Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

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1 Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Integriert man so erhält man Das Intervall tn bis tn+1 heißt Zeitschritt n+1 für einen Zeitschritt gilt:

2 Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Daraus ergeben sich folgende Möglichkeiten, yn+1 zu bestimmen: 1. Integration der rechten Seite nach dem Newton-Verfahren  Euler- und Runge-Verfahren. 2. Entwicklung der rechten Seite nach Lagrange-Funktionen und anschließende Integration  Adams-Verfahren. 3. Näherung der Ableitung (linke Seite) durch eine Approximation der Ordnung n  Gear-Verfahren. Die Verfahren werden in den folgenden Folien erläutert. Wir haben folgende Verfahren kennengelernt: Euler, Runge Kutta und Differenzenverfahren

3 Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf Basis einer Operation zur Berechnung F (t, y) -1
Euler Problem: y ist unbekannt und muss durch diskrete Werte yn beschrieben werden. Ist yn bekannt, so können wir yn+1 aus der diskreten Form der Dgl berechnen Dies ermöglichen iterative Verfahren oder Vorschriften mit Zwischen-schritten, wie die von Heun oder Runge-Kutta Heun

4 Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen auf Basis einer Operation zur Berechnung F (t, y) - 2
Runge Kutta

5 V8: Systeme von Differentialgleichungen
Teil IV: Differentialgleichungen Kapitel 8: Partielle Dglen als Beispiel für Systeme gew. Dglen Inhalt: Systeme gewöhnlicher Dglen Partielle Dglen Diskretisierung der Wärmeleitgleichung nach dem Differenzenverfahren Aufbau eines Programms zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen Experimente 5: Stationäre Wärmeleitung in zwei Dimensionen, Transiente Wärmeleitgleichung in einer Dimension Übung 5: Lösung der transienten Wärmeleitgleichung in Excel/ Matlab

6 Das sollten Sie heute lernen
Was ist eine System gew. Differentialgleichungen Was ist eine partielle Differentialgleichung Was wendet man die Differenzenmethode zur Lösung der Wärmeleitgleichung an Wie sind Programme zur Lösung partieller Differentialgleichungen aufgebaut

7 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
Ein System der Ordnung m wird durch m-Gleichungen definiert Diskretisiert man dieses System, so kann man für jede Gleichung eine der beschriebenen Methoden verwenden. Die Auswahl muß nach physikalischen Gesichtspunkten geschehen. Haben die Gleichung verschiedene Zeitkonstanten, wird das Gleichungssystem "steif". Dann breiten sich Fehler stark aus (implizite Lösungen). Hat man Nichtlinearitäten zu betrachten, so müssen Newton-Methoden zur Lösung verwendet werden.

8 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
Für einen Zeitschritt n gilt etwa Dieses System kann als Matrixgleichung beschrieben werden. Zur Lösung müssen Gleichungslöser für Systeme eingesetzt werden.

9 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
1. Gekoppelte Federn Massen m1 und m2 Federkonstanten K1 und K2 Auslenkungen x1 und x2 2. Konkurrierende Systeme (Räuber-Opfer-Systeme) Populationen x1 und x2 Überschuß Geburt-Tod a11 und a22 Nahrungsraten a12 und a21

10 System gewöhnlicher Differentialgleichungen

11 Anwendungsbeispiele für einfache Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen -3
Elektrische Netze Elektrische Netze mit Widerständen R, Induktionen L, Kapazitäten C und Spannungsquelle V werden mittels der drei Kirchhoff‘schen Gesetze ausgelegt, wo qi die Ladung des Kondensators i und I der Strom im Schaltkreis sind. Beispiel: 2 Schaltkreise sind über eine gemeinsame Induktivität L gekoppelt

12 Transiente Wärmeleitgleichung
Überführung der transienten Wärmeleitgleichung in ein System gew. Dglen Transiente Wärmeleitgleichung

13 Lösung von Differentialgleichungen - prinzipielles Vorgehen
1. Beschreibung des Lösungsgebietes durch Zonen und Maschen 2. Beschreibung der Gebiete mit gleichem Lösungsansatz durch Basisgebiete 3. Auswahl des Lösungsansatzes - punktweise Darstellung - Entwicklung nach bekannten Funktionen - stochastisch 4. Diskretisierung der Operatoren 5. Aufstellung der Systemgleichungen 6. Lösung des linearisierten Gleichungssystems 7. Darstellung der Ergebnisse

14 Lösung von Differentialgleichungen Das Differenzenverfahren in seiner Grundform
1. Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Rechtecke 2. Lösungspunkte auf Maschenrand oder Maschenmitte 3. Lösung konstant in Basisgebiet 4. Diskretisierung der Operatoren über Taylorreihen 5. Tri- und pentdiagonale Systeme. Diagonal dominant bis auf hyperbolische Gleichungen 6, Lösen auf Basis Gauß-Seidel möglich 7. Darstellung von Verläufen längs Linien

15 Anwendung auf Diskretisierung der Wärmeleitgleichung
Die diskrete Gleichung lautet d.h. die Zeitableitung gilt für alle Stellen n +  im Zeitintervall (n, n+1). Die Diskretisierung ist also nicht mehr eindeutig. Aufgrund der ersten Ableitung der Zeit gilt ferner, dass die resultierende Matrix im x-t-Raum nicht mehr symmetrisch ist. Für  = 1/2 und uin+1/2 = 0,5 (uin+1) erhält man Für  = 0 verschwinden die mit 0 gekennzeichneten Elemente, Für  = 1 verschwinden die mit  gekennzeichneten Elemente.

16 Anwendung auf Diskretisierung der Wärmeleitgleichung
Abbildung 2D auf 1D: k = (j-1)*IM+i K JM = 3 Z E I T ORT X markiert die Diagonalelemente Die mit 0 bezeichneten Elemente verschwinden, wenn man  = 0 (explizite Verfahren) wählt. Die mit Δ bezeichneten Elemente verschwinden, wenn man  = 1 (implizite Verfahren) wählt.

17 Die Wärmeleitgleichung als Beispiel
Am Ortspunkt i gilt Das ergibt eine gewöhnliche Differentialgleichung für alle diskreten Punkte des Ortsraumes. Wir beschreiben es als ein System von Differentialgleichungen. Zur Lösung des Problems benötigen wir Die Länge des Stabes Die Zahl der Punkte i Werte für T am linken und rechten Rand Einen Wert von  Die Dauer der Simulation Die Zahl der Zeitschritte Die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt 0. Die Diskretisierung ist konsistent, wenn Orts- und Zeitableitung am gleichen Raum-Zeit-Punkt erfolgen.

18 Die Wärmeleitgleichung in diskreter Form
Explizites Verfahren Implizites Verfahren Zwischenschrittverfahren Fehlerfortpflanzung beim expliziten Verfahren Für cond g = verringert sich der Fehler wegen folgt, daß a beschränkt ist, Dt und Dx hängen also voneinander ab.

19 Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en
Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Verwndet man dazu Excel, so lässt sich eine allgemeine Struktur für Gewöhnliche Differentialgleichungslöser angeben: Eingabe Berechnung für Zeitschritt Zeitschrittfortschaltung Ergebnisdarstellung Alle Elemente haben Sie schon erprobt. In den Übungen können Sie sie neu zusammensetzen Für Systeme sind kompliziertere ‚Programme nötig

20 Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en
Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Im Folgenden ist ein typisches Flußdiagramm gezeigt. Eingabe und ihre Verarbeitung Geometrie, Materialdaten, Randbedingungen, Anfangswerte Nicht linear ja Erzeugung des Gleichungssystems Neue Matrizen Nein linear Berechnung der rechten Seiten nein Lösung des Gleichungssystems Ende Zeitfortschaltung, Eigenwertiteration, Nichtlinearität nein (bei Quellrechnung, Endzeitpunkt, Endgenauigkeit) ja Ausgabe

21 Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Was ist eine partielle Differentialgleichung Wie löst man partielle Dglen numerisch, geben Sie die wichtigsten Arbeitsschritte an Was ist die Differenzenmethode Geben Sie die Struktur der Matrix eines diskretisierten Laplace Operators an Wie sind Programme zur Lösung partieller Differential-gleichungen aufgebaut

22 Diskretisierung der Wärmeleitgleichung
Die Wärmeleitgleichung lautet Für den Versuch sollen die folgenden Bedingungen gelten. Die Diskretisierung erfolgt nach dem Differenzenverfahren mit Lösungspunkte auf dem Maschenrand Konstanten Maschenweiten Ansatz für Lösung Ansatz für Differentiale Konsistenzbedingung Lösung implizit Lösung explizit

23 Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem expliziten Verfahren
1/2 Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem expliziten Verfahren Beim expliziten Verfahren erfolgt der Ansatz für die Diskretisierung am Zeitpunkt . Es gilt also Die Wärmegleichung in diskreter Form lautet: Nun wird die Gleichung so umgestellt, daß die Temperaturen eines Zeitpunk- tes auf einer Seite stehen: , in Matrixschreibwei- se: E ist die Einheitsmatrix und B eine Tridiagonalmatrix. Berücksichtigt man die Vorgabe Konstanter Randtemperaturen so gilt für B: Die Anfangsbedingungen, d.h. im vorgegebenen Beispiel die Anfangstemper-aturen des Stabs müssen in den Startvektor eingehen.(Für sich mit der Zeit ändernde Randbedingungen müßte bei dieser Diskretisierung der Lösungs-vektor vor jedem Zeitschritt in den Werten, die den Rand betreffen - hier erste und letzte Komponente - modifiziert werden.)

24 Untersuchung der Stabilität und der Genauigkeit.
2/2 Um das Gleichungssystem , zu lösen, kann die Einheits-matrix wegfallen und der jeweils neu berechnete Temperatur-vektor wird rekursiv als Ausgangsvektor für den folgenden Zeitschritt benützt. Das explizite Verfahren konvergiert aber nur für , bei größeren Werten zeigt sich, daß die Lösung instabil ist. Bei diesem Versuch wird das Temperaturprofil eines idealisierten Stabs (ein- dimensional) bei fortlaufender Zeit visualisiert. Die Anfangstemperatur beträgt 20 Grad. Der Stabanfang wird konstant auf 100 Grad gehalten, das Stabende konstant auf 20 Grad. Für die Temperaturleitfähigkeit wird 1 angesetzt. Die Matrix B wird ebenfalls dargestellt und der erste berechnete Temperatur-vektor in schriftlicher Form gezeigt. Aufgabe: Bestimmen Sie die Zahl der Zeitschritte bis zur stationären Lösung für einen Stab der Länge 5 und 10. Untersuchung der Stabilität und der Genauigkeit. Der Versuch wird durch Klick gestartet

25 Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem impliziten Verfahren
Beim impliziten Verfahren erfolgt der Ansatz für die Diskretisierung am Zeitpunkt Es gilt also für die Wegdiskretisierung. Die Wärmegleichung in diskreter Form lautet: Nun wird die Gleichung so umgestellt, daß die Temperaturen eines Zeitpunk- tes auf einer Seite stehen: , in Matrixschreibwei- se: E ist die Einheitsmatrix und B eine Tridiagonalmatrix. Berücksichtigt man die Vorgabe Konstanter Randtemperaturen so gilt für B: Die Anfangsbedingungen, d.h. im vorgegebenen Beispiel die Anfangstemper-aturen des Stabs müssen in den Startvektor eingehen.(Für sich mit der Zeit ändernde Randbedingungen müßte bei dieser Diskretisierung der Lösungs-vektor vor jedem Zeitschritt in den Werten, die den Rand betreffen - hier erste und letzte Komponente - modifiziert werden.)

26 Untersuchung der Stabilität und der Genauigkeit.
Um das Gleichungssystem , zu lösen, kann die Einheits-matrix wegfallen und der jeweils neu berechnete Temperatur-vektor wird rekursiv als Ausgangsvektor für den folgenden Zeitschritt benützt. Das implizite Verfahren konvergiert für alle Werte von . Der Rechenaufwand beim impliziten Verfahren ist wegen der damit verbundenen Lösung größer als beim expliziten, dafür bleibt aber das Verfahren für alle Werte stabil. Bei diesem Versuch wird das Temperaturprofil eines idealisierten Stabs (ein- dimensional) bei fortlaufender Zeit visualisiert. Die Anfangstemperatur beträgt 20 Grad. Der Stabanfang wird konstant auf 100 Grad gehalten, das Stabende konstant auf 20 Grad. Für die Temperaturleitfähigkeit wird 1 angesetzt. Die Matrix B wird ebenfalls dargestellt und der erste berechnete Temperatur-vektor in schriftlicher Form gezeigt. Aufgabe: Bestimmen Sie die Zahl der Zeitschritte bis zur stationären Lösung für einen Stab der Länge 5 und 10. Untersuchung der Stabilität und der Genauigkeit. 2/2 Der Versuch wird durch Klick gestartet