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3 Dynamik Seite: 291 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität.

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Präsentation zum Thema: "3 Dynamik Seite: 291 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität."—  Präsentation transkript:

1 3 Dynamik Seite: 291 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mechanik Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ulrich Gabbert Ingo Raecke 3 Dynamik Startseite Eine PowerPoint Präsentation mit Animationen in Text und Bild zur Vermittlung und Veranschaulichung der Grundkenntnisse in der Technischen Mechanik Ende ?

2 3 Dynamik Seite: 292 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Alle auf der beiliegenden CD-ROM enthaltenen Programme, Verfahren und Bilder wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grunde ist das vorliegende Programm- Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autoren und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung oder Garantie und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag © 2003 Carl Hanser Verlag München Wien 3 Dynamik Schutzrechte Ende ?

3 3 Dynamik Seite: 293 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3 Dynamik Hilfe Beachte: Beim erstmaligen Aufruf einer Seite (über das Inhaltsverzeichnis bzw. bei gesetzten Sprüngen oder der gezielten An- wahl einer Seite mit: PowerPoint Foliennummer und Eingabetaste) erscheint nur der von den Autoren vorgesehene Start- inhalt der Seite. Es kann somit das angewählte Kapitel oder das Ziel eines gesetzten Sprungs erst weiter unten auf der Seite nach einigen Animationen erscheinen. Weitere nützliche Funktionen: Im Inhaltsverzeichnis kann man durch Positionierung des Mauszeigers auf eine Kapitelzeile und einem Klick (linke Taste) direkt zu der Seite mit dem angewählten Kapitel gelangen (gesetzter Sprung). Das aktuelle Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) und die aktuelle Seite (bis auf die Statik nicht identisch mit der Foliennummer) erscheint immer unten rechts. Bestimmte Verweise auf Kapitel, Formeln usw. sind rot umrandet. Mit einem Mausklick (linke Taste) in den rot umrandeten Be- reich wird ein gesetzter Sprung zu dem Ziel ausgeführt. Zurück kommt man innerhalb eines Hauptkapitels schnell mit Beachte: Bei Präsentationen mit dem PowerPoint-Viewer erfolgt ein gesetzter Sprung in ein anderes Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) programmbedingt immer nur auf die Startseite des Hauptkapitels. Über das Inhaltsverzeich- nis bzw. die Foliennummer (in der Form: S, F, D angegeben) gelangt man dann schnell an die gewünschte Stelle. Hinweis: Die Nummerierungen der Kapitel, Gleichungen und Bilder sind mit den Nummerierungen im Buch identisch. Zusätzliche Bilder in dieser Präsentation sind nicht nummeriert. Die Seitenzahlen sind nicht identisch mit denen des Buches. zurück zur letzten angesehenen Seite zum Inhaltver- zeichnisses eine Seite vor Aufruf dieser Hilfe ein Kapitel zurück. eine Seite zurück ein Kapitel vor Präsentation beenden Ende ? Zum vereinfachten Navigieren ist auf jeder Seite eine Symbolleiste mit folgenden Funktionen, die mit dem Mauszeiger durch Anklicken aktiviert werden, angeordnet: Hilfe (siehe auch Datei auf der CD-ROM: Hinweise.doc) Animationsschritt vorwärts:Eingabetaste ( ), Leertaste, linke Maustaste, Nach-Rechts-, Nach-Unten-, Bild-Nach-Unten-Taste und N Animationsschritt zurück:Nach-Links-, Nach-Oben-, Bild-Nach-Oben-Taste und P Seitenwechsel: erfolgen bei der fortlaufenden Animation automatisch Eine Seite anwählen:PowerPoint Foliennummer und Eingabetaste (z. B. im gelben Feld des Inhaltsverzeichnisses angegeben) Präsentation beenden:Esc Die PowerPoint-Präsentation kann mit den Funktionen, die das Programm PowerPoint bzw. PowerPoint-Viewer bietet, vorgenom- men werden (siehe auch die Hilfefunktion zu PowerPoint, die während der Präsentation z. B. über das Menü der rechten Maus- taste erreichbar ist). Für Nutzer von PowerPoint-Viewer (hier steht die Hilfe nicht zur Verfügung) sind die wichtigsten Funktionen nachfolgend aufgeführt: Ende ?

4 3 Dynamik Seite: 294 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3 Dynamik Einführung Die CD-ROM enthält den kompletten 1 Buchinhalt in Form einer PowerPoint-Präsentation, die so aufbereitet wurde, dass sich die Lehrinhalte – wie bei einer Vorlesung – Schritt für Schritt auf dem Bildschirm entwickeln, wobei Sie selbst das Tempo bestimmen können. Vor- und Rücksprünge zu Kapiteln, Gleichungen und Bildern, auf die bei der Ableitung eines Zusammenhangs oder beim Lösen von Beispielen Bezug genommen wird sowie ein einfaches Navigieren auf der CD-ROM unter Nutzung des Inhaltsverzeichnisses und der auf jeder Seite vorhandenen Symbolleiste (siehe unten), erleichtern die Arbeit mit der PowerPoint-Präsentation. Zeichnungen, Bilder, zusätzliche Fotos und Animationen in Farbe begleiten die Entwicklung eines Gedanken- ganges, lassen den Lösungsweg einer Aufgabe klarer hervortreten und unterstützen so den nicht immer ein- fachen Lernprozess und das Verstehen der Zusammenhänge. Allerdings können Sie weder das Buch noch die CD-ROM von der Notwendigkeit entbinden, sich den Stoff mit Bleistift und Papier zu erarbeiten und selbständig möglichst viele Beispiele zu rechnen. Die Mechanik erschließt sich nicht einfach nur durch das Lesen eines Buches oder das Abspielen einer CD-ROM, sondern erfordert die Bereitschaft und die Mühe, das Gehörte und Gelesene zu verstehen und das Verständnis an Hand von Beispielen zu überprüfen. Wir hoffen aber, dass das vorliegende Buch und die beigefügte CD-ROM das Lernen, das Verstehen und das Anwenden der vermittelten Lehrinhalte erleichtern und wirkungsvoll unterstützen. 1 Die Textpassagen sind auf der CD-ROM gegenüber dem Buch etwas umgestellt und um die Teile gekürzt, die nicht unmittelbar zur Herleitung eines Gedankenganges benötigt werden. Das war unserer Meinung nach deshalb notwendig, um zusammen- hängende Ableitungen möglichst auf eine PowerPoint Seite bringen zu können und um unnötige Rücksprünge zu vermeiden. Ende ?

5 3 Dynamik Seite: 295 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure identisch mit Seite PowerPoint Folien-Nr. Inhaltsverzeichnis (Datei: TM-Wi-stat.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit S ) Ende ? 3 Dynamik Inhalt Seite: 5 1.1Grundlagen15 S Starrer Körper15 S Kraft16 S Wechselwirkungsprinzip Schnittprinzip Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte Gleichgewicht Äquivalenz von Kräften23 1.2Zentrales ebenes Kraftsystem Resultierende Gleichgewicht von Kräften Lagerungsbedingungen32 1.3Allgemeines ebenes Kraftsystem Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte Moment Versetzungsmoment Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept) Gleichgewicht von Kräften und Momenten Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe46 S 46 Seite 1STATIK12 S 12

6 3 Dynamik Seite: 296 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ende ? 3 Dynamik Inhalt Seite: 6 identisch mit Seite 1.4Ebene Tragwerke49 S Grundbegriffe Lagerung starrer Scheiben Streckenlasten Definition von Streckenlasten Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast Beispiele59 1.5Scheibenverbindungen Ermittlung der statischen Bestimmtheit Dreigelenkträger Gerberträger Ebene Fachwerke Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken Arten von Fachwerken Berechnungsmethoden für Fachwerke83 1.6Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen Definition der Schnittgrößen Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen Differentielle Beziehungen Anwendungen98 1.7Zentrales räumliches Kraftsystem Ermittlung der Resultierenden Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe112 S 112

7 3 Dynamik Seite: 297 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ende ? 3 Dynamik Inhalt Seite: 7 identisch mit Seite 1.8Allgemeines räumliches Kraftsystem114 S Zusammensetzung von Kräften und Momenten Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente Räumlich gestützter Körper Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken Schwerpunkt Massenschwerpunkt Volumenschwerpunkt Flächenschwerpunkt ebener Flächen Linienschwerpunkt ebener Linien Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde Anmerkungen zur Berechnung von Schwerpunkten Definition der Flächenträgheitsmomente Satz von S TEINER Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen Hauptträgheitsmomente Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen Flächenträgheitsmomente Haftung und Gleitreibung Haftung (Zustand der Ruhe) Gleitreibung (Zustand der Bewegung) Seilhaftung und Seilreibung Seilhaftung Seilreibung160 S 160

8 3 Dynamik Seite: 298 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure (Datei: TM-Wi-fest.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit F ) Ende ? 3 Dynamik Inhalt Seite: 8 2Festigkeitslehre161 F Grundlagen der Festigkeitslehre162 F Einleitung162 F Spannungszustand168 F Deformationszustand 171 F Elastizitätsgesetze (Materialgesetze) 174 F Elastizitätsgesetz für die Dehnung 175 F Elastizitätsgesetz für die Gleitungen 181 F Verallgemeinertes H OOKE sches Gesetz 182 F Zug und Druck184 F Spannungen und Verformungen von Stabsystemen184 F Berechnung der Spannung184 F Berechnung der Verformungen188 F Flächenpressung198 F Biegung203 F Voraussetzungen und Annahmen203 F Spannungen bei gerader Biegung205 F Verformungen bei gerader Biegung 212 F Schiefe Biegung229 F Querkraftschub234 F Schubspannungen infolge Querkraftbelastung234 F Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftbelastung238 F 89

9 3 Dynamik Seite: 299 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure (Datei: TM-Wi-dyn.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit D ) 3Dynamik302 D Kinematik des Punktes304 D Definitionen304 D Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten 305 D Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten 307 D Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten 309 D Bewegung auf einer Kreisbahn 311 D Grundaufgaben der Kinematik 313 D 23 Ende ? 3 Dynamik Inhalt Seite: Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten 243 F Annahmen und Voraussetzungen243 F Berechnung der Torsionsspannung244 F Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel )247 F Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte254 F Torsion242 F Scherbeanspruchung258 F Überlagerung gleichartiger Spannungen 264 F Mehrachsige Spannungszustände265 F Spannungshypothesen275 F Zusammengesetzte Beanspruchung263 F Einführung 285 F Ein einfaches Stabilitätsproblem290 F E ULER -Fälle293 F Stabilität285 F 136

10 3 Dynamik Seite: 300 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3.2.1Grundlagen318 D Momentanpol319 D Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern325 D Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers318 D D A LEMBERT sche Prinzip für Punktmassen 330 D Ebene Bewegungen von starren Körpern337 D Aufstellung von Bewegungsgleichungen349 D Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern330 D Energiebetrachtungen356 D Arbeit, Energie, Leistung356 D Arbeit356 D Potentielle Energie 359 D Energieerhaltungssatz360 D Leistung368 D Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers371 D Verallgemeinerung des Energiesatzes376 D L AGRANGE sche Bewegungsgleichungen 2. Art380 D Schwingungen389 D Einführung389 D Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad394 D Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad407 D Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad417 D Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden424 D 134 Ende ? 3 Dynamik Inhalt Seite: 10

11 3 Dynamik Seite: 301 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Einführung424 D Aufstellen der Bewegungsgleichungen425 D 135 bis 435 D 145 Ende ? 3 Dynamik Inhalt Seite: 11

12 3 Dynamik Seite: 302 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3Dynamik Ziel der Dynamik In den Kapiteln 1 Statik und 2 Festigkeitslehre wurden mechanische Systeme im Zustand der Ruhe behandelt. In der Dynamik werden bewegte Systeme untersucht. Die Unterteilung der Dynamik in Kinematik und Kinetik ist eine zweckmäßige und übliche Vorgehensweise in der Technischen Mechanik (Bild 3.1). Zunächst befassen wir uns im Teilgebiet Kinematik mit den Bewegungen von Punkten und starren Körpern, ohne nach der Ursache der Bewegung zu fragen. Danach beziehen wir Kräfte als Ursache oder Wirkung von Bewegungen von Massen in die Betrachtung ein. Dieses zweite Teilgebiet der Dynamik wird als Kinetik bezeichnet. Dynamik Kinematik "Lehre vom Bewegungsablauf, ohne dass auf die Kräfte als Ursache oder Wirkung von Bewegungen eingegangen wird" "Lehre vom Zusammenspiel von Kräften und Bewegungen" "Lehre vom Zusammenspiel von Kräften und Bewegungen" Kinetik Bild 3.1 Übliche Unterteilung der Dynamik Ende ?

13 3 Dynamik Seite: 303 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Mit den folgenden Namen sind wichtige Beiträge zur Entwicklung der Dynamik verbunden: 1 G ALILEO G ALILEI ( )Fall- und Wurfgesetze J OHANNES K EPLER ( )K EPLER sche Gesetze (Planetenbewegung) I SAAC N EWTON ( )N EWTON sche Grundgesetze (Bewegungsgesetze) J EAN D A LEMBERT ( ) D A LEMBERT sches Prinzip J OSEPH L OUIS L AGRANGE ( )L AGRANGE sche Bewegungsgleichungen W ILLIAM R OWAN H AMILTON ( )H AMILTON sches Prinzip 1 Weitere Informationen zur historischen Entwicklung der Mechanik findet man z. B. in [6] Ende ?

14 3 Dynamik Seite: 304 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure a) Die Lage (der Ort, der Weg) des Punktes P auf der Bahnkurve ist durch den Ortsvektor bestimmt (Bild 3.2). r(t) 3.1Kinematik des Punktes 3.1.1Definitionen Bild 3.2 Lagebeschreibung eines Punktes auf einer Bahnkurve x y z P Bahnkurve r(t) v(t) Der Bewegungszustand eines Punktes P auf einer Bahnkurve wird in der Kinematik durch seine Lage (Ort, Weg) auf der Bahnkurve, seine Geschwindigkeit und seine Beschleunigung bezogen auf ein Koordi- natensystem in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben (Bild 3.2). Diese Größen sind nicht unabhängig voneinander. Ihre allgemeinen Definitionen und die Zusammenhänge unterein- ander werden im Folgenden angegeben. b) Die Geschwindigkeit des Punktes P ist definiert als Einheit: (3.1) Betrag der Geschwindigkeit: Richtung der Geschwindigkeit: tangential zur Bahnkurve c) Die Beschleunigung des Punktes P ist definiert als Betrag der Beschleunigung: Richtung der Beschleunigung: keine allgemeine Aussage möglich (3.2) Einheit: Ende ?

15 3 Dynamik Seite: 305 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beachte: Sowohl der Betrag der Geschwin- digkeit als auch der Tangenteneinheits- vektor sind zeitlich veränderlich! x y z P(x,y,z) x(t) y(t) z(t) Bahnkurve Wir definieren (vgl. Bild 3.3): - Einheitsvektoren in Richtung x, y, z a) Lage von P Ortsvektor: 3.1.2Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten Ein Bewegungsablauf kann völlig gleichwertig mit unterschiedlichen Koordinatensystemen darge- stellt werden. Die Wahl eines zweckmäßigen Koordinatensystems kann aber den Rechenweg deutlich vereinfachen und wesentliche Bewegungsvorgänge klarer erkennen lassen. Deshalb haben wir nachfolgend die gebräuchlichsten Koordinatendarstellungen aufgeführt. r(t) v(t) exex eyey ezez e t (t) Bild 3.3 Lagebeschreibung eines Punktes in kartesischen Koordinaten - Tangenteneinheitsvektor (zeitabhängige Richtung!) Parameterdarstellung mit der Zeit t als Parameter b) Geschwindigkeit oder: Betrag der Geschwindigkeit: (3.3) Ende ?

16 3 Dynamik Seite: 306 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure c) Beschleunigung Betrag der Beschleunigung: (3.4) Ende ?

17 3 Dynamik Seite: 307 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3.1.3Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten Bild 3.4 Lagebeschreibung eines Punktes in Bahnkoordinaten Hinweis: Das ist der Beweis, dass der Geschwindigkeitsvektor in Richtung der Bahntangente weist! x y z P enen M etet s(t) Bahnkurve s(t) - Bahnkoordinate M - Hauptkrümmungsmittelpunkt - Hauptkrümmungsradius - Normaleneinheitsvektor (zeitabhängig!) e n (t) a) Lage von P Ortsvektor: b) Geschwindigkeit Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.5)? Damit folgt aus (3.5) bis (3.7) die Geschwindigkeit von P zu Betrag der Geschwindigkeit: Aus Bild 3.5 folgt (3.5) mit der Bahngeschwindigkeit (3.6) x z P r e t ·ds s r + dr ds y Bild 3.5 Differentielle Änderung des Ortsvektors (3.7) r(t) Ende ?

18 3 Dynamik Seite: 308 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure P enen M etet s(t) ds d e t +de t a) Bild 3.6 Differentielle Änderung des Tangenteneinheitsvektors c) Beschleunigung Weiter folgt für differentiell kleine Größen (vgl. Bild 3.6 b): Wegen (vgl. Bild 3.6 a) mit und Einsetzen von (3.10) in (3.9) liefert Damit ergibt sich für die Beschleunigung in Bahnkoordinaten aus (3.8) wird enen M etet e t +de t de t =c·e n d b) (3.8) (3.9) (3.10) Normalbeschleunigung(3.10) Tangentialbeschleunigung mit (3.12) Betrag: (3.11) Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.8)? Ende ?

19 3 Dynamik Seite: 309 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3.1.4Polarkoordinaten Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.14)? Analog zur Herleitung von (3.10) erhält man Aus Bild 3.8 liest man ab, dass in die Richtung von weist! de r e Betrag: und aus (3.15) folgt - Einheitsvektoren in Richtung r und (zeitabhängig!) Wir definieren (vgl. Bild 3.7): P x y r(t) (t) d e erer d Bild 3.7 Lagebeschreibung eines Punktes in Polarkoordinaten e erer de r de e de er+er+ de r d Bild 3.8 Differentielle Änderung der Einheitsvektoren a) Lage von P Ortsvektor: b) Geschwindigkeit (3.14) (3.15) Die Geschwindigkeit in ebenen Polarkoordinaten wird (3.16) Für beliebige Bewegungen in der Ebene sind häufig Polarkoordinaten (r, ) zweckmäßig! Ende ?

