Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Technische Informatik I (SS 2006) Digitale Information Schalter Lampenzustand ist Tabelle von Schalterzustand Analoge vs. Digitale Informationen Analoge.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Technische Informatik I (SS 2006) Digitale Information Schalter Lampenzustand ist Tabelle von Schalterzustand Analoge vs. Digitale Informationen Analoge."—  Präsentation transkript:

1 Technische Informatik I (SS 2006) Digitale Information Schalter Lampenzustand ist Tabelle von Schalterzustand Analoge vs. Digitale Informationen Analoge Information Z.B. Dimmer Lampenzustand ist Funktion von Widerstand SchalterZustand AufDunkel ZuHell

2 Technische Informatik I (SS 2006) Analoge Information Tonband Zeigermessgerät Theoretisch unendlich genau Praktisch: Ablese- und Reproduktionsgenauigkeit Analogrechner Digitale Information Diskretisierung der Zustände CD/DVD Digitales Messgerät Theoretisch ungenau Reproduzierbar Digitale Rechner Analoge vs. Digitale Informationen: Beispiele

3 Technische Informatik I (SS 2006) Digitale Informationen N diskrete Zustände Technisch einfache Realisierung: N=2: Binär 0,1 An, Aus Strom fließt/fließt nicht Zwei Spannungspegel Wahr, Falsch Mathematischer Hintergrund: Boolsche Algebra

4 Technische Informatik I (SS 2006) Teil 1: Logik 1a: Schaltfunktionen

5 Technische Informatik I (SS 2006) Negation Funktion einer Variablen y = ¬ x Alternativ: y = x y = ~x Schaltsymbole xy xy xy xy 1 0

6 Technische Informatik I (SS 2006) Und-Verknüpfung y = a & b Alternativ: y = a · b y = ab Schaltsymbole aby a b y & a b y a b y a c yb Es gilt: y = (a & b) & c = a & (b & c) = a & b & c

7 Technische Informatik I (SS 2006) Oder-Verknüpfung x = a | b Alternativ: x = a + b Schaltsymbole xab a b x

8 Technische Informatik I (SS 2006) Gatterschaltungen y = (a & e) | (b & e) y = f (a,b,e) a b e y Eigenschaften: e = 0 (Enable) y = 0 e = 1 y = a | b eabeab y

9 Technische Informatik I (SS 2006) Gatterschaltungen y = (a & e) | (b & e) y = f (a,b,e) Ziel: Implementierung von f zu einfach wie möglich Kosten Gatterlaufzeit (Geschwindigkeit) y = (a | b) & e eabeab y abeabe y a b e y

10 Technische Informatik I (SS 2006) NAND Weiteres Gatter: NAND y = ¬ (a & b) Schaltsymbol Ersatzschaltung Analog: NOR aby a b y a b y

11 Technische Informatik I (SS 2006) XOR Exclusive OR y = a b Auch: Antivalenz Schaltsymbol Ersatzschaltung aby a b y

12 Technische Informatik I (SS 2006) Exkurs: Timing-Diagramme Zeitliche Darstellung von Gatterschaltungen Hier: Eingänge a,b,e zeitlich variabel a=1 =0 b=1 =0 e=1 =0 y=1 =0 Zeit y eabeab

13 Technische Informatik I (SS 2006) Boolsche Algebra George Bool (1854) Drei Operationen | (ODER, DISJUNKTION, auch: +) & (UND, KONJUNKTION, auch: · ) ¬ (NICHT, NEGATION, auch ) Zwei Werte (0,1)

14 Technische Informatik I (SS 2006) Boolsche Algebra: Axiome Axiome Kommutativität: a|b = b|a, a&b = b&a Neutrales Element: 0|a=a, 1&a=a Distributivität x = a & (b | c) = (a & b) | (a & c) x = a | (b & c) = (a | b) & (a | c) Komplementäres Element a | ¬ a = 1 b & ¬ b = 0 Dualität Durch Vertauschung von 10 sowie |& entsteht wieder gültige Aussage

