Bivariate Polynome auf Dreiecken

Präsentation zum Thema: "Bivariate Polynome auf Dreiecken"—  Präsentation transkript:

1 Bivariate Polynome auf Dreiecken
Lehrstuhl für Mathematik IV Approximationstheorie G. Nürnberger, M. Matt, G. Schneider Seminar HWS 2011 Bivariate Polynome auf Dreiecken Janette Schmid

2 Gliederung: 1. Grundlagen: Bivariate Polynome
2. Eigenschaften der Approxiamtion 3. Eigenschaften der Interpolation

3 1. Bivariate Polynome j 1.1 Definition Für heißt
Bivariates Polynom vom Grad d. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

4 1.2 Normen Gegeben sei ein Gebiet Ω in -Norm:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

5 1.2 Normen Gegeben sei ein Gebiet Ω in -Norm:
q-Norm: Für 0<q< gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

6 1.4 Satz Sei T ein Dreieck und der Flächeninhalt des Dreiecks, dann gilt für alle und für alle : K ist eine Konstante die nur von d abhängt. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

7 1.5 Ableitungen Seien die partiellen Ableitungen von p, dann gilt:
mit: für 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

8 1.5 Ableitungen Seien die partiellen Ableitungen von , dann gilt: mit:
für Vergleich univariat: Ableitung: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

9 1.6 Satz: Sei K eine Konstante in Abhängigkeit von d, T ein Dreieck und der Inkreisradius dieses Dreiecks, dann gilt für jedes Polynom : Für alle 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

10 1.7 Richtungsableitung: Sei ein Vektor, dann ist die Richtungsableitung der Funktion f definiert durch: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

11 2. Approximation 2.1 Aproximation in der Maximumnorm Seminorm:
Durchmesser von Ω: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

12 2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in .
Dann gibt für jedes ein , sodass gilt 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

13 2.2 Aussage über die Konvergenzgeschwindigkeit:
2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in Dann gibt für jedes ein , sodass gilt 2.2 Aussage über die Konvergenzgeschwindigkeit: Der Exponent kann nicht erhöht werden. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

14 2.3 Durchschnittstaylorpolynom
Taylorpolynom im univariaten: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

15 2.3 Durchschnittstaylorpolynom
Taylorpolynom im univariaten: Taylorpolynom im bivariaten: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

16 Durchschnittstaylorpolynom:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

17 Sei eine Kreisscheibe in mit dem Radius p und dem Mittelpunkt
Durchschnittstaylorpolynom: Gauss‘sche Glocke: Sei eine Kreisscheibe in mit dem Radius p und dem Mittelpunkt . Es gilt: mit 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

18 Satz 2.2: Für jedes und gilt:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

19 Satz 2.2: Satz 2.3: Für jedes und gilt:
Es existiert eine Konstante K in Abhängigkeit von d, sodass gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

20 2.3 Approximation in der q-Norm
Sobolev-Raum: mit 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

21 Satz 2.4: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . und sei , dann existiert ein K in Abhängigkeit von d, sodass gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

22 3. Interpolation Univariat:
Interpolation immer möglich an m+1 verschiedenen Punkten. Bivariat: Interpolation nicht immer möglich. Hängt ab von der Lage der Interpolationspunkte. Es ergibt sich folgende Matrix: Interpolation nur möglich, wenn gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

23 Sei d=1 und und die 3 Punkte
Beispiel: Sei d=1 und und die 3 Punkte liegen auf einer Geraden: y=ax+b. Dann ergibt sich folgende Matrix:  det(M)=0  Matrix nicht lösbar. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

24 Mögliche Lage der Interpolationspunkte: Satz 3.1: Geradenkriterium
Sei A eine Menge von Punkten und eine Menge von d+1 Geraden. Wenn auf i-ter Geraden genau i Punkte liegen, aber keine der Punkte auf einem der Schnittpunkte, dann heißt A Interpolationslage von 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

25 Satz 3.2: Domainpoints (Spezialfall von Satz 3.1):
Sei T ein Dreieck mit den Ecken und sei Dann ist die Punktmenge eine Interpolationslage von 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

26 Literatur: Lai, M. J.; Schumaker, L.L. (2007): Spline functions on triangulations, Cambridge Univ. Press.

27 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit