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Folie 1 §17 Produkte und Quotienten von Vektorräumen (17.1) Satz-Definition: U und V seien K-Vektorräume. Das mengentheoretische Produkt (17.2) Bemerkungen:

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1 Folie 1 §17 Produkte und Quotienten von Vektorräumen (17.1) Satz-Definition: U und V seien K-Vektorräume. Das mengentheoretische Produkt (17.2) Bemerkungen: (u,v) + (x,y) := (u+x,v+y) und t(u,v) := (tu,tv). besitzt in natürlicher Weise eine K-Vektorraumstruktur durch: Für alle (u,v), (x,y) aus und t aus K sei 1 o ist uns bekannt und isomorph zu K 2. 2 o Ebenso, isomorph zu K n+m. 3 o In hat man die Untervektorräume und mit den bemerkenswerten Eigenschaften: mit dieser Struktur heißt das (Vektorraum-) Produkt der Vektorräume u und V.

2 Folie 2 Kapitel III, §17 1 o Zu einem Vektor x aus V = K 2 \{0} und U = Kx ist W = Ky genau dann Komplement, wenn {x,y} linear unabhängig ist. i. W = W 1 + W 2 und und 4 o Analog definiert man das (K-Vektorraum-) Produkt von endlich vielen K-Vektorräumen V 1, V 2,..., V n oder auch von beliebig vielen K-Vektorräumen. ii. jeder Vektor w aus W hat die eindeutige Darstellung w = w 1 + w 2 mit w 1 aus W 1 und w 2 aus W 2. (17.4) Beispiele: (17.3) Definition: Sei V ein K-Vektorraum mit Untervektorräumen V 1 und V 2. V heißt dann die direkte Summe der V 1 und V 2, wenn V = V 1 + V 2 und. Wenn U Untervektorraum von V ist, so heißt ein weiterer Untervek- torraum W von V ein Komplement von U (oder Komplementärraum), wenn V die direkte Summe von U und W ist.

3 Folie 3 Kapitel III, §17 1 o V ist die direkte Summe von V 1 und V 2. (17.4) Lemma: Ein Untervektorraum U eines Vektorraums V besitzt stets ein Komplement (das allerdings nicht eindeutig bestimmt ist). (17.5) Satz: Für Untervektorräume V 1, V 2 von V mit V = V 1 + V 2 sind die folgenden Aussagen äquivalent: Dann ist W := Span {b r+1,..., b n } ein Komplement von V. 2 o {0} ist immer Komplement von V in V und vice versa. 4 o U sei Untervektorraum eines endlichdimensionalen Vektorraums V. Sei {b 1, b 2,..., b r } Basis von U, und seien {b r+1,..., b n } weitere Vektoren in V, so dass {b 1, b 2,..., b n } Basis von V ist. 3 o Das Produkt ist die direkte Summe von und (vgl o ). 2 o Jeder Vektor v aus V hat die eindeutige Darstellung v = v 1 + v 2 mit v 1 aus V 1 und v 2 aus V 2. 3 o Für alle v 1 aus V 1 und v 2 aus V 2 folgt aus v 1 + v 2 = 0 stets v 1 = 0 und v 2 = 0.

4 Folie 4 Kapitel III, §17 1 o v ~ v (~ ist reflexiv). (17.6) Lemma: U sei Untervektorraum von V. Dann gilt für Vektoren v uns w aus V: 1 o Entweder v + U = w + U oder v + U und w + U haben keine gemeinsamen Elemente. 2 o v + U = w + U ist gleichbedeutend mit. (17.7) Bemerkung: Durch für v und w aus V wird auf V eine Äquivalenzrelation definiert, d.h. für v,w,z aus V gilt: 2 o Aus v ~ w folgt w ~ v (~ ist symmetrisch). 3 o Aus v ~ w und w ~ z folgt v ~ z (~ ist transitiv). Die Äquivalenzklassen von ~ sind die Mengen v + U, v aus V: Zur Untersuchung von Quotienten brauchen wir die durch einen Unterraum gegebene Äquivalenzrelation: Die Äquivalenzklassen v + U lassen sich auch verstehen als die affinen Räume in V mit U als Translationsraum.

5 Folie 5 Kapitel III, §17 (17.8) Satz-Definition: U sei Untervektorraum von V. Auf der Menge der Äquivalenzklassen gibt es eine natürliche Struktur eines K-Vektorraums: Für v,w aus V und t aus K setze (v + U) + (w + U) := (v + w) + U, t(v + U) := (tv) + U. Mit dieser Struktur heißt V/~ der Quotientenraum (oder Faktorraum oder Quotient) von V in Bezug auf U und wird mit V/U bezeichnet. (17.9) Satz: Die Abbildung heißt die kanonische Projektion. p ist linear und surjektiv. (17.12) Kanonische Faktorisierung: Sei f eine lineare Abbildung von V nach W. Dann ist die natürliche Abbildung (17.10) Folgerung: Für einen Untervektorraum U von V gilt: (17.11) Beispiel: V sei der Q-Vektorraum der rationalen Cauchyfol- gen (V ist Untervektorraum von Q N ), und U sei der Untervektorraum der rationalen Nullfolgen. Dann ist V/U isomorph zu R.

6 Folie 6 Kapitel III, §17 Durch das folgende Diagramm wird diese Aussage illustriert: (17.12) Folgerungen: Mit der Inklusionsabbildung gilt 1 o Ein Epimorphismus f ist bis auf Isomorphie eine kano- nische Projektion: ist Isomorphismus. 2 o Ein Monomorphismus ist bis auf Isomorphie eine Inklusion: ist Isomorphismus. ein wohldefinierter Isomorphismus von Vektorräumen.


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