20 3 Dynamik Seite: 310 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure c) Beschleunigung Die Zeitableitung der Geschwindigkeit liefert: Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.17)? Aus Bild 3.8 folgt, dass entgegen weist! de erer Analog zur Herleitung der Gleichung (3.10) erhält man und aus (3.18) folgt Damit erhält man für die Beschleunigung in ebenen Polarkoordinaten nach (3.17) Betrag: e erer de r de e de er+er+ de r d Bild 3.8 Differentielle Änderung der Einheitsvektoren (3.17) (3.18) oder nach Zusammenfassen (3.19) Mit Winkelgeschwindigkeit [ s -1 ] (3.20) wird (3.21) Ende ?

21 3 Dynamik Seite: 311 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Bild 3.9 Bewegung eines Punktes auf einer Kreisbahn b) R Winkelbeschleunigung Einheit: [s -2 ] und (3.26) 3.1.5Bewegung auf einer Kreisbahn Die Bewegung auf einer Kreisbahn ist der Sonderfall der Bewegung in Bahnkoordinaten ( = R = konst.) bzw. in Polarkoordinaten (r(t)= R = konst.)! a) Lage von P: Kreisbahn mit Radius R Betrag: Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung ergeben sich aus (3.16) und (3.21), wenn man r(t) = R = konstant setzt. b) Geschwindigkeit: (3.22) P R Bahnkurve s e n = -e r e t e a) Betrag: c) Beschleunigung: (3.23) Normalbeschleunigung mit (3.24) Tangentialbeschleunigung (3.25) v = R a t = R. a n = R Ende ?

22 3 Dynamik Seite: 312 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ist die Winkelgeschwindigkeit = konstant, dann gilt: Zeit für einen Umlauf: [s] Anzahl der Umläufe in einer Sekunde (Frequenz f): [s –1 bzw. Hertz] Anzahl der Umläufe pro Zeiteinheit (Drehzahl n): Hinweis: Für technische Anwendungen wird die Drehzahl meistens in Anzahl der Umläufe pro Minute angegeben: mit in s –1 Ende ?

23 3 Dynamik Seite: 313 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure GegebenAnleitung zur Ermittlung der übrigen Funktionen 3.1.6Grundaufgaben der Kinematik Wenn die Bewegung auf einer bekannten Bahn erfolgt, lassen sich bei Kenntnis nur einer Bewegungsgleichung die jeweils fehlenden Gleichungen durch Differentiation oder Integration ermitteln. Tabelle 3.1 enthält dafür einige typische Beispiele. Tabelle 3.1 Grundaufgaben der Kinematik für die Anfangsbedingungen (AB): s(t = t 0 ) = s 0 und v(t = t 0 ) = v 0 Ende ?

24 3 Dynamik Seite: 314 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Bild 3.10 Freier Fall einer Masse g h m Bahn der Masse v = 0, Beispiel 3.1 Freier Fall (ohne Luftwiderstand) y (Bewegungs- koordinate) t = 0 t = T Gesucht: Auftreffgeschwindigkeit v A und Zeit T bis zum Auftreffen auf den Boden. Was ist von der Bewegung bekannt? Bekannt ist die auf m wirkende Beschleunigung in y-Richtung (Bewegungskoordinate): Die Integration liefert: (1) (2) c 1 und c 2 sind noch unbekannte Integrationskonstanten. Sie lassen sich aus bekannten Bedin- gungen für bestimmte Bewegungsgrößen am Anfang der Bewegung (Anfangsbedingungen, oder kurz AB) ermitteln. Anfangsbedingungen (AB):mit (1) folgt: mit (2) folgt: Weg-Zeit-Gesetz dieser Bewegung Mit diesen Integrationskonstanten erhalten wir aus (1) und (2) die Bewegungsgesetze Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz dieser Bewegung Ende ?

25 3 Dynamik Seite: 315 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Mit diesen beiden Gleichungen ergeben sich die gesuchten Größen aus den Endbedingungen der Bewegung. Endbedingungen: Aus 3. folgt mit dem Weg-Zeit-Gesetz: Fallzeit Aus 4. folgt mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: Auftreffgeschwindigkeit Beachte: Die Fallzeit T und die Auftreffgeschwindigkeit v A sind unabhängig von der Größe der Masse m und bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes (wie hier vorausgesetzt) auch unabhängig von der geometrischen Gestalt der Masse m! Ende ?

26 3 Dynamik Seite: 316 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure v0v0 xwxw m Bild 3.11 Flug einer Kanonenkugel Beispiel 3.2 Flug einer Kanonenkugel (ohne Luftwiderstand) v0v0 v 0 ·cos v 0 ·sin x y t = 0 t = T Flugbahn Gegeben: m, v 0,, g Gesucht: Flugweite x w, Flugdauer T, Winkel max für maximale Flugweite Was ist über die Bewegung der Kugel bekannt? Bekannt sind die während der Flugphase auf die Masse m wirkenden Beschleunigungen in x- und y-Richtung: Die Integration der beiden Gleichungen liefert und (1) (2) Die Konstanten c 1 bis c 4 lassen sich aus vier bekannten Anfangsbedingungen berechnen: c 2 = 0 c 4 = 0 c 1 = v 0 ·cos c 3 = v 0 ·sin Weg-Zeit-Gesetze in x- und y-Richtung Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze in x- und y-Richtung Damit aus (1) und (2): Ende ?

27 3 Dynamik Seite: 317 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Die Flugweite und die Flugdauer folgen aus den Endbedingungen der Bewegung: Flugdauer Flugweite Der Winkel für die maximale Flugweite ergibt sich aus der Extremwertaufgabe: Winkel für maximale Flugweite: Mit dem Weg-Zeit-Gesetz für die x-Richtung folgt aus der Endbedingung 6.: Mit dem Weg-Zeit-Gesetz für die y-Richtung folgt aus der Endbedingung 5.: Maximale Flugweite: Ende ?

28 3 Dynamik Seite: 318 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure x y A P starrer Körper Bild 3.12 Lagebeschreibung eines starren Körpers in der Ebene Starrer Körper im Raum (3D-Fall): Ein starrer Körper im Raum hat 6 Freiheitsgrade (z. B. 3 Translationen in Richtung der drei Raumachsen x,y,z und 3 Rotationen um diese Achsen) Grundlagen 3.2Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers Bisher haben wir nur die Bewegung von Massenpunkten behandelt! Im Folgenden wollen wir die allgemeine Bewegung von starren Körpern betrachten. Starrer Körper in der Ebene (2D-Fall): Die Lage, die Lageänderungen und die Bewe- gungen eines starren Körpers in der Ebene kön- nen durch 3 geeignete Koordinaten eindeutig beschrieben werden (Bild 3.12). Ein starrer Körper in der Ebene hat daher 3 Freiheitsgrade: zwei Translationen (x A, y A ) eines beliebigen Punktes A in x- und y-Richtung eine Rotation ( um diesen Punkt A Jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus der Translation eines körperfesten Punktes (im Allgemeinen wählt man zweckmäßig den Schwerpunkt) und einer Rotation um diesen Punkt zusammensetzen (die Reihenfolge ist beliebig)! P yAyA xAxA A A P yAyA xAxA P A xAxA Ende ?

29 3 Dynamik Seite: 319 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure x y A xAxA yAyA rArA Bild 3.13 Berechnung des Momentanpols P 3.2.2Der Momentanpol Satz: Bei der Bewegung eines starren Körpers gibt es stets einen Punkt, der sich für einen Moment in Ruhe (v = 0) befindet. Das ist der Momentanpol P der Geschwindigkeit. Frage: Wo liegt bei einer allgemeinen Bewegung der Momentanpol P. Wir betrachten den 2D-Fall in Bild P xPxP yPyP rPrP Wenn P der Momentanpol sein soll, muss gelten und man erhält aus (3.27) ein System mit zwei Gleichungen für r und : Wir differenzieren und erhalten die Geschwindigkeiten des Punktes P (3.27) und Einsetzen in (3.28) liefert: Aus dem Bild folgt mit r = konst.: r·sin r·cos - Translationsgeschw. von A r erer = r erer,. - Winkelgeschwindigkeit um A. und (3.28) Aus dem Bild 3.13 liest man ab: Koordinaten des Momentanpols (3.29) Ende ?

30 3 Dynamik Seite: 320 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ist die Lage des Momentanpols P bekannt, so kann die allgemeine Bewegung eines starren Körpers im Moment als reine Rotation um diesen Momentanpol P (Bild 3.14) angesehen werden und es gelten die Gesetze der Kreisbewegung (siehe Kapitel 3.1.5). Hinweis: Die Geschwindigkeit v des Momentanpols ist im betrachteten Moment Null, aber seine Beschleunigung ist im Allgemeinen ungleich Null! Das bedeutet, dass sich die Lage des Momentanpols in der Zeit ändern kann! Bedeutung des Momentanpols Beschleunigung: Geschwindigkeit: Punkt A: Punkt Q: Geschwindigkeit: Beschleunigung: Nach Kapitel ergeben sich bei Betrachtung der allgemeinen Bewegung des starren Körpers in Bild 3.14 als reine Rotation um den Momentanpol P für die Punkte A und Q die folgenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (siehe Gleichungen (3.22), (3.24) und (3.25)). Bild 3.14 Rotation um den Momentanpol P (Momentanpol) =. starrer Körper rArA A a tA a nA rQrQ Q vAvA.. vQvQ a tQ a nQ Ende ?

31 3 Dynamik Seite: 321 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Nach Bild 3.15 b) folgt als Rollbedingung Q S R P b) S x Q Beispiel 3.3 Rollendes Rad Gegeben:v s, R, a, Gesucht: Geschwindigkeit v K eines beliebigen Punktes K Ein Rad rollt ohne zu gleiten. Der Mittelpunkt S bewegt sich dabei mit der Geschwindigkeit v s und das Rad dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit (Bild 3.15 a. Der abrollende Bogen PQ und der vom Schwerpunktes S zurückgelegte Weg x (bzw. die Strecke PQ) müssen gleich groß sein, wenn kein Gleiten zwischen dem Rad und der Unterlage eintritt! Rollbedingung (ohne zu gleiten): Bild 3.15 Rollendes Rad S vSvS R a) (3.30) a K 1. Lösungsvariante Lösungsstrategie: Die Lösung erfolgt durch Überlagerung der Translation des Schwerpunktes S mit der Rotation um den Schwerpunkt S. Der Punkt K hat die gleiche Translationsgeschwindigkeit v S wie der Schwerpunkt S. Zu dieser Geschwindigkeit addiert sich vektoriell die Rotationsgeschwindigkeit a des Punktes K infolge der Drehung um den Schwerpunkt S (Bild 3.16, folgende Seite). Ende ?

32 3 Dynamik Seite: 322 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Die Rotationsgeschwindigkeit steht senkrecht zum Radiusstrahl von S nach K (Bild 3.16). S vSvS R K a Bild 3.16 Überlagerung: Translation und Rotation Nach dem Kosinussatz (vgl. markiertes Dreieck in Bild 3.16) folgt: Mit der Rollbedingung v S = R ergibt sich die Geschwindigkeit v K des Punktes K zu a vKvK vSvS Zunächst wird die Lage des Momentanpols P ermittelt. Dazu definieren wir ein Bezugssystem (x,y) im Auflagepunkt der Rolle (Bild 3.17). 2. Lösungsvariante Lösungsstrategie: Reine Rotation um den Momentanpol P. S vSvS R K a Bild 3.17 x y Mit und (Beachte positive Definition von und ; vgl. auch Bild 3.13) Wenn in Gleichung (3.29) der Punkt A der Schwerpunkt S ist, ergibt sich und (1) folgt die Lage des Momentanpols P aus (1) zu: Momentanpol P ist der aktuelle Auflagepunkt! Momentanpol P Ende ?

33 3 Dynamik Seite: 323 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure vSvS S Bild 3.17 Für eine reine Rotation um den jetzt bekannten Momentanpol P wird die Geschwindigkeit des Punktes K (vgl. Bild 3.18) Der Abstand r K vom Momentanpol P zum Punkt K folgt aus dem Kosinussatz im markierten Dreieck des Bildes 3.18 zu Damit erhält man aus (2) für die Geschwindigkeit des Punktes K erwartungsgemäß das gleiche Ergebnis wie nach der Variante 1. v K = r K · (2) rKrK vKvK K a P (Momentanpol) R Ende ?

34 3 Dynamik Seite: 324 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure starrer Körper a) Bild 3.20 Lage des Momentanpols bei Kenntnis der Geschwindigkeiten zweier Punkte A B Weitere Hinweise zur Bestimmung des Momentanpols: Bei einem rollenden Rad (reines Rollen ohne Gleiten voraus- gesetzt) auf einer ruhenden Unterlage ist der Momentanpol P immer der Berührungspunkt (Bild 3.19 a). Eine lose Rolle mit einem festen Seilende kann als ein an dem festen Seilende abrollendes Rad angesehen werden (z. B. ein Jo-Jo). Der Momentanpol P liegt somit immer dort, wo das feste Seilende die Rolle verlässt (Bild 3.19 b). Bild 3.19 Lage des Momentanpols P beim rollenden Rad und bei einer losen Rolle mit festem Seilende P a) P v b) Sind die Bewegungsrichtungen zweier Punkte A und B eines starren Körpers bekannt und nicht parallel, so kann der Momentanpol P als Schnittpunkt der Senkrechten auf die Geschwindigkeitsrichtungen in diesen zwei Punkten bestimmt werden (Bild 3.20 a). Sind die Bewegungsrichtungen zweier Punkte A und B parallel, so liegt der Momentanpol P auf der Verbindungslinie dieser zwei Punkte (Bild 3.20 b). Die Lage des Momentanpols auf dieser Linie kann bei bekannten Geschwindigkeiten aus der folgenden Grundbeziehung berechnet werden: mit Zum Beispiel: Lose Rolle mit zwei bewegten Seilenden b) S r P Sonderfall: Bei parallelen, gleich gerichteten und gleich großen Geschwindigkeiten zweier Punkte (v A = -v B, das be- deutet Translation) liegt der Momentanpol im Unendlichen! bzw. vSvS A B vBvB vAvA rArA rBrB P Ende ?

35 3 Dynamik Seite: 325 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3.2.3Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern Wir hatten bereits erkannt (vgl. Kapitel 3.2.1), dass die Lage eines starren Körpers in der Ebene durch drei Koordinaten eindeutig beschrieben ist. Im Folgenden wollen wir die Betrachtungen nur in der Ebene vornehmen. x, y-Koordinaten eines Punktes (zweckmäßig der Schwerpunkt S) Bild 3.21 Lagebeschreibung eines Körpers x y Beispiel (Bild 3.21):Die drei Koordinaten, welche die Lage des starren Körpers eindeutig beschreiben sind -Winkelkoordinate xSxS ySyS S Bei einem System aus Punktmassen und/oder starren Körpern können auch mehr Koordi- naten zur Lagebeschreibung zweckmäßig sein. Das hängt von der Anzahl der Punktmassen und starren Körper und der Art ihrer Kopplungen ab. Satz: Die Anzahl der zur eindeutigen Beschreibung der Lage eines Systems aus Punktmassen und starren Körpern notwendigen Koordinaten nennt man die Anzahl der Freiheitsgrade f. Das Bild 3.22 (siehe nächste Seite) zeigt einige Beispiele für Systeme aus Massen bzw. starren Körpern. Für jedes System sind die zur eindeutigen Lagebeschreibung notwendigen Koordina- ten (eine von mehreren Möglichkeiten) und der Freiheitsgrad f angegeben. Ende ?

36 3 Dynamik Seite: 326 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure x starr x2x2 x1x1 Feder f = 1 f = f = 1 x reines Rollen Seile dehnstarr, kein Schlupf Bild 3.22 Freiheitsgrade von Systemen Häufig ist es zweckmäßig, mehr Koordinaten einzuführen, als das System Freiheitsgrade f hat. Dann bestehen zwischen den Koordinaten (bzw. zwischen den Ableitungen der Koordinaten nach der Zeit, den Geschwindigkeiten) bekannte Abhängigkeiten, die so genannten Zwangsbedingungen (ZB), mitn–Anzahl der eingeführten Koordinaten z–Anzahl der Zwangsbedingungen f = n - z (3.31) und es muss folgende Bedingung erfüllt sein: Ende ?

37 3 Dynamik Seite: 327 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.4 Rollendes Rad (Koordinaten, Freiheitsgrad, Zwangsbedingungen) S R x P Bild 3.23 Rollendes Rad Die Bewegung eines rollenden Rades (ohne gleiten) wird zunächst durch zwei Bewegungskoordinaten x und beschrieben (Bild 3.23). Reines Rollen eines Rades:f = 1 Aus (3.31) folgt: z = n - f = = 1, Die Zwangsbedingung kann aus der Rotation des Rades um den Momentanpol P, die mit der Winkelgeschwindigkeit erfolgt, gefunden werden (vgl. Kapitel 3.2.2). d. h. es muss eine Zwangsbedingung (ZB) geben. n = 2Anzahl der eingeführten Koordinaten: Damit gilt: Für die Geschwindigkeit v S des Schwerpunktes S gilt ZB für die Geschwindigkeiten Daraus folgt durch Integration allgemeine ZB für die Koordinaten Die Integrationskonstante c folgt aus einer Anfangsbedingung (AB). Wir nehmen an, dass zur Zeit t = 0 sowohl die Koordinate x als auch der Winkel Null sind. Die AB lauten dafür und damit ZB zwischen den Koordinaten für die angenommenen AB Ende ?