15 Technische Informatik I (SS 2006) Gesetze zur Umformung Assoziative Gesetze x = a & b & c = a & (b & c) = (a & b) & c x = a | b | c = a | (b | c) = (a | b) | c Distributive Gesetze x = a & (b | c) = (a & b) | (a & c) x = a | (b & c) = (a | b) & (a | c) De Morgansche Gesetze x = ¬(a & b) = ¬a | ¬b x = ¬(a | b) = ¬a & ¬b

16 Technische Informatik I (SS 2006) Normalformen y ist nur dann 1, wenn Zeile zu 1 verknüpft: y 1 =¬a & ¬b & ¬c y 2 =¬a & ¬b & c y 5 = a & ¬b & ¬c Zeile verODERn: y=(¬a & ¬b & ¬c) | (¬a & ¬b & c) | (a & ¬b & ¬c) DISJUKTIVE Normalform abcy

17 Technische Informatik I (SS 2006) y ist nur dann 0, wenn Zeile zu 0 verknüpft: y 3 = a | ¬b | c y 4 = a | ¬b | ¬c y 6 =¬a | b | ¬c y 7 =¬a | ¬b | c y 8 =¬a | ¬b | ¬c Zeile verUNDen: y=(a | ¬b | c) & (a | ¬b | ¬c) & (¬a | b | ¬c) & (¬a | ¬b | c) & (¬a | ¬b | ¬c) KONJUNKTIVE Normalform Normalformen abcy

18 Technische Informatik I (SS 2006) Normalformen Jede Schaltfunktion lässt sich als genau eine konjunktive disjunktive Normalform darstellen Abgesehen von Vertauschungen sind diese Formen eindeutig Daraus folgt: Alle Schaltfunktionen sind durch die 3 boolschen Grundoperationen darstellbar

19 Technische Informatik I (SS 2006) Darstellung der 3 Grundoperationen Können mit ¬, &, | alle Funktionen darstellen Brauchen wir auch diese 3 Gatter? NICHT (¬) kann durch NAND dargestellt werden UND kann durch NAND dargestellt werden y x ist gleich xy y abab a b y

20 Technische Informatik I (SS 2006) Darstellung der 3 Grundoperationen ODER kann durch NAND dargestellt werden DeMorgan: y = ¬(¬a & ¬b) = a | b NOT vor jeden Eingang: y abab

21 Technische Informatik I (SS 2006) Zusammenfassung Binäre Schaltfunktionen y(a,b,c….) Als Wahrheitstabelle Oder Darstellung durch 3 Grundoperationen: NICHT, UND, ODER Als boolsche Funktion Als Schaltung Suche kostensparende Form der Implementierung von y()

22 Technische Informatik I (SS 2006) Zusammenfassung Umformungsgesetze: Assoziativgesetze, Distributivgesetze und deMorgan KV-Diagramme Suche nach Logikblöcken VerUNDere Variablen, verODERe Blöcke Normalformen Darstellung jeder Schaltfunktion durch konjunktive, bzw. disjunktive Normalform benötigt nur die 3 Grundoperationen Darstellung aller Grundoperationen durch z.B. NAND

23 Technische Informatik I (SS 2006) Teil 1: Logik 1b: Schaltnetze

24 Technische Informatik I (SS 2006) Schaltnetze sind Funktionen, die von mehrere gleichen Eingangsvariablen abhängen y 1 =y 1 (x 1 ….x n ) y 2 =y 2 (x 2 ….x n ) … y m =y m (x 1 ….x n ) Beispiel für Schaltnetze: Addition und Subtraktion von Zahlen

25 Technische Informatik I (SS 2006) Zahlensysteme Römische Zahlen Buchstaben: I=1, V=5, X=10 Nicht skalierbar… Arabische Zahlen: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 10 Ziffern (10 Finger?) 1972 = 2*1 + 7*10 + 9*10*10 + 1*10*10*10 Skalierbar! Logik: 2 Zustände darstellbar 2 Ziffern: 0,1

