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Der Graphikrechner Casio CFX Möglichkeiten zur Unterrichtsgestaltung Basis ist eine fast zweijährige Erfahrung in einem LK Mathematik (Die folgenden Beiträge.

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Präsentation zum Thema: "Der Graphikrechner Casio CFX Möglichkeiten zur Unterrichtsgestaltung Basis ist eine fast zweijährige Erfahrung in einem LK Mathematik (Die folgenden Beiträge."—  Präsentation transkript:

1 Der Graphikrechner Casio CFX Möglichkeiten zur Unterrichtsgestaltung Basis ist eine fast zweijährige Erfahrung in einem LK Mathematik (Die folgenden Beiträge erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit, sondern bilden erste Eindrücke!) Dargestellt von Inge Ahlers und Alois Kretschmann

2 Um Missverständnisse zu vermeiden: Die Fähigkeiten des CFX 9850G sind gegenüber einem Medium, das mit einem Computer-Algebra-System arbeitet, begrenzt. Er ist allerdings ein Werkzeug, das - im Gegensatz zum Computer - im Unterricht, zu Hause und in Klausuren eingesetzt werden kann. Gegenüber CAS- fähigen Taschenrechnern hat er den Vorteil, dass man vom Preis her die private Anschaffung gerade noch rechtfertigen kann. Auf die Möglichkeiten einer sinnvollen Ergänzung durch ein CAS wird unten eingegangen.

3 Der GR bringt Beiträge zu folgenden didaktischen Feldern Einbeziehung neuer Gebiete wegen hoher Rechenfähigkeit Gebiete Neue Gesichtspunkte und Verstärkung bisher vernachlässigterGesichtspunkte Veranschaulichung einer ProblemstellungVeranschaulichung Förderung des Denkens in mathematischen Strukturen Strukturen Förderung der Kreativität Kreativität Konkretisierung von sonst abstrakten ZussammenhängenKonkretisierung

4 Neue Gebiete I. Übergangsmatrizen Aufgabe: In einem Fast-Food Restaurant werden angeboten: Mac Beef, Mac Pork und Mac Chicken. Der Geschäftsführer stellt fest, dass von den Gästen, die an einem bestimmten Stichtag einen MB essen, 70 % dem MB die Treue halten, 20% am nächsten Tag den MP nehmen und 10% zu MC wechseln. Von den Gästen, die an dem betreffenden Tag einen MP essen, halten diesem 60% die Treue, 10% wechseln am nächsten Tag zu MB und 30% zu MC. Bei MC halten diesem 80% die Treue, 15% wechseln am nächsten Tag zu MB und 5% zu MP. a) Stelle eine Übergangsmatrix auf, mit der man den täglichen Wechsel berechnen kann. b) Stelle eine Matrix auf, mit der man den zweitägigen Wechsel bestimmen kann. c) Angenommen, am Eröffnungstag essen 200 Personen einen MB, 140 Personen einen MP und 280 Personen einen MC. Wie sieht die Verteilung 3 Tage später aus? d) Untersuche, ob sich die Verteilung irgendwann stabilisiert ? Wie sähe dann die Verteilung der 620 Besucher auf die 3 Speisen aus ? e) Welche Annahme liegt den Berechnungen in den Aufgabenteilen b) bis d) zugrunde? f) Wie sieht die Stabilitätsverteilung aus, wenn das Verhalten der MC-Esser so aussähe: 75% treu, 20% zu MB und 5% zu MP b) wird gelöst durch A², c) durch A³ und d) annähernd Die Übergangsmatrix A lautet: durch A

5 II. Berechnung von Bogenlängen Bogenlängen werden durch Integrale berechnet. Eine elementare Berechnung über Stammfunktionen ist selten möglich. Es bietet sich an, die Integralberechnung des GR über den Run- Modus zu benutzen.Bei Berechnungsschwierigkeiten bei zusteilen Kurvenstücken müssen diese geeignet transformiert werden.steilen Da die Eingabetechnik zur Berechnung der Bogenlänge relativ kompliziert ist und hierbei Fehler auftreten können, ist eine Überschlagsrechnung sehr sinnvoll. Neue Gebiete zurück

6 Neue Gesichtspunkte I. Simulation Die Planetenbahnen können mit dem Menü "Conics" simuliert werden. In einem Astronomiebuch steht z. B. die numerische Exzentrizität des Merkur. Daraus kann man bei Annahme einer für den GR geeigneten großen Halbachse die kleine Halbachse berechnen und in "Conics" die Bahn darstellen lassen. Das Koordinatensystem kann so eingerichtet werden, dass die Kegelschnitte verzerrungsfrei erscheinen.Bahn Diese Simulation kann im Rahmen der Behandlung von Kegelschnitten durchgeführt werden.