38 3 Dynamik Seite: 328 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure x1x1 x 1 Beispiel 3.5 System starrer Körper Für das System nach Bild 3.24 mit den einge- tragenen Bewegungskoordinaten (x 1, 1, 2, x 2 ) werden die ZB zwischen den Koordinaten ge- sucht. Reines Rollen und ein dehnstarres Seil ohne Schlupf werden vorausgesetzt. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1 (Rollbedingung; vgl. Beispiel 3.3 und Beispiel 3.4) Bild 3.24 System aus starren Körpern S R1R1 r1r1 r2r2 P1P1 P2P2 n = 4 Anzahl der eingeführten Koordinaten: Es gilt: Aus (3.31) folgt: z = n - f = = 3, d. h. es muss drei Zwangsbedingungen (ZB) geben. Für die Ermittlung der ZB betrachten wir die Rotation des rollenden Rades mit der Winkelge- schwindigkeit um den Momentanpol P 1 (vgl. Bild 3.25, bzw. auch Beispiel 3.4) und die Rota- tion der Umlenkrolle mit der Winkelgeschwindig- keit um den Momentanpol P 2. Es folgt: (Seilgeschwindigkeit am rollenden Rad) ( = Seilgeschwindigkeit, = Tangentialgeschwindigkeit der Umlenkrolle; da kein Schlupf und ein dehnstarres Seil angenommen wird, gilt ) 2 x2x2 1 x1x1 2 Bild 3.25 Geschwindigkeiten am rollenden Rad und an der Umlenkrolle R 1 +r 1 S R1R1 P1P1 r2r2 P2P2 x x2x2 Ende ?

39 3 Dynamik Seite: 329 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Die Integration dieser ZB für die Geschwindigkeiten liefert die allgemeinen ZB für die Bewegungs- koordinaten, die noch unbekannte Integrationskonstanten enthalten. x 1 (t=0)=0, 1 (t=0)=0, 2 (t=0)=0, x 2 (t=0)=0 Mit den Anfangsbedingungen x 1 = R 1 · 1 x 2 = (R 1 +r 1 )· 1 x 2 = r 2 · 2 werden die Integrationskonstanten c 1 bis c 3 in den Zwangsbedingungen Null (vgl. Beispiel 3.4) und wir erhalten: Ende ?

40 3 Dynamik Seite: 330 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3.3Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern Im Allgemeinen reicht eine kinematische Betrachtungsweise nicht aus, um die Bewegungen von Körpern zu beschreiben, da im Allgemeinen auch Kräfte auf die Körper einwirken. Im Teilgebiet Kinetik werden die Zusammenhänge zwischen den kinematischen Größen (Weg, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung) und den während der Bewegung auftretenden Kräften untersucht D A LEMBERT sches Prinzip für Punktmassen Die bisher in der Statik angenommenen Axiome werden um ein weiteres Axiom, das so genannte N EWTON sche Grundgesetz der Dynamik (1687), ergänzt: und für m = konst. (3.32) Das N EWTON sche Grundgesetz in seiner ursprünglichen Form gilt nur für freie Punktmassen (keine Bindungen z. B. durch eine Führung der Massen) und setzt Folgendes voraus: Die Masse m ist zeitlich unveränderlich. Die Geschwindigkeit v ist sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Das Bezugssystem wird als beschleunigungsfrei angenommen (Inertialsystem). Ende ?

41 3 Dynamik Seite: 331 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Häufig sind die Systeme durch Lager und Führungen (oft mit Reibung) mit der Umgebung ver- bunden. Zur Behandlung solcher gebundener Systeme dient das D A LEMBERT sche Prinzip, das wir nachfolgend einführen wollen. Trägheitskräfte (Massenträgheitskräfte) Die auf eine Masse wirkenden Kräfte lassen sich wie folgt einteilen: Äußere eingeprägte Kräfte Reaktionskräfte Bei gebundenen (z. B. gelagerten) Systemen gehen durch die Bindungen Kräfte verloren, die somit nicht für die Beschleunigung des Systems zur Verfügung stehen. Es gibt also noch die so genannten verlorenen Kräfte Für eine freie Masse sind die Kräfte im N EWTON schen Grundgesetz (3.32) gleich den ein- geprägten Kräften. Bei gebundenen Systemen vermindern sich die für die Beschleunigung wirksamen Kräfte um die verlorenen Kräfte. Für gilt dann Die verlorenen Kräfte stehen mit den Reaktionskräften (z. B. Lagerkräften) im Gleichgewicht, d. h. es gilt Setzt man diese Kräfte in (3.32) ein, so folgen daraus die verlorenen Kräfte verlorenen Kräfte (1) mit (1) und mit folgt (3.33) Ende ?

42 3 Dynamik Seite: 332 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure (3.33) Die Gleichung (3.33) ist das N EWTON sche Grundgesetz in der D A LEMBERT schen Form. Damit wird folgende prinzipielle Aussage beschrieben: Das kinetische Problem wird formal auf ein statisches Problem zurückgeführt, indem zu den eingeprägten Kräften und den Reaktionskräften die Massenträgheitskräfte (auch D ´A LEMBERT sche Kräfte genannt) hinzugefügt werden! Vorgehensweise bei der Anwendung des D A LEMBERT sche Prinzips: Einführung von Bewegungskoordinaten (gegebenenfalls Zwangsbedingungen zwischen den Koordinaten ermitteln) Freischneiden der bewegten Massenpunkte in einer allgemeinen Lage Antragen aller eingeprägten Kräfte und aller Reaktionskräfte Beachte:Die Massenträgheitskräfte ( D ´A LEMBERT sche Kräfte) sind wegen des negativen Vorzeichens in der Gleichung (3.33) immer entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen ( positive Beschleunigungsrichtungen) anzutragen! Aufschreiben der Gleichgewichtsbedingungen wie in der Statik Berechnung der gesuchten Größen (Beschleunigungen, Bewegungsgesetze, Kräfte usw.) aus den Gleichgewichtsbedingungen und Zwangsbedingungen Antragen aller Massenträgheitskräfte ( D ´A LEMBERT sche Kräfte) Ende ?

43 3 Dynamik Seite: 333 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure v = 0, t = 0 l m S Bild 3.26 Masse auf schiefer Ebene a) S x b) Beispiel 3.6 Masse auf schiefer Ebene Gesucht:Wie lange braucht die Masse, um aus der Ruhelage den Weg l zurückzulegen? Gegeben: m = 20 kg, l = 0,6 m, = 45° Haftreibzahl 0 = 0,15, Reibzahl = 0,1 x mx.. FRFR FNFN mg Beachte: Der Richtungs- sinn von F R gilt nur für die Abwärtsbewegung! mg·sin mg·cos a)Definition der Bewegungskoordinate x (Bild 3.26 a), und Antragen aller Kräfte (eingeprägte Kräfte, Reaktionskräfte und D A LEMBERT sche Kräfte) Freischneiden in einer allgemeinen Lage (Bild 3.26 b) b)Kräftegleichgewicht : : (1) Mit der Normalkraft F N und dem C OULOMB schen Gleitreibungsgesetz (vgl. Kapitel , S 154) folgt aus (1) (2)Die Gleichung (2) ist die Beschleunigung der Masse für die Abwärtsbewegung (oder was gleichbedeutend ist für ). Ende ?

44 3 Dynamik Seite: 334 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure c)Damit eine Abwärtsbewegung der Masse aus der Ruhe heraus überhaupt eintreten kann, muss am Beginn der Bewegung die Bedingung erfüllt sein. Aus (2) folgt damit (Beachte: Für ist 0 einzusetzen, da die Masse noch ruht!) und mit den gegebenen Werten: 0,15 < tan 45° = 1 Bedingung erfüllt! Da < 0 gilt, ist eine Abwärtsbewegung mit positiver Beschleunigung gesichert und damit garantiert, dass die Masse nicht vor dem Zurücklegen des Weges l zur Ruhe kommt. d)Berechnung der Zeit t = T für den Weg l Aus der Beschleunigung (2) erhalten wir durch Integration die Geschwindigkeit und den Weg in Abhängigkeit von der Zeit: Die noch unbekannten Integrationskonstanten c 1 und c 2 sowie die Zeit T erhalten wir aus den Anfangsbedingungen und der Endbedingung der Bewegung. Anfangsbedingungen: Endbedingung: Mit der Beschleunigung a nach (2) folgt für die gesuchte Zeit T zahlenmäßig: Ende ?

45 3 Dynamik Seite: 335 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure R A Bild 3.28 Freigeschnittenes System x1x1 x2x2 R m1m1 m2m2 masselos, dehnstarr Rolle masselos, kein Seil- schlupf! S1S1 S2S2 Bild 3.27 F S1 F S2 F AV F AH Beispiel 3.7 Zwei-Massen-System mit Umlenkrolle Gesucht:Beschleunigung der Masse m 1 Gegeben: M, m 1 =2M, m 2 =M, R x2x2 x1x1 A F S2 m2gm2g m2x2m2x2.. a)Definition der Bewegungs- koordinate (Bild 3.27), und alle Kräfte antragen (einge- prägte Kräfte, Reaktionskräfte und D A LEMBERT sche Kräfte) Freischneiden in einer allgemeinen Lage (Bild 3.28), F S1 m1gm1g m1x1m1x1.. b)Gleichgewichtsbedingungen: Rolle: Masse m 2 : Masse m 1 : (1) (3) (2) c) Zwangsbedingungen Aus f = n -z folgt z = 2, d. h. es gibt noch zwei Zwangsbedingungen. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1 n = 3 Anzahl der eingeführten Koordinaten: Ende ?

46 3 Dynamik Seite: 336 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure In den Gleichungen (1) bis (5) sind genau fünf Unbekannte (F S1, F S2,,, ) enthalten. Damit kann durch entsprechendes Auflösen jede Unbekannte berechnet werden. Wir suchen hier nur die Beschleunigung der Masse m 1. Da das Seil als dehnstarr angenommen werden kann und kein Seilschlupf auftreten soll, er- geben sich zunächst zwei ZB für die Geschwindigkeiten, aus denen die ZB für die Beschleu- nigungen durch Differentiation und für die Koordinaten durch Integration ermittelt werden können (zum Zeitpunkt t = 0 sollen alle Koordinaten Null sein alle Integrationskonstanten werden Null). bzw.(4) bzw.(5) Einsetzen von (2) und (3) in (1) liefert: d)Berechnung der Beschleunigung der Masse m 1 Aus den Zwangsbedingungen (4) und (5) folgt und es kann damit eliminiert werden. Es folgt Für die gegebenen Werte m 1 = 2M; m 2 = M ergibt sich Ende ?

47 3 Dynamik Seite: 337 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure x y Masse m S b) x y Masse m S Bild 3.29 Reduktion der Massenkräfte auf den Schwerpunkt a) 3.3.2Ebene Bewegungen von starren Körpern Zur Beschreibung der ebenen Bewegung eines starren Körpers führen wir ein körperfestes Koordinatensystem ein, dessen Ursprung stets im Schwerpunkt S des Körpers liegen soll. Wir wollen jetzt die Gesamtheit der Massenbeschleunigungskräfte, die auf ein differentielles Massenelement dm wirken, zu äquivalenten Größen zusammenfassen und auf den Schwer- punkt S der Masse m reduzieren (Bild 3.29). dm·y S.. dm·x S.. x = r·cos y = r·sin r y x dm dm·r·.. dm·r· 2. F Dy F Dx M DS Wir fassen die Bewegung als Überlagerung von Translation des Schwerpunktes und Rota- tion um den Schwerpunkt S auf. Die Massenbeschleunigungs- kräfte des Massenelements dm in Bild 3.29 müssen nach dem D A LEMBERT schen Prinzip wie folgt angetragen werden: für die Translation in y-Richtung: entgegen der positiven Beschleunigung für die Translation in x-Richtung: entgegen der positiven Beschleunigung für die Rotation um S: entgegen der positiven Normalbeschleunigung bzw. der positiven Tangentialbeschleunigung (vgl. Kapitel 3.1.5, Bild 3.9 b) Mit den nachfolgenden Äquivalenzbedingungen reduzieren wir alle Massenbeschleunigungen auf den Schwerpunkt S (Bild 3.29 b). Ende ?

48 3 Dynamik Seite: 338 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Äquivalenzbedingungen zwischen den auf den Schwerpunkt S bezogenen Größen (Bild 3.29 b) und den auf das Massenelement dm wirkenden und über die gesamte Masse m integrierten Massenkräfte (Bild 3.29 a) liefern: (3.34) (3.36) (3.35) x y Masse m S b) x y Masse m S Bild 3.29 Reduktion der Massenkräfte auf den Schwerpunkt a) dm·y S.. dm·x S.. x=r·cos y=r·sin r y x dm dm·r·.. dm·r· 2. F Dy F Dx M DS Ende ?

49 3 Dynamik Seite: 339 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Mit der Abkürzung (3.39) und S x = S y = 0 für Schwerpunktachsen folgt aus (3.34) bis (3.36) (3.40) Für die Integrale in (3.34) bis (3.36) führen wir folgende Abkürzungen ein: Masse (3.37) Statische Momente (3.38) Beachte:Statische Momente für Achsen durch den Schwer- punkt sind stets Null (vgl. Kapitel 1.9.3, S 129). Massenträgheitsmoment (3.39) J S ist auf die senkrecht zur Zeichenebene liegende Rotations- achse durch den Schwerpunkt S bezogen. Deshalb wird es mitunter auch axiales Massenträgheitsmoment bezeichnet. Ende ?

50 3 Dynamik Seite: 340 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Die Gesamtheit der Massenbeschleunigungskräfte der ebenen Bewegung eines starren Körpers kann durch drei auf den Schwerpunkt S bezogenen Trägheitsgrößen, und ersetzt werden. Diese Trägheitsgrößen sind bei positiven Beschleunigungen entgegengesetzt zu den positiven Koordinaten x, y und gerichtet (vgl. Bild 3.29 b). Mit diesen Trägheitsgrößen kann das D A LEMBERT sche Prinzip für Punktmassen (Kapitel 3.3.1) auf starre Körper erweitert werden, indem als dritte Trägheitsgröße hinzugefügt wird. D A LEMBERT sches Prinzip für die ebene Bewegung starre Körper entgegengesetzt zu den positiven Beschleunigungsrichtungen (bzw. was gleichbedeutend ist, entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen) hinzugefügt! Schnittprinzip und Gleichgewichtsbedingungen können wie in der Statik benutzt werden, wenn man im Schwerpunkt S des starren Körpers sowie das Moment D ´A LEMBERT sches Moment D ´A LEMBERT sche Kräfte die Kräfte Die Gleichungen (3.40) lassen sich wie folgt interpretieren: (3.40) Ende ?

51 3 Dynamik Seite: 341 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.8 Dünner homogener Stab (Querschnittsabmessungen << Stablänge) S l/2l/2 l/2l/2 m, A Bild 3.31 Dünner homogener Stab Hinweis zur Ermittlung des Massenträgheitsmomentes J S : r m, V, dm S Bild 3.30 Berechnung von J S J S ist das (axiale) Massenträgheitsmoment für eine Bezugsachse senkrecht zur Zeichenebene durch den Punkt S. Es gilt allgemein (vgl. Gleichung (3.39) und Bild 3.30) und mit dm = dV folgt (3.41) Falls = konst. ist, wird (3.42) r dr dV=A·dr Damit folgt aus Gleichung (3.42) -Dichte m-Gesamtmasse l -Gesamtlänge A-Querschnittsfläche Es sei (vgl. Bild 3.31): (3.43) Ende ?

52 3 Dynamik Seite: 342 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.9 Homogene Kreisscheibe (bzw. Vollzylinder) -Dichte m-Gesamtmasse h-Scheibendicke R-Scheibenradius Es sei: S R, m, h Bild 3.32 Homogene Kreisscheibe d r dr dV=r d dr h Mit Bild 3.32 folgt aus Gleichung (3.42) (3.44) Ende ?

53 3 Dynamik Seite: 343 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure m Bild 3.33 Definition der Bezugssysteme für den S TEINER schen Satz S A y x Der S TEINER sche Satz für Massenträgheitsmomente Ziel: Berechnung eines Zusammenhangs zwischen den Massenträgheitsmomenten für parallele Achsen (senkrecht zur Zeichenebene) durch A und den Schwerpunkt S (Bild 3.33). x y xSxS ySyS rSrS r r y dm x x y Voraussetzung: x und y sind Achsen durch den Schwerpunkt S x und y sind parallele Achsen zu x und y durch A Für das Massenträgheitsmoment bezogen auf die Achse durch A folgt nach Gleichung (3.39) und Bild 3.33: Mit (siehe Bild 3.33) und wird das Massenträgheitsmoment J A S TEINER sche Satz (3.45) Hinweis: Die beiden letzten Integrale werden Null, da es sich um statische Momente bezogen auf Schwerpunkt- achsen handelt (siehe Kapitel 1.9.3, S 129). Ende ?

54 3 Dynamik Seite: 344 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Für die Berechnung von Massenträgheitsmomenten zusammengesetzter Körper gilt der folgen- de Satz (vgl. Kapitel , S 146): Die große Ähnlichkeit der Definitionsformel (3.39) für das Massenträgheitsmoment J S mit denen der Flächenträgheitsmomenten I xx, I yy und der für sie geltenden S TEINER schen Sätze erlaubt die analoge Übertragung der allgemeinen Aussagen zu den Flächenträgheitsmomenten (vgl. Kapitel 1.10, S 134) auf die Massenträgheitsmomente. S TEINER sche Satz (3.45) Beachte: S muss der Schwerpunkt des Körpers sein! A ist ein beliebiger Punkt. Die beiden Achsen durch S und A, auf die sich J S und J A beziehen, müssen parallel zueinander sein und haben den Abstand r S. Satz: Massenträgheitsmomente können addiert werden, wenn sie auf gleiche Achsen bezogen sind. Sind sie nicht auf gleiche Achsen, aber ansonsten parallele Achsen, bezogen, so lassen sie sich mit Hilfe des S TEINER schen Satzes (3.45) auf eine der parallelen Achsen umrechnen. Ende ?

55 3 Dynamik Seite: 345 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.10 Dünner homogener Stab (vgl. Beispiel 3.8) Gesucht: Massenträgheitsmoment bezogen auf eine Achse durch A Mit dem S TEINER schen Satz A l/2l/2 l/2l/2 m (Gesamtmasse) S Bild 3.34 Dünner homogener Stab; Massenträgheitsmoment für parallele Achsen und (vgl. Bild 3.34) (siehe Beispiel 3.8, Gleichung (3.43)) folgt (3.46) Ende ?

56 3 Dynamik Seite: 346 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure (3.47) Beispiel 3.11 Homogene Kreisscheibe mit exzentrischem Kreisloch S1S1 R, Dicke h r A e a Bild 3.35 Kreisscheibe mit Kreisloch S2S2 Gesucht: Massenträgheitsmoment bezogen auf die Achsen durch S 1 und durch A Geometrische Voraussetzung: e R und r R - e Lösungshinweis: Die Massenträgheitsmomente werden durch Subtraktion des Massenträgheitsmomentes des Lochs von dem der Vollscheibe berechnet, wobei beide auf die Achse durch S 1 bzw. A bezogen sein müssen! Massenträgheitsmoment bezogen auf Achse durch S 1 : Mit dem Massenträgheitsmoment für eine Vollscheibe (3.44) und dem S TEINERS chen Satz (3.45) folgt Massenträgheitsmoment bezogen auf Achse durch A: (3.48) mit Ende ?

57 3 Dynamik Seite: 347 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Aus den Ergebnissen für die Kreisscheibe mit Loch folgen weitere Sonderfälle: Homogene Kreisringscheibe (Hohlzylinder), Dicke h r S R A Bild 3.36 Kreisringscheibe Für eine homogene Kreisringscheibe (Bild 3.36) folgt aus (3.47) mit e = 0 und (Masse der Kreisringscheibe) (3.49) Aus (3.48) folgt mit e = 0, a = R (3.50) Hinweis: Das Massenträgheitsmoment J A kann für die Kreisringscheibe (e = 0, a = R) auch aus J S mit dem S TEINER schen Satz berechnet werden: Ende ?

58 3 Dynamik Seite: 348 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Homogene Kreisscheibe (Vollzylinder): Die Ergebnisse für die Kreisringscheibe enthalten für r = 0 den Sonderfall der homogenen Kreisscheibe (bzw. für den Vollzylinder). Das Massenträgheitsmoment J S für die Schwerpunktachse wurde bereit im Beispiel 3.9 berechnet. Aus Gleichung (3.49) erhalten wir natürlich das gleiche Ergebnis: m, Dicke h S R A Bild 3.37 Homogene Kreisscheibe Die Gleichung (3.50) liefert das auf A bezogene Massenträgheitsmoment (Bild 3.37): (3.51) Ende ?

59 3 Dynamik Seite: 349 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Berechnungsablauf: 3.3.3Aufstellung von Bewegungsgleichungen 1.Definition von n Bewegungskoordinaten für eine allgemeine ausgelenkte Lage des Systems. Es können mehr Koordinaten eingeführt werden, als das System Freiheitsgrade hat. 2.Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade f. 3.Gegebenenfalls Ermittlung der Zwangsbedingungen zwischen den Koordinaten, wobei sich die erforderliche Anzahl der Zwangsbedingungen z aus z = n - f ergibt. 5.Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen. 6.Einarbeiten der Zwangsbedingungen. 7.Auflösen der Gleichgewichtsbedingungen nach den unbekannten Beschleunigungen, Kräften und Momenten. 8.Integration der Bewegungsgleichungen (wenn erforderlich). 4.Freischneiden der Massenpunkte und der Körper in einer ausgelenkten Lage und Antragen der eingeprägte Kräfte und Momente sowie der Reaktionskräfte, der Reibungskräfte und -momente entgegen der wirklichen Bewegungsrichtung, der D ´A LEMBERT schen Kräfte und Momente entgegengesetzt zu den positiven Beschleunigungsrichtungen (bzw. Koordinatenrichtungen). Eine Grundaufgabe der Kinetik ist das Aufstellen von Bewegungsgleichungen. In den Beispielen 3.6 und 3.7 hatten wir bereits mit Hilfe des D A LEMBERT schen Prinzips Bewegungsgleichungen für Punktmassen aufgestellt. Hier soll der typische Ablauf bei der Anwendung des D A LEMBERT schen Prinzips für Systeme aus Punktmassen und starren Körpern gezeigt werden. Hinweis: Die Anzahl der unabhängigen Bewegungsgleichungen eines Systems stimmt mit der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems überein. Ende ?

60 3 Dynamik Seite: 350 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure S R m 0 x P Bild 3.38 Rollen einer Kreisscheibe Beispiel 3.12 Reines Rollen einer homogenen Kreisscheibe Gegeben:m, R,, g, 0, J S = ½ mR 2 Gesucht:a)Bewegungsgleichung für reines Rollen b)Bedingung für reines Rollen (kein Gleiten an der Kontaktstelle P) 1. Bewegungskoordinaten: a) Bewegungsgleichung (Berechnungsablauf vgl. oben) n = 2 3.Anzahl der Zwangsbedingungen:z = n - f = = 1 2.Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1 x = R· Zwangsbedingung für eine rollende Kreisscheibe (vgl. dazu Beispiel 3.4): x - beschreibt Lage des Schwerpunktes S - beschreibt Drehwinkel der Scheibe 4. Freischneiden, Kräfte und Momente antragen (siehe Bild 3.39 nächste Seite) Ende ?

61 3 Dynamik Seite: 351 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure S R x P F H (Haftkraft) FHFH FNFN FNFN mx.. J S.. mg 5. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen mg·sin mg·cos Bild 3.39 Freigeschnittene Kreisscheibe (allgemeine Lage) mit eingeprägter Kraft (mg), Reaktionskräften (F N, F H ) und D A LEMBERT schen Trägheitsgrößen (1) Es folgt aus (1) mit J S = ½ mR 2 : (2) 7. Auflösen von (2) nach x liefert die Bewegungsgleichung für die Beschleunigung des Schwerpunktes der Kreisscheibe:.. Bewegungsgleichung 6. Einarbeiten der Zwangsbedingungen Wir wollen die Bewegungsgleichung für die Koordinate x aufstellen. Deshalb eliminieren wir die Koordinate und deren Ableitungen mit Hilfe der Zwangsbedingung x = R· aus den Gleichgewichtsbedingungen bzw. Ende ?

62 3 Dynamik Seite: 352 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Damit reines Rollen (kein Gleiten an der Kontaktstelle) stattfindet, muss die während der Bewegung auftretende Haftkraft F H stets kleiner oder gleich der maximal möglichen Haftkraft sein. b) Bedingung für reines Rollen Hinweis:Durch Integration kann man aus der Beschleunigung x die Geschwindigkeit x(t) und den Weg x(t) gewinnen. Mit der Zwangsbedingung lässt sich damit auch die Winkelbeschleunigung, die Winkelgeschwindigkeit (t) und der Winkel (t) berechnen..... Das bedeutet Mit F H und F N sowie der Beschleunigung x (siehe vorherige Seite) folgt daraus (die Betrag- striche dürfen wir weglassen, da F H und F N in unserem Fall größer Null sind):.. Bedingung für reines Rollen Ende ?

63 3 Dynamik Seite: 353 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure x2x2 x1x1 Beispiel 3.13 System aus drei Massen S R2R2 R1R1 J S, m m1m1 m2m2 x1x1 x2x2 Bild 3.40 System aus drei Massen Gegeben:m 1 = 1000 kg,m 2 = 40 kg R 1 = 0,2 m, R 2 = 0,4 m J s = 1 kg m 2, = 0,2 Gesucht:Bewegungsgleichung von m 1 (Abwärtsbewegung) und von m 2 1. Bewegungskoordinaten: x 1, x 2, n = 3 2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1 3. Anzahl der Zwangsbedingungen:z = n - f = = 2 Die zwei benötigten Zwangsbedingungen lassen sich zweckmäßig an der Umlenkrolle ableiten (vgl. Bild 3.41 und Kapitel 3.2.3, Beispiel 3.4 und Beispiel 3.5). x 1 = R 1 · x 2 = R 2 · (1) (2) Bild 3.41 Zwangsbedingungen an der Umlenkrolle S R1R1 R2R2 x1x1 Ende ?

64 3 Dynamik Seite: 354 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure x2x2 x1x1 S R2R2 R1R1 4. (bis 7.) Freischneiden (Bild 3.42) / Gleichgewichtsbedingungen / Einarbeiten der Zwangs- bedingungen / Auflösen nach x 1 :.. F S2 m2x2m2x2.. FRFR FNFN m2gm2g F N = m 2 g m1gm1g m1x1m1x1.. F S1 F SH F SV J S.. F S2 mg Bild 3.42 Freigeschnittenes Massensystem (allgemeine Lage) mit eingeprägten Kräften, Reaktionskräften und D A LEMBERT schen Trägheitsgrößen Kräftegleichgewicht an der Masse m 2 : Mit dem C OULOMB schen Reibgesetz und der Zwangsbedingung (2) wird die Seilkraft F S2 (3) Das Momentengleichgewicht um den Lagerpunkt S der Umlenkrolle liefert: Mit der Zwangsbedingung (1) und F S2 (3) folgt (4) Kräftegleichgewicht an der Masse m 1 : (5) Ende ?

65 3 Dynamik Seite: 355 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Aus (4) und (5) folgt schließlich die Bewegungsgleichung für die Masse m 1 (6) Mit den gegebenen Zahlenwerten wird die Beschleunigung der Masse m 1 Die Beschleunigung der Masse m 2 folgt mit (6) aus der Zwangsbedingung (2) zu und mit den gegebenen Zahlenwerten Ende ?

66 3 Dynamik Seite: 356 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure m x y Bild 3.43 Definition der Arbeit dr r F 3.4Energiebetrachtungen Das D A LEMBERT sche Prinzip zur Ermittlung von Bewegungsgleichungen ist in der Regel für alle praktischen Aufgaben der Technischen Mechanik anwendbar und liefert neben den Bewegungs- gesetzen auch die dabei auftretenden Kräfte und Momente. Bei bestimmten Problemstellungen kann aber die Anwendung von Energiemethoden zweckmäßiger sein und zu einer wesentlichen Verkürzung des Rechenganges führen. Deshalb sollen im Folgenden dafür die Grundlagen vermittelt werden. Beachte: Die Arbeit ist eine skalare Größe! Wir betrachten zunächst einen Massenpunkt auf einer bekannten Bahnkurve (Bild 3.43). Die differentielle Arbeit dW, die von der Kraft auf dem Weg verrichtet wird, ist 3.4.1Arbeit, Energie, Leistung Arbeit Die zwischen den zwei Bahnpunkten (1) und (2) von der Kraft geleistete Arbeit ergibt sich aus der Integration über den Weg von (1) nach (2) und ist somit r2r2 r1r1 (1) (2) (3.52) Ende ?

67 3 Dynamik Seite: 357 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Wir setzen jetzt in der Gleichung (3.52) für das NEWTONsche Grundgesetz (3.32) ein und erhalten Für m = konstant und mit erhalten wir Wir definieren die so genannte kinetische Energie als (3.53) und erhalten damit für die Arbeit der Kraft von (1) nach (2) Diese Gleichung ist der so genannte Arbeitssatz, der wie folgt interpretiert werden kann (siehe nächste Seite). Ende ?

68 3 Dynamik Seite: 358 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Arbeitssatz: Die längs einer Bahn zwischen zwei Bahnpunkten (1) und (2) geleistete Arbeit der Kraft ist gleich der Änderung der kinetischen Energie zwischen den beiden Punkten: Hinweis: Da die Zwangskräfte (Bindungs- und Führungskräfte) bei Systemen mit starren Bindungen keine Arbeit leisten, gilt der Arbeitssatz auch für Systeme aus Massenpunkten! wobei F x, F y und F z die Projektion von auf die Koordinatenachsen x, y und z sind. Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Arbeit W unabhängig vom Integrationsweg zwischen den Punkten (1) und (2) ist. Der Integrationsweg ist in diesem Fall beliebig und das Ergebnis nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Diesen wichtigen Sonderfall wollen wir nachfolgend näher betrachten. In kartesischen Koordinaten x, y und z kann man den Arbeitssatz auch wie folgt aufschreiben: (3.55) Einheit der Arbeit: N m, J (Joule) [1 J = 1 N m] (3.54) Ende ?

69 3 Dynamik Seite: 359 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Potentielle Energie Wir wollen dieses Differential mit -dU bezeichnen, wobei das Minuszeichen aus Zweckmäßigkeits- gründen eingeführt wurde. ist nur dann wegunabhängig (vgl. Sonderfall oben), wenn der Integrand ein vollständiges Differential ist! Das Integral in Gleichung (3.55) (3.56) Ein vollständiges Differential kann folgendermaßen geschrieben werden (3.58) Aus dem Vergleich von (3.57) mit (3.58) folgt (3.59) Ob eine Kraft wirklich eine Potentialkraft ist, kann man durch Differentiation von (3.59) über- prüfen, was zu folgenden Bedingungsgleichungen führt: (3.60) Typische Potentialkräfte sind zum Beispiel: Schwerkräfte, Federkräfte, Magnetkräfte usw. (3.57) Dann gilt Ende ?

70 3 Dynamik Seite: 360 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Setzen wir Gleichung (3.57) in (3.56) ein, so erhalten wir für Potentialkräfte (3.61) Die Funktion U bezeichnet man als Potential bzw. als potentielle Energie. Die Gleichung (3.61) drückt aus, dass bei Potentialkräften nur dann Arbeit frei wird, wenn eine Änderung des Potentials, d.h. eine Lageänderung stattfindet Energieerhaltungssatz Für Potentialkräfte folgt aus den Gleichungen (3.55) und (3.61) : U 1 - U 2 = T 2 - T 1 Energiesatz: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist konstant! Achtung: Der Energiesatz in dieser Form gilt nur für konservative Systeme (d.h. Systeme, bei denen alle Kräfte Potentialkräfte sind!). Sind im System Kräfte zu berücksichtigen, die kein Potential haben (z. B. Reibkräfte, Antriebs- kräfte usw.), so muss der Energiesatz noch ergänzt werden (siehe hierzu Kapitel 3.4.2). Mit Hilfe des Energiesatzes lassen sich häufig bei speziellen Aufgabenklassen und Frage- stellungen einfache Lösungen ermitteln (siehe die weiter unten aufgeführten Beispiele). bzw. U 1 + T 1 = U 2 + T 2 = konst. (3.62) Ende ?

71 3 Dynamik Seite: 361 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure x y. z m Bild 3.44 Potential der Schwerkraft Beispiele für das Potential (potentielle Energie) von Potentialkräften Beispiel 3.14 Potential der Schwerkraft g F = mg Die Schwerkraft einer Masse m kann in dem (x,y,z)-Bezugssystem wie folgt dargestellt werden (vgl. Bild 3.44) durch Vergleich mit Gleichung (3.59) Die y-Komponente von gestattet die Berechnung des Potentials U, indem über y integriert wird. Da die x- und die z-Komponenten der Schwerkraft bei dieser Wahl des Bezugssystems Null sind, wird U unabhängig von x und z und die partielle Differentiation geht in eine gewöhnliche über. Es gilt und nach der Integration (3.63) Die potentielle Energie ist also bis auf eine Konstante C bestimmbar. Durch Festlegung einer horizontalen Bezugslinie – dem Nullpotential – mit U(y = 0) = 0 ergibt sich C = 0, und das Potential der Schwerkraft wird (3.63) Hinweis:Die Ergebnisse, die mit Hilfe des Potentials gewonnen wurden, sind natürlich von der willkürlichen Lage des Nullpotentials unabhängig! (3.64) U = 0 Ende ?

72 3 Dynamik Seite: 362 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.15 Potential einer Feder = 0 c x c Bild 3.45 Definition der Federkraft Annahme: Die Feder ist bei x = 0 entspannt! x y. z F = cx Die Federkraft wird für das so definierte Bezugssystem durch Vergleich mit Gleichung (3.59) Daraus folgt analog zu dem vorhergehenden Beispiel 3.14 und nach der Integration ergibt sich Wegen der Annahme, dass die Feder bei x = 0 entspannt ist, gilt U (x = 0) = 0 und C = 0. Das Potential der Feder wird damit (3.65) Hinweis: Die potentielle Energie der Feder ist mit der Formänderungsarbeit identisch! Ende ?

73 3 Dynamik Seite: 363 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiele für den Energieerhaltungssatz Beispiel 3.16 Masse auf schiefer Ebene mit Pufferfeder c v = 0 m 1 Gegeben:m, h, c, g,, = 0 Anfangsgeschwindigkeit v = 0 v = 0 f 3 hfhf v = v A 2 h Energiesatz (3.62): U 1 + T 1 = U 2 + T 2 = U 3 + T 3 a) Geschwindigkeit v A U 1 = mgh,T 1 = 0 (Masse ruht) U 2 = 0,T 2 = ½·mv A 2 Aus U 1 + T 1 = U 2 + T 2 folgt b) Maximale Zusammendrückung f der Feder U 3 = -mgh f + ½·cf 2 T 3 = 0 Aus U 1 + T 1 = U 3 + T 3 = -mg·fsin + ½·cf 2, Hinweis: Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ). Hinweis: Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ). Wahl des Nullpotentials: U = 0 y Gesucht:a) Geschwindigkeit v A der Masse beim Auftreffen auf die Feder b)Maximale Zusammendrückung f der Feder U = 0 in der Lage (2) Bild 3.46 Masse auf schiefer Ebene mit Pufferfeder Mit (3.53), (3.64) und (3.65) folgt: Ende ?

74 3 Dynamik Seite: 364 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.17 Fall einer Masse auf einen elastischen Balken Gegeben:m, h, g, E, a, b, l m h l b a Die Verschiebung eines Kragbalkens (Bild 3.48) mit einer Kraft F am freien Ende wird an der Lastangriff- stelle (vgl. Kapitel 2.3.3, Hinweis zum Beispiel 2.9, F 75) folgt Der Energiesatz kann jetzt auf das Ersatzsystem nach Bild 3.49 angewandt werden (siehe nächste Seite). f Gesucht:a)Maximale Verschiebung f b)Betrag der maximalen Normalspannung im Balken a)Maximale Verschiebung des Balkens Die Lösung kann analog zum Beispiel 3.16 erfolgen, wenn die Federsteifigkeit des Balkens bekannt ist! Bild 3.47 Fall einer Masse auf einen Balken Ermittlung der Federsteifigkeit des Balkens: l EI f F Bild 3.48 Kragbalken Aus F = c ers ·f mit Hinweis: Beim Auftreffen soll die Masse auf dem Balken liegen bleiben, wobei kein Energie- verlust eintritt. Ende ?

75 3 Dynamik Seite: 365 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure m h f c er s 1 2 U=0 y Bild 3.49 Ersatzsystem für Kragbalken Bild 3.47 Energiesatz (vgl. Bild 3.49): Mit T 1 = 0 und T 2 = 0 (die Masse befindet sich in der Ausgangslage (1) und im Moment der maximalen Auslenkung (2) in Ruhe) folgt Hinweis: Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ). Spezialfall: h = 0 Schlussfolgerung: Eine aus der Höhe h = 0 plötzlich losgelassene Masse verursacht im Vergleich zu einer unendlich langsam auf den Balken abgesetzten Masse eine doppelt so große Verformung. Mit der Verschiebung für eine statische Belastung durch F = mg: wird Ende ?

76 3 Dynamik Seite: 366 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure b)Betrag der maximalen Normalspannung Aus dem Federgesetz ergibt sich die am Balkenende wirkende maximale Kraft zu Die maximalen Normalspannung tritt an der Stelle des maximalen Biegemomentes (Einspann- stelle des Balkens) auf. Mit dem Betrag des maximalen Biegemomentes M bmax = F max l wird der Betrag der maximalen Spannung an der Einspannstelle mit(für den Rechteckquerschnitt) Mit F max = c ers f folgt daraus In diese Gleichung kann für f sowohl das allgemeine Ergebnis, als auch das Ergebnis für den Spezialfall h = 0 eingesetzt werden. Es ist offensichtlich, dass für die maximale Normalspannung im Spezialfall h = 0 ein analoger Zusammenhang wie für die Verschiebung gilt: Ende ?

77 3 Dynamik Seite: 367 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure alle Geschwindigkeiten und Wege für zwei ausgezeichneten Lagen einer Bewegung bekannt sind und eine Größe in den Energieausdrücken (z. B. Masse, Federzahl, Winkel usw.) gesucht wird. Worin liegt der Vorteil bei der Anwendung des Energiesatzes? Die Anwendung ist immer dann vorteilhaft, wenn eine Geschwindigkeit oder ein Weg für eine von zwei ausgezeichneten Lagen einer Bewegung gesucht wird und alle anderen Größen in diesen beiden Lagen bekannt sind oder wenn Ende ?

78 3 Dynamik Seite: 368 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Leistung Mit (siehe Kapitel ) folgt daraus Die Einheit der Leistung ist das Watt: Wir haben gesehen, dass der Arbeitsbegriff keine Angabe über die Zeit enthält, in der eine Arbeit verrichtet wird. Oft braucht man jedoch diese Angabe. Wir führen dazu die Leistung als die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit ein: Leistung (3.66) und mit kann die Leistung auch in folgender Form angegeben werden Leistung (3.67) Häufig findet man noch Leistungsangaben in PS. Diese Leistungsangabe ist veraltet und entspricht nicht den verbindlichen SI-Einheiten. Für die Umrechnung gilt: Ende ?

79 3 Dynamik Seite: 369 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.18 Berechnung des Fahrwiderstandes eines PKWs Ein PKW erreicht bei der Leistung von 150 PS eine maximale Geschwindigkeit von 200 km/h. Wie groß ist die am Auto angreifende Widerstandskraft F W ? Die in der Aufgabenstellung veraltete Angabe der Leistung rechnen wir zunächst in eine Leistung mit der verbindlichen SI-Einheit Watt um. P = 150 PS = ,5 W = 100, W = 100,3 kW Für die Leistung gilt nach Gleichung (3.67) P = F W v max und daraus folgt Ende ?

80 3 Dynamik Seite: 370 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.19 Leistung eines Pumpspeicherwerkes Welche Leistung hat ein Pumpspeicherwerk, wenn zwischen Uhr und Uhr ein Wasservolumen von V W = m³ in den Rohren nach unten fließt und dabei einen Höhenunterschied von h =120 m überwindet? Der Wirkungsgrad der Anlage beträgt = 0,86. m W gh + 0 = 0 + T 2 T 2 = m W gh mit t ges = 3,5 h Die kinetische Energie T 2 ist gleich der gesamten vom Wasser geleisteten Arbeit W ges W ges = T 2 = m W gh Die Arbeit W ges ermitteln wir mit Hilfe des Energiesatzes. Im Ausgangszustand (1) befindet sich die gesamte Wassermasse m W im Oberbecken mit der Geschwindigkeit Null. Über 3,5 h ergießt sich die Wassermasse in den Endzustand (2) ins Unterbecken, wobei insgesamt die kinetische Energie T 2 zur Verfügung steht (vgl. Bild 3.50). Die Leistung bei Berücksichtigung des Wirkungsgrades wird Die Gleichung (3.66) liefert: Bild 3.50 mWmW h 1 2 U = 0 y v 1 =0 U 1 + T 1 = U 2 + T 2 Nach dem Energiesatz gilt Ende ?

81 3 Dynamik Seite: 371 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure x y Masse m S Bild 3.51 Ebene Bewegung eines Körpers Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers Wir betrachten (wie bereits im Kapitel 3.2) auf einem ebenen starren Körper einen fest mit dem Körper verbundenen differentiellen Massepunkt dm. ry x dm Die Geschwindigkeit von dm kann zusammengesetzt werden aus (vgl. Bild 3.51) ySyS. xSxS. r· sin. r· cos. r·. Die resultierende Geschwindigkeit von dm folgt aus der Überlagerung der Geschwindigkeitskomponenten in x- und in y-Richtung und anschließender geometrischer Addition dieser Komponenten. Die kinetische Energie des starren Körper erhalten wir aus der kinetischen Energie des Massen- punktes dm durch Integration über die gesamte Masse m. den Translationsgeschwindigkeiten: x S, y S (wie der Schwerpunkt S) und.. der Rotationssgeschwindigkeit: r (um den Schwerpunkt S). Wir erhalten (vgl. Bild 3.51): Ende ?

82 3 Dynamik Seite: 372 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Man bezeichnet die zwei Anteile auch als Translationsenergie Rotationsenergie = 1 = m [siehe (3.37)] = J S [siehe (3.39)] = 0 [siehe Kapitel 1.9.3, S 129] wird die kinetische Energie eines starren Körpers (3.68) Mit v S - resultierenden Geschwindigkeit des Schwerpunktes S Winkelgeschwindigkeit Beachte: Die kinetische Energie eines starren Körpers, der eine allgemeine Bewegung in der Ebene ausführt, kann in dieser Form nur aufge- schrieben werden, wenn als Bezugspunkt für die Translation und die Rotation der Schwer- punkt S gewählt wird. Ende ?

83 3 Dynamik Seite: 373 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure S v0v0 R m Bild 3.52 Rollendes Rad Beispiel 3.20 Rollendes Rad Gegeben:m, R, v 0 (Annahme:Das Rad soll als eine homogene Scheibe angesehen werden) P =. Damit wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68) Zwangsbedingung (siehe Beispiel 3.4): Massenträgheitsmoment des Rades (siehe Beispiel 3.9): Gesucht:Kinetische Energie des rollenden Rades bei der Geschwindigkeit v 0 des Schwerpunktes Ende ?

84 3 Dynamik Seite: 374 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Translation des Schwerpunktes mit Beispiel 3.21 Homogenes Stabpendel Für die Lösung dieses Beispiels wollen wir zwei Lösungsmöglichkeiten betrachten. 1. Lösungsmöglichkeit: Die Bewegung des Pendels wird als Überlagerung von Gegeben:m, l, Gesucht:Kinetische Energie und Rotation um den Schwerpunktes mit aufgefasst. (dünner homogener Stab; siehe Beispiel 3.8) Mit wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68) Bild 3.53 Stabpendel =. A S l m l 2 vSvS Ende ?

85 3 Dynamik Seite: 375 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2. Lösungsmöglichkeit: Die Bewegung des Pendels wird jetzt als reine Drehung eines starren Körpers um den Punkt A (der auch der Momentanpol ist) aufgefasst. Das Massenträgheitsmoment muss dann auf den Punkt A bezogen werden. wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68) Mit dem S TEINER schen Satz (Kapitel 3.3.2, Gleichung (3.45)) Beachte: Der Punkt A ist in Ruhe, so dass die Translationsenergie des Punktes A Null ist. Wie erwartet liefert die 2. Lösungsmöglichkeit das gleiche Ergebnis. Hinweis: Diese 2. Lösungsmöglichkeit könnte auch auf das Beispiel 3.20 Rollendes Rad an- gewandt werden, indem die Bewegung als reine Rotation um den Momentanpol P ange- sehen wird. Für J A ist dann das Massenträgheitsmoment bezogen auf den Momentanpol (Gleichung (3.51)) einzusetzen. Bild 3.53 Stabpendel =. A S l m l 2 Ende ?

86 3 Dynamik Seite: 376 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Mit (aus Gleichung (3.56) und (3.61)) 3.4.2Verallgemeinerung des Energiesatzes Es können natürlich in einem System auch Kräfte auftreten, die keine Potentialkräfte sind (z. B. Reibkräfte, Antriebskräfte usw.). Diese sollen mit bezeichnet werden. Der in Kapitel angegebene Energieerhaltungssatz U 1 + T 1 = U 2 + T 2 = konst. gilt nur, wenn sich alle Kräfte aus einem Potential herleiten lassen. Die Potentialkräfte wollen wir mit bezeichnen. Mit der verallgemeinerten Kraft und dem Arbeitssatz (siehe (3.54)) folgt für die verrichtete Arbeit der verallgemeinerten Kraft folgt aus (1) bzw. etwas umgestellt (siehe nächste Seite) (1) Arbeit der Kräfte, die kein Potential haben! (3.69) und Ende ?

87 3 Dynamik Seite: 377 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Hinweis: Treten z. B. Antriebs- oder Reibmomenten auf, die ebenfalls kein Potential besitzen, so muss W* um die Arbeit dieser Momente ergänzt werden. (3.70) Mit dieser Verallgemeinerung des Energiesatzes durch die Erweiterung mit der Arbeit der Kräfte, die kein Potential haben, sind wir in der Lage, Systeme zu berechnen, bei denen z. B. so typische Nichtpotentialkräfte wie Reibkräfte und Antriebskräfte auftreten. Arbeit der Momente, die kein Potential haben! Im Folgenden werden zwei Beispiele behandelt, bei denen Kräfte (Reibkraft bzw. Antriebskraft) auftreten, die kein Potential besitzen. Ende ?

88 3 Dynamik Seite: 378 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.22 Gleitende Masse mit Reibung 1 2 U = 0 x F R = mg F N = mg mg l v0v0 m v = 0 Beachte: Von den während der Bewegung auf m wirkenden Kräften sind F N und F R keine Potentialkräfte. Da die Führungskraft F N senkrecht zur Bewegungsrichtung x steht, verrichtet sie keine Arbeit. Die Arbeit der Reib- kraft F R fließt über W* in den Energiesatz ein! Beachte: Von den während der Bewegung auf m wirkenden Kräften sind F N und F R keine Potentialkräfte. Da die Führungskraft F N senkrecht zur Bewegungsrichtung x steht, verrichtet sie keine Arbeit. Die Arbeit der Reib- kraft F R fließt über W* in den Energiesatz ein! Mit der Arbeit der Reibkraft F R nach Gleichung (3.69) folgt aus dem Energiesatz (3.70) und Gegeben:m, v 0, g, m Gesucht:Nach welcher Strecke l kommt die Masse zur Ruhe? Bild 3.54 Gleitende Masse mit Reibung Ende ?

89 3 Dynamik Seite: 379 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.23 Bewegung eines Handwagens aus der Ruhe heraus Es gilt der Energiesatz in der Form U 1 + T 1 + W * = U 2 + T 2 sowie der Zwangsbedingung für reines Rollen und mit J R (siehe oben) wird R F mWmW mRmR SRSR hWhW SWSW Die Kraft F hat kein Potential. Ihre Arbeit (3.69) wird: 2 1 U = 0 Durch Einsetzen in den Energiesatz folgt Hinweis: Es wäre auch möglich gewesen, für jede Masse ein eigenes Nullpotential (z. B. durch S W und S R ) zu definieren. Damit vereinfacht sich die Rechnung, da dann U 1v = U 2 = 0 gilt. Bild 3.55 Bewegung eines Handwagens v = 0 x v(x) = v Mit Gegeben: m W, m R, F, R, h w, v(x=0) = 0, (das Rad sei eine homogene Scheibe) Gesucht:v(x) = v Ende ?

90 3 Dynamik Seite: 380 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure L = T - UL AGRANGE sche Funktion Es bedeuten: 3.4.3L AGRANGE sche Bewegungsgleichungen 2. Art Für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen kann immer das D A LEMBERT sche Prinzip benutzt werden. Dieses erfordert Schnittbetrachtungen, das Aufschreiben der Gleichge- wichtsbedingungen und die Elimination der Schnittreaktionen (diese sind oft für die Beurteilung nicht erforderlich), um die Bewegungsgleichungen zu erhalten. Bei der Anwendung des Energiesatzes kamen wir bereits ohne Schnittführungen aus. Für Systeme mit mehreren Freiheitsgraden ist er jedoch nicht uneingeschränkt anwendbar. Für Systeme mit beliebig vielen Freiheitsgraden führt die Anwendung der L AGRANGE schen Bewegungsgleichungen 2. Art, ebenfalls ohne Schnittführung, nur unter Verwendung von Energieausdrücken T und U (die oft leicht anzugeben sind) und gegebenenfalls einer generalisierten Kraft, auf die Bewegungsgleichungen. fAnzahl der Freiheitsgrade q k generalisierte (verallgemeinerte) Koordinaten, k = 1, 2,... f (f voneinander unabhängige Längen- oder Winkelkoordinaten) generalisierte (verallgemeinerte) Kräfte aus eingeprägten, nichtkonservativen Kräften (Kräfte, die kein Potential haben) Ohne Herleitung lauten die L AGRANGE schen Bewegungsgleichungen 2. Art: mit k = 1, 2,... f (3.71) Feststellung: Ende ?

91 3 Dynamik Seite: 381 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Die generalisierte Kraft in Gleichung (3.71) ist eine neue Größe, deren Berechnung hier ohne Herleitung nur angegeben werden soll. (3.72) Ermittlung der generalisierten Kraft : Die Ermittlung von führt über die virtuellen Arbeit aller eingeprägten, nichtkonservativen Kräfte und Momente auf die allgemeine Berechnungsvorschrift Vorgehensweise bei der Anwendung der L AGRANGE schen Bewegungsgleichungen 1.Beschreibung einer allgemeinen ausgelenkten Lage des Systems durch die Definition von n Koordinaten (n f). 2.Ermittlung der Anzahl der Freiheitsgrade f des Systems; bei n > f müssen z = n - f Zwangsbedingungen aufgestellt werden. 3.Festlegung der generalisierten Koordinaten q k und Ersetzen aller anderen Koordinaten durch diese mit Hilfe der Zwangsbedingungen. 4.Aufschreiben von U und T und Elimination der überzähligen Koordinaten, so daß nur noch die generalisierten Koordinaten q k (mit k = 1, 2,... f) bzw. deren Ableitungen nach der Zeit in U und T verbleiben. 5.Aufschreiben der L AGRANGE schen Funktion L = T - U. 6.Sind nichtkonservative eingeprägte Kräfte vorhanden, so können aus (3.72) die generalisierten Kräfte bestimmt werden. 7.Aufschreiben der L AGRANGE schen Gleichungen (3.71) für k = 1,... f. Ende ?

92 3 Dynamik Seite: 382 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3.Festlegung der generalisierten Koordinaten q k : Wegen f = 1 gibt es nur eine generalisierte Koordinate! Von den drei eingeführten Koordinaten wählen wir als generalisierte Koordinate q 1 x 1 S R2R2 R1R1 J S, m m1m1 m2m2 Gegeben:m 1, m 2, R 1, R 2, J s, m, Gesucht:Bewegungsgleichung für m 1 (Abwärtsbewegung) x1x1 1.Bewegungskoordinaten: x 1, x 2, n = 3 2.Anzahl der Freiheitsgrade:f = 1 Anzahl der Zwangsbedingungen:z = n - f = 2 x 1 = R 1 · x 2 = R 2 · Zwangsbedingungen (vgl. Beispiel 3.13): x2x2 (1) (2) 4.Aufschreiben von U und T: Mit dem Nullpotential für U durch den Schwerpunkt der Massen, wenn die Koordinaten Null sind (vgl. Bild 3.56), folgt für die dargestellte allgemeine Lage: U = 0 Beispiel 3.24 System aus drei Massen (vgl. Beispiel 3.13) Bild 3.56 System aus drei Massen Ende ?

93 3 Dynamik Seite: 383 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure (4) Die kinetische Energie vereinfachen wir zu Wir müssen nach (3.72) (wegen f = 1 ist k = 1) berechnen: (3) 7.Aufschreiben der L AGRANGE schen Gleichung (3.71) für k = 1: mit (vgl. (3)) Aus (vgl. Ergebnis Beispiel 3.13, Seite 355) m siehe oben 5.Damit wird die L AGRANGE sche Funktion Bild 3.57 Kontaktkräfte an m 2 F R = m 2 g FNFN m2gm2g x 2 = x 1 R2R2 R1R1 folgt mit aus (4) 6.Von den während der Bewegung auf die Masse m 2 wirkenden nicht- konservativen Kontaktkräften F N und F R leistet nur F R eine Arbeit. Ende ?

94 3 Dynamik Seite: 384 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.25 Zwei-Massen-Schwinger (ohne Reibung) c1c1 c3c3 Gegeben:m 1, m 2, c 1, c 2, c 3 Gesucht:Bewegungsgleichungen c2c2 m2m2 = 0 x2x2 x1x1 3.Wegen f = 2 und z = 0 sind die generalisierten Koordinaten:q 1 x 1 q 2 x 2 1.Bewegungskoordinaten: x 1, x 2 n = 2 2.Anzahl der Freiheitsgrade: f = 2 Anzahl der Zwangsbedingungen:z = n - f = 0 U = 0 5.Lagrangesche Funktion: Beachte: Keine Reibung, keine Antriebskräfte,... Q k * = 0 6.Generalisierte Kräfte: m1m1 4.Aufschreiben von U und T: Annahme: Für x 1 = x 2 = 0 sind alle Federn entspannt. Das Nullpotential für U geht durch den Schwerpunkt der Massen (vgl. Bild 3.58). Damit folgt für die dargestellte allgemeine Lage (1) Ende ? Bild 3.58 Zwei-Massen- Schwinger (ohne Reibung)

95 3 Dynamik Seite: 385 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 7.Aufschreiben der L AGRANGE schen Gleichungen (3.71): Für k = 1 und q 1 x 1 : mit (1) Für k = 2 und q 1 x 1 : Die Bewegungsgleichungen (3) und (4) bzw. ihre verkürzte Form sind ein homogenes System gewöhnlicher Differentialgleichungen, deren Lösung in der Schwingungslehre (Kapitel 3.5.5) behandelt wird. Die Gleichungen (3) und (4) lassen sich übersichtlich in Matrizenschreibweise angeben: bzw. in verkürzter Form: für k = 1, 2 (2) (3) Einsetzen in (2) liefert die erste Bewegungsgleichung (4) Einsetzen in (2) liefert die zweite Bewegungsgleichung M-Massenmatrix K-Steifigkeitsmatrix x-Vektor der Bewegungskoordinaten x-Vektor der Beschleunigungen.. Ende ?

96 3 Dynamik Seite: 386 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure (1) Beispiel 3.26 Elastisch gebundene Masse mit mathematischem Pendel 3.Wegen f = 2 und z = 0 gibt es zwei generalisierten Koordinaten: q 1 x und q 2 1.Bewegungskoordinaten: x, n = 2 2.Anzahl der Freiheitsgrade: f = 2 Anzahl der Zwangsbedingungen:z = n - f = 0 Gegeben:m 1, m 2, c, l Gesucht:Bewegungsgleichungen m1m1 c = 0 m2m2 l v 1 = x. 4.Aufschreiben von U und T (siehe dazu auch Bild 3.59): x l·. U = 0 Die potentielle Energie wird und der Geschwindigkeit der Masse m 2 : v 1 = x. Die kinetische Energie wird mit der Geschwindigkeit der Masse m 1 : Bild 3.59 Elastisch gebundene Masse mit Pendel 5.Lagrangesche Funktion: l· cos. l· sin. Ende ?

97 3 Dynamik Seite: 387 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beachte: Keine Reibung, keine Antriebskräfte,... Q k * = 0 6.Generalisierte Kräfte: Hinweis: Die beiden Ergebnisse (3) und (4) sind gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen. Die Lösung kann auf numerischem Wege erfolgen (z. B. durch Integration mit dem R UNGE -K UTTA -Verfahren). Für k = 1 und q 1 x: 7.Aufschreiben der L AGRANGE schen Gleichungen (3.71): (2) für k = 1, 2 mit (1) (3) Einsetzen in (2) liefert Für k = 2 und q 1 : (4) Einsetzen in (2) liefert Ende ?

98 3 Dynamik Seite: 388 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure x m1m1 c = 0 m2m2 l Die Bewegung der elastisch gebundenen Masse mit mathematischem Pendel, die durch die beiden gekop- pelten nichtlinearen Differentialgleichungen (3) und (4) beschrieben ist, wird in der nachfolgenden Animation für folgende Zahlenwerte dargestellt: m 1 = m 2 = 1 kg, c = 50 N/m, l = 1 m Anfangsbedingungen:x 1 (t=0) = 0, x 1 (t=0) = 0 (t=0) = 45, (t=0) = 0.. Zeitdarstellung:0 t 30 s Zur Ansicht der Animationen auf das Bild klicken oder die Datei schwinger-1.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt die Wiedergabe fort oder beginnt sie erneut. Ende ? Animation:

99 3 Dynamik Seite: 389 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3.5Schwingungen 3.5.1Einführung Vorgänge, bei denen eine Zustandsgröße (Weg, Geschwindigkeit, elektrische Spannung, Druck, Lichtstärke usw.) zeitlichen Schwankungen unterliegt, nennt man Schwingungen. Diese zeitlichen Schwankungen der Zustandsgröße (wir wollen sie allgemein durch eine Funktion q(t) beschreiben) können entsprechend ihrer charakteristischen Eigenschaften näher klassifiziert werden. Zwei typische Schwingungen werden nachfolgend angegeben. – die Frequenz der Schwingung Einheit: s -1 bzw. Hertz Periodische Schwingung: Der Verlauf einer Größe q(t) wiederholt sich nach einer Zeit T (Bild 3.60) T – die Zeit für eine Periode der Schwingung Schwingungsdauer Wir bezeichnen mit q(t+T) = q(t) q(t+2T) = q(t) q(t+kT) = q(t) k = 1,2,..., d.h. es gilt q(t) t Bild 3.60 Periodische Schwingung T Ende ?

100 3 Dynamik Seite: 390 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Harmonische Schwingung: Die harmonische Schwingung ist der Sonderfall einer periodischen Schwingung, bei der sich die Zustandsgrößen nach sin- und/oder cos-Funktionen ändern. q(t) = C 1 ·cos( t) + C 2 ·sin( t) = A·sin( t+ ) Es gilt allgemein (3.73) mit den Zusammenhängen (siehe auch Kapitel 3.5.2) (3.74) A–die Amplitude der Schwingung Beachte:Analogie zur Winkelge- schwindigkeit = 2 n, wobei n die Drehzahl ist (vgl. Kapitel 3.1.5) –den Nullphasenwinkel –die Eigenreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit) Wir bezeichnen mit (vgl. Bild 3.61) Bild 3.61 Harmonische Schwingung q(t) t T A Ende ?

101 3 Dynamik Seite: 391 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Weitere Charakterisierungen von Schwingungen nach: der Art der Schwingung (ungedämpfte, gedämpfte oder angefachte) der Anzahl der Freiheitsgrade der Schwinger dem Typ der Schwinger (lineare oder nichtlineare) der Entstehung der Schwingung (freie oder erzwungene) Im Folgenden sollen dazu einige typische Beispiele angegeben werden. Ungedämpfte-, gedämpfte-, angefachte Schwingung ungedämpfte Schwingung, Bild 3.62 a) gedämpfte Schwingung, Bild 3.62 b) angefachte Schwingung, Bild 3.62 c) Amplitude bleibt konstant (kein Energieverlust) Amplitude verkleinert sich (Energieverlust) Amplitude vergrößert sich (Energiezufuhr) q(t) t a) q(t) t b) q(t) t c) Bild 3.62 Ende ?

102 3 Dynamik Seite: 392 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Schwinger mit 2, 3,..., n - Freiheitsgraden Anzahl der Freiheitsgrade der Schwinger Schwinger mit einem Freiheitsgrad c m x(t) x 3 (t) c3c3 m3m3 x 2 (t) c2c2 m2m2 x 1 (t) c1c1 m1m1 3 Freiheitsgrade c1c1 m1m1 x 1 (t) m2m2 c2c2 x 2 (t) 2 Freiheitsgrade c m x(t) Bild 3.63 Schwinger mit einem Freiheitsgrad Bild 3.64 Schwinger mit 3 Freiheitsgraden (oben) und mit 2 Freiheitsgraden (rechts) Schwinger mit unendlich vielen Freiheitsgraden E, G,, A x v(x,t) Bild 3.65 Schwinger mit unendlich vielen Freiheitsgraden Hinweis: Bei kontinuierlich angenommener Masseverteilung (Kontinua) gibt es unendlich viele differentielle Massenelemente, d.h. es gibt unendlich viele Schwingformen (Biege-, Torsions-, Längsschwingungen usw.). Ende ?

103 3 Dynamik Seite: 393 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure c m x(t) a) Lineare- / nichtlineare Schwinger Die Differentialgleichung, die den Schwingungsvorgang beschreibt, kann linear oder nichtlinear sein! Nichtlinearer Schwinger für große Winkel Entstehung der Schwingung Differentialgleichung ist nichtlinear! Freie Schwingung (Eigenschwingung) Es wirken keine äußeren Erregerkräfte auf das System ein (Bild 3.67 a). Erzwungene Schwingungen Das System steht unter der Wirkung von äußeren zeitabhängigen Belastungen (Bild 3.67 b). Wir wollen uns nachfolgend zunächst mit freien, ungedämpften Systemen mit einem Freiheits- grad befassen. (t) l m Bild 3.66 Pendel Bild 3.67 Federschwinger a) freie -, b) erzwungene Schwingung Linearer Schwinger für kleine Winkel (d.h. sin ) Differentialgleichung wird linear! F(t) c m x(t) b) Ob sie linear oder nichtlinear wird, hängt häufig von der Größe der Bewegungskoor- dinaten (Bild 3.66) ab und/oder ob vorhandene elastische Elemente (Federn) des Schwingers für die Schwingungsausschläge lineares Verhalten zeigen oder nicht. Ende ?

104 3 Dynamik Seite: 394 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 3.5.2Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad Wir wollen die Lösung an Hand von Beispielen kennen lernen. Das ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchte Bewegungsgleichung x(t). Der Lösung dieser Differentialgleichung (DGL) wenden wir uns zu, wenn die 2. Lösungsmöglichkeit besprochen wurde. Gegeben:m, c, x 0, v 0 (für x = 0 sei die Feder entspannt!) Anfangsbedingungen: x(t=0) = x 0, x(t=0) = v 0. Gesucht:Bewegungsgleichung x(t) und x(t). mit der Abkürzung x(t) x0x0 v0v0 t = 0 Beispiel 3.27 Feder-Masse-Schwinger (reibungsfrei auf horizontaler Unterlage) c m = 0 Bild 3.68 Feder-Masse-Schwinger x c x mg mx.. FNFN Bild 3.69 Freischnitt Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichung: Das Aufstellen der Bewegungsgleichung soll nach zwei Möglichkeiten gezeigt werden. 1. Lösungsmöglichkeit: Prinzip von D A LEMBERT Kräftegleichgewicht an der freigeschnittenen Masse (Bild 3.69) liefert Ende ?

105 3 Dynamik Seite: 395 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 2. Möglichkeit: L AGRANGE sche Bewegungsgleichungen Aus (3.71) mit k = 1,2,..., f folgt mit f = 1, q 1 = x, Q k * = 0, dem Nullpotential im Massenschwerpunkt und mit mit Das ist die gleiche Lösung für die Bewegungsdifferentialgleichung wie nach dem Prinzip von D A LEMBERT (1. Lösungsmöglichkeit). Ende ?

106 3 Dynamik Seite: 396 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Kontrolle für Richtigkeit der Lösung: Kontrolle für Richtigkeit der Lösung: Lösung der Bewegungsdifferentialgleichung: Einsetzen in die DGL (3.75) liefert Lösung (3.76) erfüllt die DGL (3.75)! (3.75) Die Differentialgleichung hat die allgemeine Lösung Gleichung (3.73) (vgl. Herleitung der Lösung (3.90) für D = 0) (3.76) Die allgemeine Lösung (3.76) enthält noch die Integrationskonstanten C 1 und C 2. Diese müssen so bestimmt werden, dass die Anfangsbedingungen des konkreten Problems erfüllt werden. Wir bilden von (3.76): und Ende ?

107 3 Dynamik Seite: 397 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Die Anfangsbedingungen lauten in unserem Beispiel: mit (3.77) Anfangsauslenkung Anfangsgeschwindigkeit folgt aus der 1. Anfangsbedingung: und deren erster Ableitung nach der Zeit und aus der 2. Anfangsbedingung: Einsetzen von C 1 und C 2 in (3.76) und in die erste Ableitung liefert die Bewegungsgleichungen (3.78) Mit der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung (3.76) Wir nehmen jetzt für die gegebenen Größen folgende Werte an: m = 1 kg, c = 0,05 N/mm x 0 = 1 mm, v 0 = 10 mm/s Schwingungsdauer (siehe Seite 389): Frequenz (siehe Seite 390): Winkelgeschwindigkeit (3.77): Die typischen Systemparameter werden damit: Ende ?

108 3 Dynamik Seite: 398 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Hinweis: Wegen des allgemeinen Zusammenhangs, dass die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Weges nach der Zeit ist, gilt immer (vgl. die beiden Diagramme im Bild 3.70): Hinweis: Wegen des allgemeinen Zusammenhangs, dass die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Weges nach der Zeit ist, gilt immer (vgl. die beiden Diagramme im Bild 3.70): x0x0 t/s x(t) / mm v0v0 t/s T x(t) · s/mm · (3.78) Der Verlauf der beiden Bewegungsgleichungen (3.77) und (3.78) ist für diese Werte im Bild 3.70 grafisch dargestellt. (3.77) mit x 0 = 1 mm, v 0 = 10 mm/s, = 0,7071 s -1, T = 0,889 s Bild 3.70 Bewegungsgleichungen x(t) und x0x0 t/s x(t) / mm v0v0 t/s T x(t) · s/mm · Nullstelle der Wegfunktion x(t) Extremwert in der Geschwindigkeitsfunktion Extremwert der Wegfunktion x(t) Nullstelle in der Geschwindigkeitsfunktion Ende ?

109 3 Dynamik Seite: 399 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beweis der Gleichwertigkeit der beiden Lösungen Hinweis zur Lösung der Differentialgleichung Umformung mit Hilfe des Additionstheorems für die sin-Funktion liefert: mit den Konstanten A und die sich nach (3.80) wie folgt ergeben = 7,071 s -1, C 1 = x 0 = 1 mm C 2 = v 0 / = 1,414 mm gleichwertig x(t) = C 1 ·cos( t) +C 2 ·sin( t) x(t) = A·sin( t+ ) (3.79) Folgende Lösungen der Bewegungsdifferentialgleichung (3.75) sind gleichwertig (vgl. auch Kapitel 3.5.1, Gleichungen (3.73) und (3.74)): Integrationskonstanten A– Amplitude der Schwingung – Nullphasenwinkel C1C2C1C2 mit A = 1,732 mm = 0,615 x(t) = A·sin( t+ ) Mit den Zahlenwerten für den Schwinger von Beispiel 3.27 folgt aus der Lösung (3.77) die gleichwertige Lösung t/s x(t) / mm A =0,087 s Bild 3.71 Funktion x(t) = A·sin( t+ ) (3.80) bzw. Ende ?

110 3 Dynamik Seite: 400 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Wir lenken das System weiter aus und lassen es schwingen. Beispiel 3.28 Feder-Masse-Schwinger (Masse hängt an der Feder) mit Durch die Gewichtskraft F G = mg erfährt die Feder eine statische Auslenkung um x st. Danach befindet sich das System in der statischen Ruhelage (Bild 3.72 b). (siehe oben) Beachte: Der Feder-Masse-Schwinger mit hängender Masse hat die gleiche Eigen- kreisfrequenz wie der reibungsfreie Feder-Masse-Schwinger auf horizontaler Unterlage (siehe Beispiel 3.27) Die Koordinate x legen wir mit ihrem Ursprung in die statische Ruhelage. Feder entspannt c m x St b) cx St F G =mg c) mg c(x St +x) mx.. d) Die Größe der statischen Auslenkung folgt aus dem Kräftegleichgewicht an der in der statischen Ruhelage freigeschnit- tenen Masse (Bild 3.72 c): x Das D A LEMBERT sche Prinzip liefert mit dem Kräftegleichgewicht an der in einer allgemeinen Lage freigeschnittenen Masse (Bild 3.72 d) die folgende Bewegungsdifferentialgleichung. Bild 3.72 Feder-Masse-Schwinger (Masse hängt an der Feder) a) statische Ruhelage Ende ?

111 3 Dynamik Seite: 401 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Das Gewicht bestimmt lediglich die statische Ruhelage, um die dann die Schwingung erfolgt. Diese Feststellung gilt auch für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen mit Hilfe von Energiemethoden! Das gilt nur, wenn das System ein linearer Schwinger ist. Das gilt nicht, wenn durch die Gewichtskraft in der Bewegungsdifferentialgleichung nicht- konstante Anteile entstehen (z. B. bei einer schrägen Lage des Schwingers im Bild 3.73). Das gilt nicht, wenn die Gewichtskraft die alleinige Rückstellkraft ist (z. B. Schwinger Bild 3.73 ohne Feder). Aus dem Beispiel 3.28 lässt sich die folgende Feststellung ableiten. Feststellung: Das Gewicht F G = mg der Masse und die dadurch hervorgerufene statische Vorspannung c x st der Feder haben keinen Einfluss auf die Schwingung dieses Feder-Masse-Systems und brauchen daher bei solchen Systemen nicht berücksichtigt zu werden, wenn die Bewegungskoordinate von der statischen Ruhelage aus eingeführt wird! Feststellung: Das Gewicht F G = mg der Masse und die dadurch hervorgerufene statische Vorspannung c x st der Feder haben keinen Einfluss auf die Schwingung dieses Feder-Masse-Systems und brauchen daher bei solchen Systemen nicht berücksichtigt zu werden, wenn die Bewegungskoordinate von der statischen Ruhelage aus eingeführt wird! m c g statische Ruhelage Bild 3.73 Beachte: Das gilt nur, wenn in der statischen Ruhelage alle elastischen Glieder des Schwingers bereits durch die Gewichtskräfte vorgespannt sind (Gegenbeispiel: Schwinger in Bild 3.73). Beachte: Das gilt nur, wenn in der statischen Ruhelage alle elastischen Glieder des Schwingers bereits durch die Gewichtskräfte vorgespannt sind (Gegenbeispiel: Schwinger in Bild 3.73). Ende ?

112 3 Dynamik Seite: 402 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Wie berücksichtigt man spezielle Anordnungen von Federn (Parallel- und Reihenschaltung von Federn)? Wie kann man die Masse der Feder berücksichtigen? In den beiden Beispielen 3.27 und 3.28 wurde jeweils eine Feder mit der Federmasse Null angenommen. Im Folgenden wollen wir noch die Fragen untersuchen: Hat die Federmasse einen Einfluss auf die Eigenkreisfrequenz des Schwingers? Hinweis:Wenn man für das obige Beispiel 3.28 die Eigenkreisfrequenz experimentell bestimmen möchte, folgt aus dass man die Masse m und die Federsteifigkeit c messen müsste. Die experimentelle Bestimmung von ist aber auch ohne die Ermittlung von c und m möglich. Man muss lediglich die statische Auslenkung x st messen, und erhält aus Ende ?

113 3 Dynamik Seite: 403 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse (für kleine Ausschläge):. v(x F )= x x F l v( l )=x. dm F = ·dx F xFxF = m F l c, m F, l x m Bild 3.74 Berücksichtigung der Federmasse Durch die Federmasse wird die schwingende Masse größer. Es ist deshalb zu erwarten, dass die Eigenkreisfrequenz sinkt! Hinweis: Ermittelt man die Bewegungsgleichung mit den L AGRANGE- schen Gleichungen und wählt x von der statischen Ruhelage aus, so können die Massenkräfte sowie die durch diese in der Feder gespei- cherte potentielle Energie weggelassen werden (siehe Beispiel 3.28). Die Federmasse m F geht nur noch in die kinetische Energie T ein! und nehme an, dass sich die Geschwindigkeit längs der Feder linear verändert (Bild 3.74). Wir betrachten Schwingungen um die neue statische Ruhe- lage (infolge der zusätzlichen Federmasse m F ) Die kinetische Energie wird Die kinetische Energie des Feder-Masse-Schwingers mit Berücksichtigung der Federmasse erhalten wir also, indem zur Einzelmasse m noch 1/3 der Federmasse m F hinzugefügt wird. Mit dieser Ersatzmasse M (M > m) wird die Eigenkreisfrequenz, wie bereits vermutet, kleiner. Ende ?

114 3 Dynamik Seite: 404 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure entspannt Feder c Bild 3.75 Federgesetz Ermittlung von Ersatzfederzahlen für Parallel- und Reihenschaltung von Feder: Federn können in vielfältiger Weise untereinander und mit einem Körper verbunden sein. Sie lassen sich unter der Voraussetzung eines linearen Federgesetzes (F c = c·x, vgl. Bild 3.75) zu einer Ersatzfeder mit einer Ersatzfederzahl c ers zusammenfassen. Die Ersatzfederzahl c ers wird so bestimmt, dass bei gleichen Belastungen die Ersatzfeder den gleichen Federweg aufweist wie das Ausgangssystem. entspannt Feder c F c = c·x x Parallelschaltung von Federn (Federwege aller Federn sind gleich groß) cncn c1c1... c2c2 c3c3 FGFG x c ers FGFG gleichwertig c ers x FGFG FGFG F cn =c n xF c1 F c2 F c3... Bild 3.76 Parallelschaltung von Federn (Ausgangssystem links Ausgangssystem mit n Federn (Bild 3.76, links): Ersatzsystem mit einer Feder (Bild 3.76, rechts): (1) (2) Gleichsetzen von (1) und (2) liefert (3.81) und Ersatzsystem rechts) Ende ?

115 3 Dynamik Seite: 405 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Reihenschaltung von Federn (Federkräfte aller Federn sind gleich groß) x c2c2 cncn c1c1 FGFG c ers FGFG gleichwertig c ers x FGFG cici FGFG F G = c i x i l i + x i (l i -Länge der unbelaste- ten Feder) Bild 3.77 Reihenschaltung von Federn (Ausgangssystem links Für jede Feder c i des Ausgangssystems kann aus dem Kräftegleichgewicht (Bild 3.77, Schnittbild links) und dem Federgesetz die Federverlängerung x i der i-ten Feder berechnet werden. Der Federweg am Ende der Federkette wird Ausgangssystem mit n Federn (Bild 3.77, links): Gleichsetzen von (1) und (2) liefert (3.82) Ersatzsystem mit einer Feder (Bild 3.77, rechts): (1) (2) und Ersatzsystem rechts) Ende ?

116 3 Dynamik Seite: 406 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Hinweis: Mit den Beziehungen für die Parallelschaltung Gleichung (3.81) und für die Reihenschaltung Gleichung (3.82) von Federn kann auch für kompliziertere Federsysteme, die Kombinationen beider Arten enthalten, durch schrittweise Bildung von Ersatzfedern eine einzige Ersatzfeder für das gesamte System ermittelt werden. Hinweis: Mit den Beziehungen für die Parallelschaltung Gleichung (3.81) und für die Reihenschaltung Gleichung (3.82) von Federn kann auch für kompliziertere Federsysteme, die Kombinationen beider Arten enthalten, durch schrittweise Bildung von Ersatzfedern eine einzige Ersatzfeder für das gesamte System ermittelt werden. Ende ?

117 3 Dynamik Seite: 407 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure q(t) t ungedämpft Bild 3.78 Freie gedämpfte Schwingung 3.5.3Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad gedämpft Aus der Erfahrung wissen wir, dass freie Schwingungen mit einer konstanten Amplitude (ungedämpfte Schwingungen) nicht auftreten. Die Amplituden werden mit zunehmender Zeit kleiner (gedämpft) und werden irgendwann Null (Bild 3.78). Ursache für die Dämpfung ist z. B. der durch Dissipation 9 eintretende Energieverlust im schwingenden System infolge Umwandlung von Bewegungsenergie in Wärme (z. B. infolge Reibung) Umwandlung von Bewegungsenergie in bleibende Verformung Umwandlung von Bewegungsenergie in Luft- oder Flüssigkeitsbewegung usw. Hinweis: Ideale (ungedämpfte) Systeme – so genannte konservative Systeme – gibt es in der Realität nicht. Trotzdem lassen sich auch unter der Voraussetzung idealer (ungedämpfter) Systeme viele brauchbare Aussagen (oft sehr einfach) gewinnen. Dabei ist immer zu prüfen, ob die getroffenen Annahmen zulässig sind! Um uns mit wichtigen Grundlagen vertraut zu machen, wollen wir als Modellbeispiel einen geschwindigkeitsproportional gedämpften Feder-Masse-Schwinger betrachten. 9 Dissipation (Energiedissipation), irreversibler physikalischer Prozessen beim Übergang einer Energieform in eine andere Energieform Ende ?

118 3 Dynamik Seite: 408 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Bei Anwendung des D A LEMBERT schen Prinzips für den Feder-Masse-Schwinger in Bild 3.79 erhält man aus dem Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung an der freige- schnittenen Masse m Geschwindigkeitsproportional gedämpfter Feder-Masse-Schwinger Maßeinheit der Dämpfungskonstanten b: [N·s·m -1 = kg·s -1 ] c m =0 b c x mg mx.. FNFN x(t) bx. x(t) Bild 3.79 Geschwindigkeitsproportional gedämpfter Feder-Masse-Schwinger Ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten b bewirkt eine der Geschwindig- keit v entgegengesetzt gerichtete Kraft der Größe F W = b·v Symbol für einen Dämpfer: b Das Symbol ist einem Fahrzeugstoßdämpfer nachempfunden! (3.83) Das ist die typische Bewegungsdifferentialgleichung eines proportional zur Geschwindigkeit gedämpften Systems. Häufig wird diese Form der Differentialgleichung noch mit den folgenden Abkürzungen umgeformt (siehe folgende Seite). Ende ?

119 3 Dynamik Seite: 409 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure (3.83) Abkürzungen: (384) Kennkreisfrequenz ( Kreisfrequenz des ungedämpften Schwingers) Abklingkonstante (385) L EHR sches Dämpfungsmaß (oder Dämpfungsgrad) (386) Einsetzen der Abkürzungen in die Differentialgleichung (3.83) liefert bzw. (3.87) Das ist, wie auch die Differentialgleichung für den ungedämpften Schwinger (3.75), eine lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Lösung der beiden Differentialgleichungen (3.87) beschreibt in Abhängigkeit von den Systemparametern (speziell in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad D) sehr unterschiedliche Bewegungen. Diese wollen wir im Folgenden untersuchen. Ende ?

120 3 Dynamik Seite: 410 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Einsetzen des Ansatzes (3.88) und dessen Ableitungen in Gleichung (3.87) liefert Wegen muß zur Erfüllung dieser Gleichung der Klammerausdruck Null werden: Das ist die so genannte charakteristische Gleichung. Die Lösung der charakteristischen Gleichung (quadratische Gleichung für ) wird: In Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad zeigt die Lösung unterschiedliches Verhalten! Wir betrachten jetzt unterschiedliche Größenordnungen des Dämpfungsgrades D. Zur Lösung der Differentialgleichung (3.87) Differenzieren dieses Ansatzes liefert: wird folgender Lösungsansatz gemacht: (3.88) (3.89) Ende ?

121 3 Dynamik Seite: 411 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Mit der E ULER schen Formel folgt: Diese Lösung für ungedämpfte Systeme haben wir bereits im Kapitel (Gleichung (3.76) bzw. (3.79)) ohne Herleitung kennen gelernt. D = 0: Ungedämpftes System Einsetzen dieser beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert Aus der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung folgen für D = 0 die zwei Lösungen oder (3.90) Der Verlauf der Schwingung nach Gleichung (3.90) für D = 0 (ungedämpft) ist in Bild 3.80 dargestellt. x(t) t Bild 3.80 Ungedämpfte Schwingung (D = 0) Ende ?

122 3 Dynamik Seite: 412 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure D < 1: Schwach gedämpftes System In der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung wird für D < 1 der Wurzelradikand negativ. Deshalb formen wir sie wie folgt um: folgt für die umgeformte Lösungen der charakteristischen Gleichung Einsetzen der beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert Mit nach Gleichung (3.86) und einer neuen Abkürzung: (3.91) Auf den Klammerausdruck wenden wir nun wieder die E ULER sche Formel an, und erhalten und daraus (vgl. vorherige Seite) Ende ?

123 3 Dynamik Seite: 413 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Die Abkürzung (Gleichung (3.91)) ist die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung. Die Amplitude A der Schwingung nimmt mit Zeit t um den Faktor ab. Aus den Lösungen (3.92) bzw. (3.93) kann man typische Eigenschaften für den schwach gedämpften Schwinger ableiten (siehe dazu auch Bild 3.81). Es gilt allgemein: Die Schwingdauer T istDie Frequenz f wird Beachte: 0 ist die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers Die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung ist konstant. Sie ist kleiner als die Eigenkreisfrequenz 0 des ungedämpften Schwingers. Bild 3.81 Schwach gedämpfte Schwingung (D < 1) t A Der typischen Verlauf dieser schwach gedämpften Schwingung (D < 1) nach Gleichung (3.92) bzw. (3.93) ist in Bild 3.81 dargestellt. (3.92) oder mit Gleichung (3.79) (3.93) T = 2 Ende ? (3.94)

124 3 Dynamik Seite: 414 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Die das Dämpfungsverhalten eines Schwingers bestimmenden Parameter sind nicht immer bekannt oder können nicht immer einfach experimentell ermittelt werden. Mit den Gleichungen (3.84) bis (3.86) ist man aber in der Lage, bei der Kenntnis eines typischen Dämpfungsparameters (b, oder D), die jeweils benötigten anderen Parameter zu berechnen. Für eine experimentelle Bestimmung von Dämpfungsparametern soll im Folgenden die recht einfache Bestimmung des L EHR schen Dämpfungsmaßes D gezeigt werden. Experimentelle Bestimmung des L EHR schen Dämpfungsmaßes D Wir betrachten zwei aufeinanderfolgende Ausschläge des Schwingers im Abstand einer Periode T (siehe Bild 3.81) und bilden das Verhältnis dieser Ausschläge Hinweis: Wegen der Periodizität der sin- Funktion gilt sin( [t+T]+ ) = sin( t+ ). Logarithmieren beide Seiten liefert = logarithmisches Dekrement Mit aus (3.86) und nach (3.94) ergibt sich und nach D umgestellt mit (3.95) Das L EHR sche Dämpfungsmaßes kann also aus zwei experimentell ermittelten aufeinander- folgenden Ausschlägen im Abstand T (zweckmäßig die maximalen Ausschläge, da sich diese am genauesten messen lassen) über das logarithmische Dekrement berechnet werden. Ende ?

125 3 Dynamik Seite: 415 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.29 Ermittlung des L EHR schen Dämpfungsmaßes D Um uns eine Vorstellung von der Größe des L EHR schen Dämpfungsmaßes machen zu können, betrachten wir nachfolgend eine Schwingung, bei der sich die Amplitude nach jeder Periode T um die Hälfte verringert. Schlußfolgerung: Auch bei relativ stark gedämpften Systemen ist die Eigenkreisfrequenz 0 des ungedämpften Systems eine gute Näherung für die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems. Damit ergibt sich für das L EHR sche Dämpfungsmaß aus Gleichung (3.95) Frage: Wie groß ist in diesem Fall der relativ großen Dämpfung mit D = 0,1097 die Eigenkreis- frequenz der gedämpften Schwingung? Das logarithmische Dekrement wird dafür nach Gleichung (3.95) Dieses Dämpfungsmaß ist relativ groß, da bereits nach wenigen Schwingungsperioden die Schwingung als praktisch abgeklungen angesehen sein wird. Nach Gleichung (3.94) gilt: Ende ?

126 3 Dynamik Seite: 416 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure D > 1: Stark gedämpftes System Die Funktion (3.96) beschreibt keinen typischen Schwingungsvorgang mehr, sondern einen so genannten Kriechvorgang (vgl. Bild 3.82). Für den Sonderfall D = 1 ergibt sich aus der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung die Doppellösung 1,2 = - 0. Hinweis: Stark gedämpfte Systeme und der aperiodische Grenzfall sind technisch nur für wenige spezielle Anwendungen (z. B. Dämpfung von Zeigerinstrumenten) von Bedeutung. Die Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung hat für D > 0 zwei reelle Wurzeln. Einsetzen dieser beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert (3.96) D = 1: Aperiodischer Grenzfall Einsetzen dieser Doppellösung in den Lösungsansatz (3.88) liefert die Funktion (typischer Verlauf siehe Bild 3.82) (3.97) Bild 3.82 Kriechvorgang (D > 1) t/s x(t) / mm ,2 0,4 0,6 0,8 1 Kriechvorgang (D = 1,2) aperiodischer Grenzfall (D = 1) und aperiodischer Grenzfall (D = 1) Ende ?

127 3 Dynamik Seite: 417 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure m =0 c F(t) b Bild 3.83 Krafterregter Schwinger Unter erzwungenen Schwingungen versteht man Schwingungsvorgänge, bei denen dem Schwingungssystem durch zeitabhängige Kraft- oder Wegerregung Energie zugeführt wird Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad x(t) c x mg mx.. FNFN x(t) F(t) bx. Wir betrachten zunächst den praktisch wichtigen Fall, bei dem ein Schwingungssystem durch eine harmonische äußere Kraft zu Schwingungen angeregt wird (Bild 3.83). = Erregerkreisfrequenz) Nach dem D A LEMBERT schen Prinzip erhält man aus dem Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung an der freige- schnittenen Masse m (Bild 3.83) Im Unterschied zur Bewegungsgleichung des freien gedämpften Schwingers (3.87) haben wir es jetzt mit einer inhomogenen Differentialgleichung zu tun, deren Lösung als Summe aus der homogenen Lösung x h und einer partikulären Lösung x p aufgeschrieben werden kann: Mit (3.84) bis (3.86) und mit folgt daraus (3.98) (3.99) Die homogene Lösung ist mit Gleichung (3.92) bzw. (3.93) bereits bekannt: bzw. (3.100) Ende ?

128 3 Dynamik Seite: 418 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Dieser Lösungsansatz muß die vollständige Differentialgleichung (3.98) erfüllen. folgt nach dem Einsetzen in die vollständige Differentialgleichung (3.98) Mit und Mit den Additionstheoremen der Winkelfunktionen folgt daraus Hinweis: Diese Gleichung ist für jede beliebige Zeit t dann Null, wenn jeder Klammerausdruck für sich Null wird! Für die partikuläre Lösung machen wir einen Lösungsansatz der Form (3.101) Nullsetzen der ersten Klammer liefert - Nacheilwinkel, Phasenverschiebung (3.102) Abstimmungsverhältnis (3.103) mit Ende ?

129 3 Dynamik Seite: 419 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Bild 3.84 Erzwungene Schwingung t x(t) Nullsetzen der zweiten Klammer liefert mit der Lösung für tan (Umwandeln der sin- und cos-Funktion in die tan-Funktion) nach kurzer Rechnung die Konstante K Die vollständige Lösung der Differentialgleichung (3.98) folgt aus Gleichung (3.99) durch Ein- setzen der Gleichungen (3.100) und (3.101) mit der jetzt bekannten Konstanten K zu (3.104) Die Integrationskonstanten A und müssen aus den jeweils aktuellen Anfangsbedingungen des konkreten Problems bestimmt werden. Hinweis: in Gleichung (3.104) ist die Auslenkung der Masse bei statischer (ruhender) Belastung des Feder-Masse-Systems mit der Kraft. stationärer Zustand für > 1 Ein typischer Verlauf einer erregten Schwingung ist in Bild 3.84 dargestellt. Der zweite Term in (3.104) be- schreibt den so genannten stationären Zustand (siehe Bild 3.84 und folgende Seite). Ende ?

130 3 Dynamik Seite: 420 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Wie bereits auf der vorherigen Seite kurz angedeutet, beschreibt in der allgemeinen Lösung (3.104) der partikuläre Lösungsanteil (zweiter Term) den so genannten stationären Zustand (stationäre Schwingung) x stationär, da der homogene Lösungsanteil (erster Term) infolge der immer vorhandenen Dämpfung mit der Zeit abklingt (vgl. Bild 3.84). Für den stationären Zustand gilt: der stationäre Zustand ist eine harmonische Schwingung mit einer Eigenkreisfrequenz, die gleich der Erregerkreisfrequenz ist die Amplitude K der stationären Schwingung ist konstant die stationäre Schwingung hat gegenüber der Erregung eine Phasenver- schiebung um den Winkel Wir erkennen an Gleichung (3.105), dass die Amplitude der stationären Schwingung wesentlich vom Abstimmverhältnis bestimmt wird. Das Verhältnis der Amplitude K der stationären Lösung (3.105) zur statischen Auslenkung, die so genannte Vergrößerungsfunktion V 1 ( ), gestattet das typische Verhalten der Schwingungsamplitude zu diskutieren (siehe Bild 3.85). Dabei ist besonders die nähere Umgebung von = 1 zu beachten, da dort bei geringen Dämpfungen recht große Amplituden auftreten können. Der Zustand = 1 ( = 0 ) wird als Resonanz bezeichnet. V 1 ( ) (3.105) Ende ?

131 3 Dynamik Seite: 421 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure D=0,1 D=0,25 D=0,5 D=0 D=2 V1V1 Max(V 1 ) D=0,707 Bild 3.85 Vergrößerungsfunktion V 1 unterkritische Erregung ( ) Resonanzfall ( ) überkritische Erregung ( ) Wir unterscheiden in Abhängigkeit von zwischen: V 1 ( ) folgt aus Gleichung (3.105) zu V 1 ( ) ist in Bild 3.85 für unterschiedliche Dämpfungsmaße D dargestellt. der stationären Lösung nach Gleichung (3.102) gegenüber der Erregerfunktion F(t) ist in Bild 3.86 für unterschiedliche Dämpfungsmaße D dargestellt. Die Phasenverschiebung Bild 3.86 Phasenverschiebung Phasenverschiebung D=0 D=0,1 D=0,25 D=0,5D=0,707 D=2 Ende ?

132 3 Dynamik Seite: 422 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure In der nachfolgenden realistischen Animation ist der Schwingungsvorgang für diese erzwungene gedämpfte Schwingung mit Krafterregung an der Masse für die Gesamtlösung (3.104) und für folgende Größen dargestellt: m = 5 kg, c = 50 N/m, b = 4 N s/m Anfangsbedingungen: x (t=0) = 0,3 m; x (t=0) = 0. Zeitdarstellung:0 t 30 s m = 0 c F(t) b x(t) Zur Ansicht der Animation auf das Bild klicken oder die Datei schwinger-2.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt die Wiedergabe fort oder beginnt sie erneut. Ende ? (Der Dämpfer ist in der Animation nicht dargestellt) Animation:

133 3 Dynamik Seite: 423 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Unwuchterregung m = 0 c b x(t) r Bild 3.88 Erregung durch die horizontale Kraftkomponente F(t) = m u r 2 sin t der Fliehkraft m u r 2 Neben der hier behandelten Krafterregung F(t) treten häufig Stützenerregungen und Unwucht- erregungen auf. Die Behandlung dieser erregten Systeme erfolgt analog zur Krafterregung. Als Ergebnis lassen sich neben der vollständigen Lösung wieder für den stationären Schwingungs- zustand Vergrößerungsfunktion und Phasenverschiebung ermitteln. Stützenerregung (Erregung über Feder, über Dämpfer oder über Feder und Dämpfer) m u r 2 t m u r 2 sin t Bild 3.87 Stützenerregung über Feder und Dämpfer m = 0 c b x(t) x S (t) = x·sin t ˆ t m u r 2 m u (Unwuchtmasse) Ende ?

134 3 Dynamik Seite: 424 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden Einführung Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen für ein Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden kann analog zum Schwinger mit einem Freiheitsgrad, z. B. mit dem D A LEMBERT schen Prinzip (Kapitel bis 3.3.3) bzw. den L AGRANGE schen Bewegungsgleichungen 2. Art (Kapitel 3.4.3), vorgenommen werden. Neu ist jetzt: Bei einem linearen Schwingungssystem mit n-Freiheitsgraden erhält man ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem aus n Gleichungen, d. h. die mathe- matische Behandlung wird aufwendiger. Ein lineares Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden besitzt n Eigenkreis- frequenzen i (i = 1,..., n). Viele Erkenntnisse vom Schwinger mit einem Freiheitsgrad lassen sich übertragen, z. B.: Die Eigenkreisfrequenzen eines schwach gedämpften Systems unterscheiden sich nur un- wesentlich von denen des ungedämpften Systems (vgl. Kapitel Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad). Deshalb reicht es häufig aus, ungedämpfte Systeme zu untersuchen. Bei erregten Systemen reicht im Allgemeinen die Untersuchung des stationären Schwin- gungszustandes aus. Nur für die Untersuchung des Verhaltens eines Systems in der Anlaufphase bzw. Auslaufphase ist die vollständige Lösung (mit Berücksichtigung der Dämpfung) erforderlich. Eine Erregung in der Nähe der Eigenkreisfrequenzen i führt ebenfalls zu großen Schwin- gungsausschlägen. Bei jeder Eigenkreisfrequenz liegt eine Resonanzstelle. Ende ?

135 3 Dynamik Seite: 425 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Aufstellen der Bewegungsgleichungen Am Beispiel eines Zwei-Massen-Schwingers mit Dämpfung und Krafterregung (Bild 3.89) soll das Aufstellen der Bewegungsgleichungen exemplarisch gezeigt werden. Im Beispiel 3.25 wurden Bewegungsgleichungen für einen Zwei-Massen-Schwinger (dort ohne Dämpfung und Krafterregung) mit den L AGRANGE schen Bewe- gungsgleichungen aufgestellt. Hier wollen wir mit Hilfe des D A LEMBERT schen Prinzips die zweite typische Methode anwenden. x 1 (t) x 2 (t) F N2 m2gm2g m2x2m2x2.. x 2 (t) x 1 (t) m1gm1g F N1 c1·x1c1·x1 m1x1m1x1.. c 2 ·(x 2 -x 1 ) b1x1b1x1. b 2 (x 2 - x 1 ).. F 1 (t) =0 c1c1 m1m1 b1b1 c2c2 m2m2 b2b2 F 1 (t) Bild 3.89 Zwei-Massen-Schwinger mit Dämpfung und Erregung Gegeben:m 1, m 2, c 1, c 2, b 1, b 2, Gesucht:Bewegungsgleichungen für m 1 und m 2 Das Kräftegleichgewicht an den beiden Massen liefert Nach Umsortierung folgt (3.106) bzw. in Matrizenschreibweise (3.107) oder kurz Es bedeuten in (3.107): M- Massenmatrix D- Dämpfungsmatrix K- Steifigkeitsmatrix x- Koordinatenvektor F- Lastvektor Es bedeuten in (3.107): M- Massenmatrix D- Dämpfungsmatrix K- Steifigkeitsmatrix x- Koordinatenvektor F- Lastvektor Ende ?

136 3 Dynamik Seite: 426 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Einsetzen in Gleichung (3.107) und Koeffizientenvergleich liefert ein Gleichungssystem zur Berechnung von A und B. Die Bewegungsgleichungen (3.106) bzw. (3.107) stellen ein gekoppeltes lineares Differential- gleichungssystem dar. Aus den Bewegungsgleichungen (3.107) lassen sich schnell die folgenden Sonderfälle ableiten: Die Lösung der Differentialgleichungssysteme (3.108) und (3.109) kann als Summe einer homogenen und einer partikulären Lösung aufgeschrieben werden (bei (3.110) und (3.111) entfällt die partikuläre Lösung) x = x h + x p Zur Bestimmung der homogenen Lösung macht man zweckmäßig den Ansatz (vgl. auch Kapitel 3.5.3, Gleichung (3.88)) x h = C·e t und zur Bestimmung der partikulären Lösung führt ein an F angepasster Störgliedansatz in der Regel zum Ziel. Für das obiges Beispiel mit Dämpfung und mit z. B.: (3.109) System ohne Dämpfung und mit Erregung (3.110) System mit Dämpfung und ohne Erregung (3.111) System ohne Dämpfung und ohne Erregung (freie Schwingung) (3.108) System mit Dämpfung und Erregung Die Matrizenschreibweise (3.107) gilt in dieser allgemeinen Form auch für Schwinger mit mehr als zwei Freiheitsgraden, wobei die Matrizen und Vektoren in (3.107) dann ein Format annehmen, das der Freiheitsgradanzahl des Systems entspricht. Ende ?

137 3 Dynamik Seite: 427 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Beispiel 3.30 Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung an einer Masse =0 c1c1 m1m1 c2c2 m2m2 F 1 (t) Bild 3.90 Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung Gegeben:m 1 = m 2 = m, c 1 =c 2 = c, Gesucht:Bewegungsgleichungen für m 1 und m 2 x 1 (t) x 2 (t) Es gelten die Bewegungsgleichungen (3.106) bzw. (3.107), wenn in diesen die Dämpfung Null gesetzt wird (d. h. b 1 = b 2 = 0 bzw. D = 0) (3.112) oder kurz(3.113) Ermittlung der homogene Lösung: Der Ansatz oder x h = C·e t in (3.112) eingesetzt liefert das so genannte allgemeine Eigenwertproblem (3.114) Das allgemeine Eigenwertproblem (3.114) stellt ein homogenes Gleichungssystem für die Ampli- tuden C des Ansatzes dar. Es hat nur dann nichttriviale Lösungen für C, wenn die Determinante der Matrix ( 2 M + K) Null wird. (3.115) Ende ?

138 3 Dynamik Seite: 428 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure (3.115) Die Gleichung (3.115) wird als charakteristische Gleichung bezeichnet. Für das konkrete Beispiel wird die charakteristische Gleichung mit (3.112) Die charakteristische Gleichung (biquadratische Gleichung für ) hat die Lösungen Hinweis:Die Lösungen für 2 1,2 sind kleiner Null. Deshalb führen wir die Substitution 2 1,2 = - 2 1,2 durch. Damit ist 2 1,2 reell und positiv. Mit (3.116) erhält man die Lösungen der charakteristischen Gleichung in der Form mit und aus Gleichung (3.116) für die gegebenen Werte bzw. daraus die vier Teillösungen (3.117) Ende ?

139 3 Dynamik Seite: 429 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Mit 2 = - 2 nach (3.117) folgt aus (3.114) Einsetzen in den Lösungsansatz für x h und Überlagerung aller Teillösungen mit je zwei Integra- tionskonstanten liefert Mit der E ULER schen Formel (vgl. auch Kapitel 3.5.3) folgt nach kurzer Umformung und Umbenennung der Konstanten (3.118) Aus dem homogenen Gleichungssystem (3.114) liest man ab, dass es zwischen den Konstanten von C einen Zusammengang geben muss. und die erste Gleichung liefert einen allgemeinen Zusammenhang zwischen C 1 und C 2 der für = 1 und für = 2 erfüllt sein muß. Zwischen den Konstanten in (3.118) muss damit folgender Zusammenhang gelten mit den Auslenkungsverhältnissen 1 = +1,618 und 2 = -0,618 für die gegebenen Werte. Ende ?

140 3 Dynamik Seite: 430 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Die homogene Lösung (3.118) geht damit in die folgende endgültige Form über (3.119) Hinweis:C 11, C 12, 1 und 2 sind die vier Integrationskonstanten des homogenen Ausgang- systems (3.112). Diskussion der homogenen Lösung: Die Integrationskonstanten C 11, C 12, 1 und 2 werden aus Anfangsbedingungen bestimmt. Beachte: Die Anfangsbedingungen müssen bei einem erregten System für die Gesamtlösung aus homogener und partikulärer Lösung aufgeschrieben werden! Die homogene Lösung ist im Allgemeinen Fall die Überlagerung zweier Schwingungen mit den Eigenkreisfrequenzen 1 und 2. Sie klingt infolge immer vorhandener Dämpfung (hier nicht berücksichtigt) mit der Zeit ab (vgl. Kapitel 3.5.3). Es gibt aber immer bestimmte Anfangsbedingungen, für die in (3.119) entweder C 12 oder C 11 Null wird. In diesen Fällen schwingen beide Massen mit der gleichen Eigenkreisfrequenz, entweder mit 1 (Bild 3.91, folgende Seite) oder mit 2 (Bild 3.92, folgende Seite). Die dazu gehörenden Schwingformen bezeichnen wir als Eigenschwingformen (vgl. Gegenüberstellung für dieses Beispiel auf der folgenden Seite). Das Auslenkungsverhältnis der Massen ist ein charakteristischer Wert, der die Schwingform qualitativ beschreibt. Ende ?

141 3 Dynamik Seite: 431 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Bild 3.92 Gegensinnige Schwingung mit 2 Eigenschwingform für 2 (2. Eigenschwingform) Bild 3.91 Gleichsinnige Schwingung mit 1 Eigenschwingform für 1 (1. Eigenschwingform) m2m2 x 1h m1m1 - x 2h Schwingform: gegensinnig Schwingform: gleichsinnig x 2h x 1h m1m1 m2m2 Auslenkungsverhältnis C 12 = 0 C 11 = 0 Ende ?

142 3 Dynamik Seite: 432 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ermittlung der partikulären Lösung: Für die partikuläre Lösung wird ein an die Erregerfunktion angepasster Ansatz gewählt: bzw. Einsetzen des Ansatzes in die vollständige Gleichung von (3.112) liefert mit das Gleichungssystem Das ist ein lineares inhomogenes Gleichungssystem für A 1 und A 2. Die Auflösung, z. B. mit der C RAMER schen Regel, liefert und Die Determinante det(G) hat genau für = ± 1 und = ± 2 Nullstellen, da sie analog zur charakteristischen Gleichung (3.115) aufgebaut ist! Mit der Produktdarstellung des aus det(G) folgenden Polynoms 4. Grades mit Hilfe der bekannten Nullstellen können die Konstanten des Ansatzes dann wie folgt aufgeschrieben werden (siehe folgende Seite) Ende ?

143 3 Dynamik Seite: 433 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure (3.120) Damit wird die partikuläre Lösung (3.121) Die Gesamtlösung x = x h + x p kann jetzt mit der homogenen Lösung (3.119) und der partikulären Lösung (3.121) aufgeschrieben werden. Wir wollen jedoch an dieser Stelle darauf verzichten und statt dessen, wie bei der homogenen Lösung, die partikuläre Lösung kurz diskutieren. Diskussion der partikulären Lösung: Nachdem die homogene Lösung infolge der immer vorhandenen Dämpfung abgeklungen ist, schwingt das System mit der partikulären Lösung im so genannten stationären Zustand (vgl. auch Kapitel 3.5.4, Bild 3.84). Ende ?

144 3 Dynamik Seite: 434 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Bei der 1. Resonanzstellen ( = 1 ) schwingen die Massen gleichsinnig mit der 1. Eigen- schwingform und bei der 2. Resonanzstellen ( = 2 ) schwingen die Massen gegensinnig mit der 2. Eigenschwingform (vgl. Bild 3.91 und 3.92). Die Amplituden A 1 und A 2 der stationären Schwingung sind neben den Systemkenngrößen (Massen, Federzahlen, Eigenkreisfrequenzen 1 und 2 ) wesentlich von der Erregung und hier speziell von der Erregerkreisfrequenz abhängig (siehe Gleichung (3.120)). Die folgenden Darstellungen der Amplituden in Abhängigkeit von der Erregerkreisfrequenz für das hier behandelte Beispiel mit zwei Massen ohne Dämpfung verdeutlichen dies. A1A1 1 2 A2A2 1 2 Bild 3.93 Amplituden der stationären Schwingung Bei = 1 und bei = 2 werden die Amplituden A 1 und A 2 theoretisch unendlich groß (für Systeme ohne Dämpfung; aber bei der praktisch immer vorhandenen Dämpfung bleiben die Amplituden endlich). Diese Stellen bezeichnen wir als Resonanzstellen. Bei = T ist A 1 = 0, d. h. die Masse m 1 bleibt in Ruhe, obwohl dort die Erregerkraft F(t) angreift! Diesen Effekt nennt man Schwingungstilgung (hier der Masse m 1 ). Die Masse m 2 schwingt dabei weiter. Schwingungstilgung wird in der Praxis bewusst zur Unterdrückung von Schwingungen einzelner Massen eingesetzt. Ende ?

145 3 Dynamik Seite: 435 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure In der nachfolgenden realistischen Animation ist der Schwingungsvorgang für diesen Zwei- Massen-Schwinger mit Krafterregung an m 1 für die Gesamtlösung x = x h + x p und für folgende Größen dargestellt: = 0 c1c1 m1m1 c2c2 m2m2 F 1 (t) x 1 (t) x 2 (t) ungedämpft: x 1 (t) x 2 (t) = 0 c1c1 m1m1 b1b1 c2c2 m2m2 b2b2 F 1 (t) gedämpft: (b 1 = b 2 = 4 N s/m) (Dämpfer in der Animation nicht dargestellt) m 1 = m 2 = 5 kg, c 1 = c 2 = 50 N/m, Anfangsbedingungen: x 1 (t=0) = 0, x 1 (t=0) = 0 x 2 (t=0) = 0,3 m, x 2 (t=0) = 0.. Zeitdarstellung:0 t 30 s Zur Ansicht der Animation auf das jeweilige Bild klicken oder die Datei schwinger-3-u.avi (ungedämpft) bzw. schwinger-3-g.avi (ge- dämpft) mit geeignetem Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt sie fort oder beginnt sie erneut. Ende ? Animation:

146 3 Dynamik Seite: 436 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ende der Dynamik Ende ?


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