26 Technische Informatik I (SS 2006) Duales (Binäres) Zahlensystem Bsp: 1010 = 0*1 + 1*2 + 0*2*2 + 1*2*2*2 = 10 Allgemein: Wertigkeit = 2 Stelle-1 2er-Potenzen wichtig: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048… Dezimal -> Binär Teilen + Rest bilden…

27 Technische Informatik I (SS 2006) Umwandlung der Zahl er-Potenzen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048… Dezimal -> Binär 11. Stelle: 1972 / 1024 = 1, Rest Stelle: 948 / 512 = 1, Rest Stelle: 436 / 256 = 1, Rest Stelle: 180 / 128 = 1, Rest Stelle: 52 / 64 = 0, Rest Stelle: 52 / 32 = 1, Rest Stelle: 20 / 16 = 1, Rest 4 4. Stelle: 4 / 8 =0, Rest 4 3. Stelle: 4 / 4 =1, Rest entspricht

28 Technische Informatik I (SS 2006) Exkurs: Hexadezimalzahlen In Digitaltechnik praktisch: Alle Zahlensysteme mit einer Basis 2 N Kann Bits zusammenfassen Gebräuchlich: Oktalsystem (3 Bits) Hexadezimalsystem (4 Bits) Gute Basis zur Beschreibung von Speicherstellen (da 8/16/32/64 Bit) Digits: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Bsp: 1972= x7 B 4

29 Technische Informatik I (SS 2006) Rechenregeln Im Prinzip wie im Dezimalsystem Übertrag beachten (1+1=10, 1+1+1=11) =10010 Ziel: Rechenregeln durch Gatterlogik aufbauen =00111

30 Technische Informatik I (SS 2006) Teil 1: Logik 1b: Schaltnetze

31 Technische Informatik I (SS 2006) Addition 2-Bit-Addition Summe und Übertrag Ü Funktionstabelle ABÜ A B A B Ü Halbaddierer Keine Verarbeitung des EINGANGSÜbertrages Kann nur für die niedrigste Stelle verwendet werden Schaltsymbol HA ABAB Ü

32 Technische Informatik I (SS 2006) Volladdierer Brauchen dritten Summanden (C = carry) Addition A+B Addition +C Da nie Ü 1 =Ü 2 =1 Verbleibende Überträge verodern HA ABAB Ü 1 HA C Ü 2 Ü VA ACAC Ü B

33 Technische Informatik I (SS 2006) Paralleladdierer Ziel: Addition von Bit-Additionen plus Übertrag (C) Brauchen 4 Volladdierer VA A 1 B 1 Ü1Ü1 C VA A 2 B 2 Ü2Ü2 C VA A 3 B 3 Ü3Ü3 C VA A 4 B 4 5 C

34 Technische Informatik I (SS 2006) Subtraktion 2-Bit-Subtraktion A-B Differenz D und Entlehnung E Funktionstabelle ABED A B D Halbsubtrahierer Keine Verarbeitung der EINGANGSEntlehnung Kann nur für die niedrigste Stelle verwendet werden Schaltsymbol HS ABAB DEDE A B E

35 Technische Informatik I (SS 2006) Vollsubtrahierer Hier: A - (B + C) Addition B+C Subtraktion A - Summe Da nie Ü 1 =E 2 =1 Verbleibende Überträge verodern HA BCBC Ü 1 HS CDE2DE2 E VS ACAC DEDE B

36 Technische Informatik I (SS 2006) Volladdierer / -subtrahierer Volladdierer vs. Subtrahierer Austausch durch HAHS in 2ter Stufe HA vs. HS Nur ein logisches UND Fazit: Brauchen umschaltbaren Inverter uAI u A I

37 Technische Informatik I (SS 2006) Zusammenfassung Halbaddierer / -subtrahierer unterscheiden sich nur durch ein NICHT-Gatter Umschaltbarer HA/HS möglich Brauchen Volladdierer… HA+HA Brauchen Vollsubtrahierer… HA+HS …für parallele Rechenwerke Weitere wichtige Schaltnetze?


Herunterladen ppt "Technische Informatik I (SS 2006) Digitale Information Schalter Lampenzustand ist Tabelle von Schalterzustand Analoge vs. Digitale Informationen Analoge."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen