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Bivariate Polynome auf Dreiecken 06. 10. 2011 Janette Schmid Lehrstuhl für Mathematik IVApproximationstheorie G. Nürnberger, M. Matt, G. Schneider Seminar.

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Präsentation zum Thema: "Bivariate Polynome auf Dreiecken 06. 10. 2011 Janette Schmid Lehrstuhl für Mathematik IVApproximationstheorie G. Nürnberger, M. Matt, G. Schneider Seminar."—  Präsentation transkript:

1 Bivariate Polynome auf Dreiecken Janette Schmid Lehrstuhl für Mathematik IVApproximationstheorie G. Nürnberger, M. Matt, G. Schneider Seminar HWS 2011

2 Gliederung: 1. Grundlagen: Bivariate Polynome 2. Eigenschaften der Approxiamtion 3. Eigenschaften der Interpolation

3 1. Bivariate Polynome 1.1 Definition Für heißt Bivariates Polynom vom Grad d. 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation j

4 1.2 Normen Gegeben sei ein Gebiet Ω in -Norm: 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

5 1.2 Normen Gegeben sei ein Gebiet Ω in -Norm: q-Norm: Für 0

6 1.4 Satz Sei T ein Dreieck und der Flächeninhalt des Dreiecks, dann gilt für alle und für alle : K ist eine Konstante die nur von d abhängt. 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

7 1.5 Ableitungen Seien die partiellen Ableitungen von p, dann gilt: mit: für 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

8 1.5 Ableitungen Seien die partiellen Ableitungen von, dann gilt: mit: für Vergleich univariat: Ableitung: 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

9 1.6 Satz: Sei K eine Konstante in Abhängigkeit von d, T ein Dreieck und der Inkreisradius dieses Dreiecks, dann gilt für jedes Polynom : Für alle 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

10 1.7 Richtungsableitung: Sei ein Vektor, dann ist die Richtungsableitung der Funktion f definiert durch: 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

11 2. Approximation 2.1 Aproximation in der Maximumnorm Seminorm: Durchmesser von Ω: 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

12 2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in. Dann gibt für jedes ein, sodass gilt 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

13 2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in. Dann gibt für jedes ein, sodass gilt 2.2 Aussage über die Konvergenzgeschwindigkeit: Der Exponent kann nicht erhöht werden. 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

14 2.3 Durchschnittstaylorpolynom Taylorpolynom im univariaten: 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

15 2.3 Durchschnittstaylorpolynom Taylorpolynom im univariaten: Taylorpolynom im bivariaten: 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

16 Durchschnittstaylorpolynom : 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

17 Durchschnittstaylorpolynom : Gausssche Glocke: Sei eine Kreisscheibe in mit dem Radius p und dem Mittelpunkt. Es gilt: mit 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

18 Satz 2.2: Für jedes und gilt: 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

19 Satz 2.2: Für jedes und gilt: Satz 2.3: Es existiert eine Konstante K in Abhängigkeit von d, sodass gilt: 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

20 2.3 Approximation in der q-Norm Sobolev-Raum: mit 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

21 Satz 2.4: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in. und sei, dann existiert ein K in Abhängigkeit von d, sodass gilt: 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

22 3. Interpolation Univariat: Interpolation immer möglich an m+1 verschiedenen Punkten. Bivariat: Interpolation nicht immer möglich. Hängt ab von der Lage der Interpolationspunkte. Es ergibt sich folgende Matrix: Interpolation nur möglich, wenn gilt: 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

23 Beispiel: Sei d=1 und und die 3 Punkte liegen auf einer Geraden: y=ax+b. Dann ergibt sich folgende Matrix: det(M)=0 Matrix nicht lösbar. 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

24 Mögliche Lage der Interpolationspunkte: Satz 3.1: Geradenkriterium SeiA eine Menge von Punkten und eine Menge von d+1 Geraden. Wenn auf i-ter Geraden genau i Punkte liegen, aber keine der Punkte auf einem der Schnittpunkte, dann heißt A Interpolationslage von. 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

25 Satz 3.2: Domainpoints (Spezialfall von Satz 3.1): Sei T ein Dreieck mit den Ecken und sei Dann ist die Punktmenge eine Interpolationslage von. 1. Bivariate Polynome2. Approximation3. Interpolation

26 Literatur: Lai, M. J.; Schumaker, L.L. (2007): Spline functions on triangulations, Cambridge Univ. Press.

27 Vielen Dank f ü r Ihre Aufmerksamkeit


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