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Planares 3 SAT ist NP-vollständig Seminar über Algorithmen SS 07 Jale Hayta.

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Präsentation zum Thema: "Planares 3 SAT ist NP-vollständig Seminar über Algorithmen SS 07 Jale Hayta."—  Präsentation transkript:

1 Planares 3 SAT ist NP-vollständig Seminar über Algorithmen SS 07 Jale Hayta

2 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig2 Gliederung Beweisidee 3SAT Graph von 3SAT 3SAT G(B) G(B) Planares 3SAT Beweis und Beispiel Quellen

3 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig3 Beweisidee 3SAT liegt in NP und ist bekanntermassen NP- vollständig. Hier konkret: 3SAT P P3SAT Das heißt: NP-Schwerheit muss bewiesen werden.

4 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig4 3SAT Gegeben sind m Klauseln mit n Variablen in konjunktiver Normalform und jede Klausel enthält höchstens 3 Literale Gegeben sind Boolesche Variablen x 1,…, x n. Zu jeder Variablen gibt es 2 mögliche Literale x und ¬x Alle Klauseln müssen mind. ein wahres Literal haben, damit die Formel erfüllt ist. 3-SAT ist NP-vollständig.

5 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig5 Graph von 3SAT 1 Definition: Sei B eine 3SAT Formel. Dann gilt G(B) = (N,A) N= c j |1 j m v i |1 i n. A= A 1 A 2, wobei gilt: A 1 = c i,v j |v j c i oder v j c i A 2 = v j,v j+1 |1 j

6 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig6 Graph von 3SAT 2 Gegeben ist eine 3SAT Formel B, zu der es einen Graphen G(B) gibt. Dieser muss nicht unbedingt planar sein (kann aber). abcd Bsp: B=(a+¬b+c)(c+d)

7 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig7 3SAT G(B) G(B) Planares 3SAT Das Ziel ist ein G(B) in polynomieller Zeit umzuwandeln in G(B) planar, sodass B P3SAT * Formel. Es muss gelten: B ist erfüllbar B ist erfüllbar. * P3SAT – Planares 3SAT

8 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig8 Beweis und Beispiel 1

9 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig9 Beweis und Beispiel 2 cicjcicj ab Hier ein kleiner Auszug aus der Grafik zuvor. Das Problem hier ist die Kreuzung der Leitungen.

10 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig10 Beweis und Beispiel 3 Hier Negationen nicht erkennbar,daher ist eine Spezifikation nötig!

11 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig11 Beweis und Beispiel 4 Eine Kreuzung wird durch ein Gadget ersetzt. Hilfsvariablen {,,,, } und { a 1,a 2,b 1,b 2 } werden eingeführt. Annahme laut Graphen: X ist erfüllbar [a a 1 ], [b b 1 ]

12 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig12 Spezifikation zu G(X) Der Graph G(B) wird durch einen Subgraphen G(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist: ( a 2 + b 2 + ) (a 2 + ) (b 2 + ),i.e. a 2 b 2 ; ( a 2 +b 1 + )(a 2 + )( b 1 + ), i.e. a 2 b 1 ; (a 1 +b 1 + )( a 1 + )( b 1 + ), i.e. a 1 b 1 ; ( a 1 + b 2 + )( a 1 + )(b 2 + ), i.e. a 1 b 2 ; ( ); ( + ) ( + ) ( + ) ( + ); (a 2 + a ) (a+ a 2 )(b 2 + b ) (b+ b 2 ), i.e. a a 2, b b 2 ;

13 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig13 Spezifikation zu G(X) Der Graph G(B) wird durch einen Subgraphen G(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist: ( a 2 + b 2 + ) (a 2 + ) (b 2 + ),i.e. a 2 b 2 ; ( a 2 +b 1 + )(a 2 + )( b 1 + ), i.e. a 2 b 1 ; (a 1 +b 1 + )( a 1 + )( b 1 + ), i.e. a 1 b 1 ; ( a 1 + b 2 + )( a 1 + )(b 2 + ), i.e. a 1 b 2 ; ( ); ( + ) ( + ) ( + ) ( + ); (a 2 + a ) (a+ a 2 )(b 2 + b ) (b+ b 2 ), i.e. a a 2, b b 2 ;

14 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig14 Gadget

15 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig15 Gadget 2

16 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig16 Gadget 3

17 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig17 Spezifikation von G(X) 2 Der Graph G(B) wird durch einen Subgraphen G(X) ersetzt, der wie folgt spezifiziert ist: ( a 2 + b 2 + ) (a 2 + ) (b 2 + ),i.e. a 2 b 2 ; ( a 2 +b 1 + )(a 2 + )( b 1 + ), i.e. a 2 b 1 ; (a 1 +b 1 + )( a 1 + )( b 1 + ), i.e. a 1 b 1 ; ( a 1 + b 2 + )( a 1 + )(b 2 + ), i.e. a 1 b 2 ; ( ); ( + + )( + + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ); (a 2 + a ) (a+ a 2 )(b 2 + b ) (b+ b 2 ), i.e. a a 2, b b 2 ;

18 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig18 Gadget 4

19 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig19 : Gesucht: Wie sind (,,, ) in X belegbar? X ist erfüllbar X eine der erfüllbaren Belegungen annimmt. : Gesucht: Belegungen für a und b. a und b müssen Belegungen haben, sodass X erfüllbar wird. Beweis

20 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig20 Kreuzungsproblem gelöst C i Beides richtig da offensichtlich gelten muss: a 1 a aa 1

21 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig21 A= A 1 A 2

22 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig22 Beispiel 3 Jede Kreuzung wird durch ein Gadget ersetzt. Die Formel ändert sich, aber durch die Modifikation ändert sich nicht die Erfüllbarkeit.

23 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig23 Bibliographie D. Lichtenstein; Planar formulae and their uses. SIAM Journal on Computing 11 (1982), ; D. E. Knuth and A. Raghunathan: The problem of compatible representatives. SIAM Journal on Discrete Mathematics 5 (1992),

24 Hayta - Planares 3SAT NP-vollständig24 Danke!


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