenschaft (Total Variation Diminishing) Hinreichende Bedingung (A. Harten) Limiter: TVD-Eigenschaft

59 59 1.Minmod-Funktion 2.Swebys Steigungsberechnung (gewichteter Minmod) Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL Limiter: Beispiele

60 60 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL Rekonstruktion im Raum Steigung s i n Randwerte zu t n Rekonstruktion in der Zeit Um die 2. Ordnung auch in der Zeit zu bekommen, geht man prinzipiell genauso vor, man extrapoliert vom Zeitpunkt t n den Zeitpunkt t n+1 : Damit kann man von Zellmittelpunkt an den Rand extrapolieren In der Zeit kann man aber keine Steigung berechnen, da man nur die Werte zu einem Zeitpunkt hat. Man behilft sich, indem man die Zeitableitung durch Raumableitungen ersetzt:

61 61 Randbehandlung Jetzt muß von der Zelle auf den Rand umgedacht werden. Der Fluß am Rand, gi+1/2,j ist jetzt: x i-1 xixi x i+1 x i+2 x u u ij u i+1,j Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL

62 62 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL Upwind-Verfahren mit MUSCL

63 63 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / MUSCL d- MUSCL Prozedur (gesamt) Steigung s i n Randwerte zu t n FV-Schema: mit

64 64 10.CFL Bedingung Numerische Lösung der hyperbolischen DGL Die Neumannsche Stabilitätsanalyse zeigt,dass die expliziten Verfahren bedingt stabil sind. CFL Bedingung CFL steht hier für Courant-Friedrichs-Lewy. Die CFL Zahl beschreibt die dimensionslose Konvektionsgeschwindigkeit, die in hyperbolischen Gleichungen auftritt. mit a als Transportgeschwindigkeit der eindimensionalen linearen Transportgleichung. Die Geschwindigkeit, mit der das Verfahren Information verteilt ist

65 65 Numerische Lösung der hyperbolischen DGL / CFL Damit das gewählte Verfahren mit der vorgenommenen Diskretisierung stabil ist, muss die Informationsausbreitung des Verfahrens mindestens so groß sein, wie die der DGl, also bei einer Weitergabe von Information in einem Zeitschritt um ein Raumgitter:

66 66 Numerische Lösung auf einem Gitter der Schrittweite x: Fehler auf einem Gitter der Schrittweite x bzw. 2 x : Konvergenzordnung q des Verfahrens: Numerische Untersuchung der Verfahrensordnung


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