7 Neue Gesichtspunkte II. Berechenbarkeit durch Näherung Beispielaufgabe: Welcher Anteil der vom Graphen der Funktion f(x) = sin x + 0,6 und der x-Achse eingeschlossenen Fläche im Bereich 0 bis 2 liegt unterhalb der x-Achse ? Benutzt wird die Möglichkeit der graphischen Integration durch den GR.

8 Neue Gesichtspunkte III. Effektive Kontrolle Aufgabe: Durch 3 vorgegebene Punkte soll der Graph einer quadratischen und einer kubischen Funktion gelegt werden. Mit dem GR kann man das sich ergebende LGS entweder mit dem Equa-Modus oder dem Mat-Modus (Gauß'scher Algorithmus) lösen und anschließend die Graphen (bei dem kubischen Fall mehrere Möglichkeiten) zeichnen lassen. Dann können mit der Punkt-Plot-Funktion die vorgegebenen Punkte zum Test eingezeichnet werden. Graphen zurück

9 Veranschaulichung einer Problemstellung I. Integralrechnung Aufgabe:a) Berechne das Integral von f(t) = t in den Grenzen 2 bis 4 b) Berechne das Integral von f(t) = t in den Grenzen 1 bis 4 c) Bestimme x so, dass das Integral von f(t) in den Grenzen von x bis 4 8,5 Einheiten beträgt; es soll zunächst eine Abschätzung erfolgen. Lösung der Aufgabe: 1) Zur Verdeutlichung des Problems wird f(x) graphisch dargestellt. 2) Die ersten Integrale werden berechnet: 10,66 E und 9 E. 3) Abschätzen der Lösungen hinsichtlich Lage und Anzahl anhand der graphischen Darstellung.(Hier hilft die Fähigkeit des GR, Integrale innerhalb des Graphikmodus zu berechnen und als orientierte Fläche zu schraffieren) 4) Rechnerische Bestätigunggraphisch

10 Veranschaulichung einer Problemstellung II. Lernsequenz zum Majorantenprinzip Diese Lernsequenz soll soll den Beweis unterstützen, dass x n e -x für x den Grenzwert Null hat. 1. Phase: Zeichnen von f 1 (x) = xe -x, f 3 (x) = x 3 e -x, f 5 (x) = x 5 e -x Phase: Vermutung über den Grenzwert anstellen 3. Phase:Zu xe -x Vergleichsfunktion g(x) = 1/x zeichnen und auf diese Weise das Majorantenprinzip erfahren 4. Phase: zu x 2 e -x und x 3 e -x versuchen, Majoranten zu finden 5. Phase: Funktionen g n (x) = n n e -x /x vorgeben und zeigen, dass g n (x) f n (x) ist.Zeichnenzeichnenvorgeben zurück

11 Förderung des Denkens in mathematischen Strukturen I. Zur Benutzung des Menüs Equations benötigt man eine bestimmte Struktur der Gleichung oder des Gleichungssystems. Da das Lösen von Gleichungen mit dem GR für Schüler aus ökonomischen Gründen reizvoll ist, lohnt es sich, ein Problem zunächst in die geeignete Form zu bringen, z. B. bei der Ermittlung der Schnittpunkte von Kegelschnitten.Form

12 Förderung des Denkens in mathematischen Strukturen II. Falls man die Gleichung ( k/2 + 2) 3 + 4k = 0 näherungsweise lösen will, bietet sich die Möglichkeit an, nach Zeichnen des Graphen zu f(k) = ( k/2 + 2) 3 + 4k die Methode des graphischen Lösens zu benutzen. Dabei ist es rationeller, den Ausdruck so stehen zu lassen und nicht, wie viele Schüler es machten, den kubischen Ausdruck auszurechnen. zurück

13 Förderung der Kreativität I. Halbierung eines Flächeninhaltes Aufgabe: Die Fläche, die der Graph zu f(x) = -x 2 + 2x mit der x-Achse einschließt, soll durch eine Parallele zur x-Achse halbiert werden. Bestimme experimentell mit dem GR die Gleichung dieser Geraden. Mögliche Lösungsstrategie: a) Graphische Darstellung von f(x). b) Bestimmung der Fläche, die der Graph von f(x) mit der x-Achse einschließt. c) Wahl einer Parallele zur x-Achse (g(x) = c), die evtl.. die Fläche halbiert. d) Bestimmung der Fläche, die von den Graphen von f(x) und g(x) eingeschlossen wird minus des unteren Rechtecks oder Bestimmung der Fläche, die der Graph der Differenzfunktion f(x) - g(x) mit der x-Achse einschließt.

14 Förderung der Kreativität II. Bestimmung eines Hühnereivolumens Aufgabe: a) Bestimme mit Hilfe eines Überlaufgefäßes das Volumen eines (gekochten)Hühnereis b) Bestimme eine Berandungsfunktion, die den Verlauf der Eihülle beschreibt.(Hier kann das Menü Conics benutzt werden. Ferner können die Fähigkeiten des GR ausgenutzt werden, Graphen zu speichern und Graphen abschnittsweise zu zeichnen.) c) Berechne das Volumen des modellierten Eis als Volumen des Rotationskörpers mit Hilfe der ermittelten Funktion. d) Falls die Abweichung des berechneten Volumens weniger als 3% des gemessenen Volumens beträgt, kann die Aufgabe beendet bzw. das Ei gegessen werden. zurückzurück

15 I. In der Sprache der Mathematik heißt es häufig: Die e-Funktion wächst schneller als jede Potenz-Funktion. Was das konkret bedeutet, sollte am Beispiel P(x) = x 8 gezeigt werden. Zunächst wächst P(x) durchaus stärker als e x. Es bedarf einiger Geduld, bis durch Veränderung der Einheiten auf der senkrechten Achse die Stelle gefunden wird, ab der e x größer als P(x) wird. wächst größer Konkretisierungen sonst abstrakter Zusammenhänge

16 II. Es soll im folgenden Beispiel die Funktionsweise des GR beim numerischen Integrieren untersucht werden. Man lässt den GR über den Modus "Run" einen Näherungswert für das Integral von f(x) = e -x² im Intervall [0,1]ausrechnen, und zwar mit der Unterteilungsziffer 2, so dass das Intervall [0, 1] in vier Teile eingeteilt wird (Hier wird die Simpson-Methode angewandt). Anschließend werden 2 verschiedene quadratische Polynome mit den Stützstellen 0; 0,25; 0,5 bzw. 0,5; 0,75; 1 berechnet (dabei werden die auftauchenden Gleichungssysteme mit dem GR gelöst) und dann die Integrale über diese beiden Ersatzpolynome - mit der größten Genauigkeit - berechnet; zuletzt werden diese beiden Integrale über die Speichertaktik addiert. Die Übereinstimmung der auf verschiedene Arten (maschinelle Simpson-Methode und manuelle S.- Methode) gefundenen Ergebnisse ist verblüffend.Intervall

17 Ergänzung des GR durch Derive I. Funktionsermittlung zu vorgegebenen Daten Die Aufgabe besteht darin, zu den Daten der Entwicklung der Weltbevölkerung eine angemessene Regressionskurve zu bekommen. Das geht mit dem GR, indem über das Menü Stat über List 1 und List 2 die Daten eingegeben werden; anschließend ermittelt der GR eine exponentielle Regressionskurve. Regressionskurve Mit Derive kann durch individuelles Experimentieren mit verschiedenen Exponentialfunktionen der gerade gewünschte Teil der Daten funktional dargestellt werden.

18 Ergänzung des GR durch Derive II. Taylorentwicklung Mit dem GR kann man rechnerisch und graphisch die Taylorreihe zu vorgegebener Funktion von Grad zu Grad entwickeln. Derive besitzt ein Programm, um Taylorreihen mit wählbarem Grad sofort anzugeben. Nach dem Kennenlernen des Prinzips der Taylorentwicklung mit dem GR kann man mit Derive ein Problembewusstsein für die Konvergenz entwickeln.

19 Bewertung durch die Schüler Der GR bedeutet eine große Hilfe bei Funktionsuntersuchungen. Der GR ist dem Computer bei den elementaren Problemen wegen der Zeitersparnis weit überlegen Der GR ist ein sinnvolles Kontrollinstrument am Ende von Berechnungen Weitere als die im Unterricht erlernten Arbeitstechniken wurden (in Eigeninitiative mit Hilfe des Handbuches) kaum erarbeitet. Die meisten Arbeitstechniken werden erst durch ständigen Gebrauch zum sicheren Repertoire Überschläge werden kaum gemacht, abschließende Kontrolle fast immer Das CAS Derive wird als sinnvolle Ergänzung zum GR empfunden Ende

20 Der Viertelbogen von P(0,3) bis Q(5,0) ist bei (5,0) zu steil.Der GR kann nur bis ca (4,9; a) integrieren. Man löst das Problem, indem man erst von 0 bis 2 integriert und dann das fehlende Stück entsprechend der transformierten Funktion berechnet zurück

21 Die numerische Exzentrizität e/a beträgt beim Merkur 0,206. Sie ist bis auf Pluto die größte aller Planeten. Bei Vorgabe von a = 5 kann man b berechnen und nebenstehendes Bild zeichnen lassen. zurück

22 Punktvorgabe: A(-4/3), B(1,-3), C(5,6). Das LGS zur Ermittlung der Parabel löst der GR auf Knopfdruck. Eine Gleichung der kubischen Parabel erhält man durch Matrix- Umformungen mittels des GR und anschließender Rechnung per Hand. zurück

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25 Eine Ellipse und eine Hyperbel seien gegeben durch: E: X 2 /25 + y 2 /9 = 1 H: X 2 /40 + y 2 /20 = 1 Der GR verlangt die Struktur: a n x+ b n y = c n Ellipsen- und Hyperbelgleichung müssen nun an diese Struktur angepasst werden. zurück

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