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Proseminar – Geometrie © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut Sommersemester 2003 Schwerpunkte von Dreiecken, Vierecken und Tetraedern.

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Präsentation zum Thema: "Proseminar – Geometrie © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut Sommersemester 2003 Schwerpunkte von Dreiecken, Vierecken und Tetraedern."—  Präsentation transkript:

1 Proseminar – Geometrie © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut Sommersemester 2003 Schwerpunkte von Dreiecken, Vierecken und Tetraedern

2 Schwerpunkte… © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, …von zwei Massepunkten 5.…im Dreieck 1.Eckenschwerpunkt 2.Flächenschwerpunkt 3.Kantenschwerpunkt 2.…einer mit Masse belegten Strecke 3.Schwerlinien 5.…im Dreieck 6.…im Viereck 7.…im Tetraeder 4.…eines Zweibeins 6.…im Viereck 1.Eckenschwerpunkt 2.Flächenschwerpunkt 3.Kantenschwerpunkt 7.…im Tetraeder 1.Eckenschwerpunkt 2.Flächenschwerpunkt 3.Kantenschwerpunkt 4.Raumschwerpunkt

3 1. Schwerpunkt von zwei Massepunkten © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, AB 21 Mit |S| bezeichnen wir die in dem Punkt S punktförmig konzentrierte Masse. a : b = |B| : |A| Satz 1: Der Schwerpunkt S von zwei Punkten A und B teilt die Strecke [AB] im umgekehrten Verhältnis der Massen ihrer Endpunkte. A und B können durch S mit der Masse |S| = |A|+|B| ersetzt werden. Spezialfall: Für |A| = |B| ist S der Mittelpunkt von [AB]. S

4 2. Schwerpunkt einer homogen mit Masse belegten Strecke © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 M=SAB Satz 2: Der Schwerpunkt S einer homogenen mit Masse belegten Strecke [AB] ist ihr Mittelpunkt mit der Ersatzmasse |S| = AB. Der Schwerpunkt einer homogen mit Masse belegten Strecken [AB] ist auf Grund der Symmetrie immer der Mittelpunkt der Strecke. |S| = AB.

5 3. Schwerlinien © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Definition (Schwerlinie): Eine Gerade durch den Schwerpunkt eines geometrischen Gebildes heißt Schwerlinie. Satz 3: Zwei verschiedene Schwerlinien eines Gebildes schneiden sich stets in seinem Schwerpunkt.

6 4. Schwerpunkt eines Zweibeins © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Nach Satz 1 und 3 ist [S A S B ] eine Schwerlinie und es gilt: |S A | SS A = |S B | SS B also OA : OB = SS B : SS A Weiterhin gilt für den Schnittpunkt S der Strecke [S A S B ] mit der Winkelhalbierende w M : SS B : SS A = MS B : MS A = OA : OB. S = S Satz 4: Der Schwerpunkt S eines homogen mit Masse belegten Zweibeins [OA] [OB] ist der Schnittpunkt der Mittelparallelen [S A S B ] mit der Winkelhalbierenden w M des Winkels S A MS B durch den Mittelpunkt M der Strecke [AB]. Es gilt: |S| = OA + OB

7 Schwerpunkte in Dreiecken und Vierecken © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Bei Dreiecken und Vierecken unterscheidet man zwischen einem Eckenschwerpunkt E, bei nur die Ecken mit Masse belegt sind Flächenschwerpunkt F, bei dem die ganze Fläche homogen mit Masse belegt ist einem Kantenschwerpunkt K, bei dem die Kanten homogen mit Masse belegt sind.

8 5.1 Schwerpunkt eines Dreiecks Eckenschwerpunkt E © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Gegeben sei ein Dreieck, bei dem alle Ecken A, B, C mit der Masse 1 belegt sind. Es gilt also, dass |A|+|B|=2 ist, und man so A und B in C 1 zusammenfassen kann. Nun haben wir eine Schwerlinie [CC1], und ebenfalls nach Satz 1 folgt, das E die Strecke in einem Verhältnis von 2:1 teilt. Den Eckenschwerpunkt kann man allerdings auch finden, indem man zwei oder alle drei Seitenhalbierenden einzeichnet, denn diese sind alle Schwerlinien Die Seitenhalbierenden schneiden sich in E. Satz 5: Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in seinem Eckenschwerpunkt E. Dieser teilt jeweils die Strecke von der Ecke zum Mittelpunkt der Gegenseite im Verhältnis 2:1.

9 5.2 Schwerpunkt eines Dreiecks Flächenschwerpunkt F © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Die Strecke [A 1 B 1 ], die parallel ist zur Strecke [AB], wird von der Seitenhalbierenden [CC 1 ] in der Mitte geteilt. Unterteilt man das Dreieck in viele kleine Streifen, parallel zu [AB], so liegt von jedem Streifen der Schwerpunkt (nach Satz 2) in der Mitte, also auf [CC 1 ] [CC 1 ] ist eine Schwerlinie. Wenn man diese Überlegung analog auf die anderen Seitenhalbierenden überträgt, stellt man fest, dass alle drei Seitenhalbierenden Schwerlinien sind. E = F Satz 6: Im Dreieck fallen Eckenschwerpunkt E und Flächenschwerpunkt F zusammen; sie sind der Gemeinsame Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Dieser Punkt heißt wegen E=F kurz Der Schwerpunkt S des Dreiecks.

10 Nach Satz 4 ist C 2 der Schwerpunkt des Zweibeins und nach Satz 1 ist C 1 der Schwerpunkt der Strecke [AB]. Folglich muss der Kantenschwerpunkt K des Dreiecks auf der Schwerlinie [C 1 C 2 ] liegen. Um den Kantenschwerpunkt zu finden zerlegen wir das Dreieck in das Zweibein [CA] [CB] und die Seite [AB]. Gegeben ist ein Dreieck ABC, dessen Kanten homogen mit Masse belegt sind. 5.3 Schwerpunkt eines Dreiecks Kantenschwerpunkt K © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Wenn man das Dreieck anders in ein Zweibein und eine Strecke Aufteilt (analog zu oben), erhält man nun drei Schwerlinien, dessen Schnittpunkt der Kantenschwerpunkt K des Dreieck ist.

11 5.3 Schwerpunkt eines Dreiecks Kantenschwerpunkt K © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Der Kantenschwerpunkt K ist der Mittelpunk des dem Dreiecks A 1 B 1 C 1 einbeschriebenen Kreises, der sogenannte Innkreismittelpunkt. Satz 7: Der Kantenmittelpunkt K eines Dreiecks ABC ist der Innkreismittelpunkt seines Seitenmittelpunktdreiecks A 1 B 1 C 1.

12 Wann ist im Dreieck K = S? © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Wir wissen schon, dass im Dreieck der Eckenschwerpunkt E gleich dem Flächenschwerpunkt F ist. Wann aber sind Kantenschwerpunkt K und Schwerpunkt S gleich? Wir stellen uns hierzu ein Dreieck vor, welches eine ganz kleine Basislänge hat, gegenüber der Schenkel. Wenn [AB] nun sehr klein ist, trägt die Kante fast nichts mehr zum Kantenschwerpunkt bei, und somit liegt K etwa in der Mitte der Höhe durch C. E hingegen befindet sich bei einem Drittel der Höhe durch C.

13 Wann ist im Dreieck K = S? © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Der Kantenschwerpunkt ist gleich dem Schwerpunkt, wenn die Seitenhalbierenden gleich den Winkelhalbierenden sind (nach Satz 5 und 7). Dies ist der Fall, wenn das Dreieck A 1 B 1 C 1 gleichseitig ist. Also ist ABC auch gleichseitig. Satz 8: Der Schwerpunkt S und der Kantenschwerpunkt K fallen genau dann zusammen, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

14 6.1 Schwerpunkt eines Vierecks Eckenschwerpunkt E Nach Satz 1 lässt sich die Masse von A und B in M AB, die Massen von C und D in M CD zusammenfassen. Satz 9: Die Seitenmitten eines Vierecks bilden ein Parallelogramm. Sein Diagonalenschnittpunkt ist der Eckenschwerpunkt E des Vierecks. Ebenso ist E der Mittelpunkt der Strecke [M BC M DA ] Diese Strecken halbieren sich also gegenseitig Das schwarz umrandete Viereck ist daher nach einem bekannten Satz in der Geometrie ein Parallelogramm E ist also der Mittelpunkt der Strecke [M AB M CD ] mit |E|=4. © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003

15 6.2 Schwerpunkt eines Vierecks Flächenschwerpunkt F © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Satz 10: Zerlegt man das Viereck ABCD durch die beiden Diagonalen [AC] und [BC] in jeweils zwei Dreiecke mit den Schwerpunkten S 1, S 2 bzw. S 3, S 4, so sind die Geraden S 1 S 2 und S 3 S 4 Schwerlinien des flächenhaft homogen mit Masse belegten Vierecks. Der Schnittpunkt von S 1 S 2 und S 3 S 4 ist der Gesuchte Flächenschwerpunkt F. Unterteilung des Vierecks durch die Diagonale [AC] in die zwei Dreiecke ABC und ADC. Nach Satz 6 werden die Schwerpunkte S 1 und S 2 der Dreiecke bestimmt. Nach Satz 1 liegt F auf der Schwerlinie [S 1 S 2 ] Zerlegt man das Viereck in die Dreiecke BAD und BCD, berechnet ebenfalls deren Schwerpunkte S, so erhält man die Schwerlinie [S 3 S 4 ]. F ist Schnittpunkt der beiden Schwerlinien [S 1 S 2 ] und [S 3 S 4 ]

16 6.3 Schwerpunkt eines Vierecks Kantenschwerpunkt K © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Satz 11: Zerlegt man das Viereck ABCD, dessen Kanten homogen mit Masse belegt seien, einmal in die beiden Zweibeine [AB] [AD] und [CB] [CD] mit den Schwerpunkten K 1 und K 2, dann in die Zweibeine [BA] [BC] und [DA] [DC] mit den Schwerpunkten K 3 und K 4, so sind K 1 K 2 bzw. K 3 K 4 Schwerlinien, ihr Schnittpunkt K ist der gesuchte Kantenschwerpunkt. Zerlegung des Vierecks in die beiden Zweibeine [AB] [AD] und [CB] [CD]! Nach Satz 4 werden die Schwerpunkte K 1 und K 2 der Zweibeine bestimmt. Nach Satz 1 liegt K auf der Schwerlinie [K 1 K 2 ] Zerlegt man das Viereck in die Zweibeine [BA] [BC] und [DA] [DC] mit ihren Schwerpunkten K 3 und K 4, so erhält man die zweite Schwerlinie [K 3 K 4 ]. K ist Schnittpunkt der beiden Schwerlinien [K 1 K 2 ] und [K 3 K 4 ]

17 Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F? © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Satz 12: Bei einem Viereck fallen Eckenschwerpunkt und Flächenschwerpunkt genau dann zusammen, wenn das Viereck ein Parallelogramm ist.

18 Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F? © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Direkter Beweis des Satzes mit Koordinatenrechnung: Somit ist M AC und M BD Gegeben: Koordinatensystem mit Diagonalen als Ursprung. Der Mittelpunkt E hat somit die Koordinaten:

19 Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F? © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Jetzt teilen wir das Viereck in die Dreiecke ABC und ACD auf und berechnen davon die Schwerpunkte. M AC hat die Koordinate und die Masse von A und C ist in MAC konzentriert (also z.B. 2). Wobei B nur die Masse 1 hat. Nach Satz 1 folgt nun, dass der Flächenschwerpunkt F ABC die Strecke [BM AC ] im Verhältnis 2:1 teilt, und so kann man dann ausrechnen, dass F ABC die Koordinate hat. Analog findet man die Koordinate von F ACD :

20 Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F? © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Wir suchen: y-Koordinate von S ABCD. Wir wissen: F ACD = F ABC = E = S ABCD liegt auf der Strecke [F ABC F ACD ]. S ABCD hat als x-Koordinate: F 1 = F 2 =

21 Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F? © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Nach dem Lemma gilt: Wir betrachten nur noch die y-Koordinaten, und haben also folgende Situation: ? l 2 ~ F 2 ~ dl 1 ~ F 1 ~ (-b) l ~ F ges ~ (-b)+d Nun folgt: und dastellt man fest, dass Ecken- und Flächenschwerpunkt aufeinander fallen, wenn: a=-c und b=-d ist. E=F, wenn das Viereck ein Parallelogramm ist.

22 7.1 Schwerpunkt eines Tetraeders Eckenschwerpunkt E © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Nach Satz 5 lassen sich die drei Massen A,B,C in dem Punkt S ABC zusammenfassen! Daraus folgt, dass E auf der Strecke [S ABC D] liegt Da man diese Überlegungen für jedes mögliche Dreieck machen kann, ergibt sich Nach Satz 1 wird die Strecke im Verhältnis [S ABC E]:[ED] = 1:3 geteilt Satz 13: Die vier Schwerlinien eines Tetraeders schneiden sich in dem Eckenschwerpunkt E, dieser teilt die Strecke von einer Ecke zum Schwerpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksfläche von innen im Verhältnis 3:1

23 7.1 Schwerpunkt eines Tetraeders Eckenschwerpunkt E © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Man kann den Eckenschwerpunkt E auch durch eine andere Konstruktion bekommen Man fasst die Punkte A und D, sowie B und C durch M AD bzw. M BC zusammen. |M AD |=|M BC |=2 Da man diese Überlegungen für jedes Paar der drei Paare von Gegenseiten anstellen kann, erhält man E ist der Mittelpunkt der Strecke [M AD M BC ]. Satz 14: Die drei Verbindungsstrecken der Mittelpunkte je zweier Gegenseiten eines Tetraeders schneiden sich im Eckenschwerpunkt E und werden durch E halbiert.

24 7.2 Schwerpunkt eines Tetraeders Raumschwerpunkt R © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Satz 15: Beim Tetraeder fällt der Eckenschwerpunkt E mit dem Raumschwerpunkt R zusammen. Man bezeichnet diesen Punkt daher kurz als den Schwerpunkt S des Tetraeders. Er ist der Schnittpunkt der vier Schwerlinien. Wir betrachten zunächst ein Querschnitt des Tetraeders, das Dreieck ABC, parallel zur Grundfläche. Da das Dreieck ABC durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABC hervorgeht, liegt S ABC auf der Strecke [S ABC D] Teilt man das Tetraeder in dünne Schichten parallel zur Grundfläche, folgt für den Grenzfall: Schichtdicke -> 0, dass die Gerade DS ABC eine Schwerlinie ist! Nach 7.1 folgt, dass R=E ist

25 7.3 Schwerpunkt eines Tetraeders Kantenschwerpunkt K © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Das Tetraeder wird in das Dreibein [DA] [DB] [DC] und in das Dreieck ABC zerlegt! Nach Satz 7 wird der Kantenschwerpunkt K ABC des Dreiecks ABC bestimmt! Das Dreibein teilt man wiederum in das Zweibein [DA] [DB] und die Kante [DC] auf und bestimmt deren Schwerpunkte K AB bzw. C 1 Die beiden anderen Möglichkeiten liefern zwei weitere Schwerlinien, der Schnittpunkt ist der Schwerpunkt K D des Dreibeins! So erhält man eine Schwerlinie des Tetraeders, durch die anderen Aufteilungen erhält man drei weitere Kantenschwerlinien und somit den erwünschten Kantenschwerpunkt K des Tetraeders! Daraus folgt die erste Schwerlinie des Dreibeins, [K AB C 1 ]

26 7.4 Schwerpunkt eines Tetraeders Flächenschwerpunkt F © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Zunächst wird das räumliche Dreibein [DA] [DB] [DC] betrachtet! Es gibt eine Gerade m, die von den drei Ebenen DAB, DBC, DCA den gleichen Abstand hat, sie wird die Mediane des Raumwinkels bei D genannt! Satz 16: Die Mediane m von einer Ecke eines Tetraeders ABCD treffe die gegenüberliegende Seitenfläche ABC in einem Punkt M. Dieser Punkt M zerlegt das Dreieck ABC in drei Teildreiecke AMB, BMC, CMA, deren Flächen sich wie die anliegenden Seitenflächen des Tetraeders verhalten. Wie man bei der nebenstehenden Figur sieht, gilt: AMBD=1/3 H AMB=1/3 h ABD BMCD=1/3 H BMC=1/3 h BCD CMAD=1/3 H CMA=1/3 h CAD Daraus folgt der nächste Satz:

27 7.4 Schwerpunkt eines Tetraeders Flächenschwerpunkt F © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Im Tetraeder seien A 1, B 1, C 1, D 1 die Schwerpunkte der den Punkten A,B,C,D gegenüberliegenden Seitenflächen. Der Flächenschwerpunkt F D des homogen mit Masse belegten Dreiflachs [DAB] [DBC] [DCA] liegt also in der Ebene des Dreiecks A 1 B 1 C 1 und ist dessen Eckenschwerpunkt, wenn man sich die Eckpunkte A 1,B 1,C 1 jeweils mit den Massen B 1 D 0 C 1, C 1 D 0 A 1, A 1 D 0 B 1 belegt denkt Das Tetraeder A 1 B 1 C 1 D 1 geht durch zentrische Streckung s an S mit dem Streckungsfaktor -1/3 hervor. Deshalb gilt: A 1 D 1 B 1 :B 1 D 1 C 1 :C 1 D 1 A 1 =ADB:BDC:CDA (1) Sei nun m die Mediane durch den Punkt D 1 und D 0, so gilt nach Satz 16: A 1 D 0 B 1 :B 1 D 0 C 1 :C 1 D 0 A 1 =A 1 D 1 B 1 :B 1 D 1 C 1 :C 1 D 1 A 1 (2) Nach (1) und (2) folgt: ADB:BDC:CDA= A 1 D 0 B 1 :B 1 D 0 C 1 :C 1 D 0 A 1 (3) Wir fassen die Massen der Tetraederdreiecke zusammen: |C 1 |=ADB; |A 1 |=BDC; |B 1 |=CDA (4) |C 1 |:|A 1 |:|B 1 |= A 1 D 0 B 1 :B 1 D 0 C 1 :C 1 D 0 A 1

28 7.4 Schwerpunkt eines Tetraeders Flächenschwerpunkt F © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Nun hilft uns die analytische Geometrie weiter, wir benutzten ein kartesisches Koordinatensystem in der Ebene des Dreiecks A 1 B 1 C 1 mit dem Ursprung D 0. Satz 17: Seien A 1,B 1,C 1, D 1 die Schwerpunkte der den Ecken A, B, C, D gegenüberliegenden Seitenflächen eines Tetraeders ABCD. Der Flächenschwerpunkt F D der Dreiflachs [DAB] [DBC] [DCA] liegt im Inneren des Dreiecks A 1 B 1 C 1 und ist der Durchstoßpunkt der Mediane m durch die Ecke D 1. Die Koordinaten der einzelnen Punkte sind: A 1 (a 1 |a 2 ); B 1 (b 1 |b 2 ); C 1 (c 1 |c 2 ); D 0 (0|0); F D (f 1 |f 2 ) Für die Teilflächen des Dreiecks erhält man: 2D 0 B 1 C 1 =b 1 c 2 -b 2 c 1 ; 2D 0 C 1 A 1 =c 1 a 2 -c 2 a 1 ; 2D 0 A 1 B 1 =a 1 b 2 -a 2 b 1 Und somit folgt für F D : 2 A 1 B 1 C 1 f 1 =(b 1 c 2 -b 2 c 1 ) a 1 +(c 1 a 2 -c 2 a 1 ) b 1 +(a 1 b 2 -a 2 b 1 ) c 1 =0 2 A 1 B 1 C 1 f 2 =(b 1 c 2 -b 2 c 1 ) a 2 +(c 1 a 2 -c 2 a 1 ) b 2 +(a 1 b 2 -a 2 b 1 ) c 2 =0 f 1 =f 2 =0 und somit F D =D 0

29 7.4 Schwerpunkt eines Tetraeders Flächenschwerpunkt F © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003 Zuerst zerlegt man das Tetraeder in das Dreiflach [DAB] [DBC] [DCA] und das Dreieck ABC, man erhält deren Schwerpunkte F D bzw. D 1. Satz 18: In einem Tetraeder ABCD seien die Seitenflächen homogen mit Masse belegt. Der Flächenschwerpunkt F des Tetraeders ABCD ist der Mittelpunkt der seinem Schwerpunkttetraeder A 1,B 1,C 1, D 1 einbeschriebenen Kugel. Aus Symmetriegründen müssen auch die anderen drei Medianen durch die Ecken A 1, B 1, C 1 des Schwerpunkttetraeders Schwerlinien sein Alle vier Medianen schneiden sich im gesuchten Flächenschwerpunkt F Dieser Schnittpunkt der Medianen ist der Mittelpunkt der dem Schwerpunkttetraeder A 1 B 1 C 1 D 1 einbeschrieben Kugel. So ergibt sich die erste Schwerlinie [F D D 1 ] des Tetraeders


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