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Problemlösen im Mathematikunterricht (Klassen 5/6) Veranstaltung zu Sinus-Transfer am 10.05.2005 in der Humboldt- Universität zu Berlin Wolfgang Schulz.

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1 Problemlösen im Mathematikunterricht (Klassen 5/6) Veranstaltung zu Sinus-Transfer am in der Humboldt- Universität zu Berlin Wolfgang Schulz

2 Struktur eines Problems Anfangszustand (A) A Zielzustand (Z) Z Transformation (T) T Gelingt T nicht unmittelbar, liegt ein Problem vor. Gelingt T unmittelbar, liegt eine Aufgabe vor.

3 Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik der Länder Brandenburg, Berlin, Bremen und Mecklenburg-Vorpommern, 2004 Problemlösen und

4 Die Lehrerinnen und Lehrer werfen Probleme auf, zu deren Lösung ein Weg aus dem Unterricht nicht unmittelbar bekannt ist. Innermathematische Probleme ermöglichen den Schülerinnen und Schülern das Entdecken von mathematischen Regelmäßigkeiten und Mustern. Außermathematische Probleme fordern und fördern die Fähigkeit zur mathematischen Modellbildung. 4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische Ansprüche Mathematik lernen durch Arbeiten an Problemen Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 23

5 Kann man Lösungsvorschläge ausschließen ?

6 Hundertertafel als Einer 9 als Zehner

7 Struktur finden Entscheidend war es, eine Hilfe für systematisches Suchen zu finden. Es soll ja keine Möglichkeit vergessen werden. Hier war es mit der Hundertertafel eine vertraute Form. Die Schüler sollten aber möglichst selbst herausfinden, dass die Hundertertafel helfen kann.

8 Die Lehrerinnen und Lehrer werfen Probleme auf, zu deren Lösung ein Weg aus dem Unterricht nicht unmittelbar bekannt ist. Innermathematische Probleme ermöglichen den Schülerinnen und Schülern das Entdecken von mathematischen Regelmäßigkeiten und Mustern. Außermathematische Probleme fordern und fördern die Fähigkeit zur mathematischen Modellbildung. 4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische Ansprüche Mathematik lernen durch Arbeiten an Problemen Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 23

9 Modellierungsprozess bei mathematischen Aufgaben Klieme, E.; Neubrand, M; Lüdtke, O.: Mathematische Grundbildung: Test- konzeption und Ergebnisse, in: PISA Basiskompetenzen von Schü- lerinnen und Schülern im internationalen Vergleich, Opladen 2001, S. 144

10 Situation Modell Konsequenzen Information Streckenzüge Längen betrachten Längen vergleichen Kann das sein ?

11 Problemorientierte Aufgaben sind so angelegt, dass Schülerinnen und Schüler zur kreativen Bearbeitung angeregt und verschiedene Kompetenzen gefördert werden. Sie zielen sowohl auf das Verständnis von Zusammenhängen als auch auf sachbezogenes, logisches, zielorientiertes Arbeiten. Sie unterstützen die Entwicklung von unterschiedlichen Lösungsstrategien und schließen das Nachdenken über das Lernen ein. Problemorientierte Aufgaben entwickeln 1.4 Gestaltung von Unterricht Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 12

12 Schülerinnen und Schüler erwerben Sachkompetenz und weisen diese nach, indem sie im Umgang mit einem Problem ihre mathematischen Kenntnisse sowie ihre Fähigkeiten und Fertigkeiten zielgerichtet einsetzen und erweitern. Zu diesen Kenntnissen zählen im Verlauf des Unterrichts erworbene Begriffe, Zusammenhänge (Sätze) und Verfahren aus verschiedenen Inhaltsbereichen. Sie gilt es in verschiedenen Kontexten reflektiert einzusetzen. Sachkompetenz 2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und Erziehung in der Grundschule Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 18

13 Für das Lösen inner- und außermathematischer Probleme ist es notwendig, Informationen zu beschaffen, auszuwerten und die eigenen Ergebnisse darzustellen. Dazu sind Fähigkeiten der Informationsentnahme aus Texten sowie fachspezifische und heuristische Methoden erforderlich. Die Schülerinnen und Schüler können diese Methoden reflektiert und bewusst anwenden. Methodenkompetenz 2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und Erziehung in der Grundschule Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 18 Methodenkompetenz verlangt neben der Beherrschung eines Verfahrens auch dessen begründete Auswahl. Mathematische Methoden beherrschen

14 Außer- und innermathematische Probleme zu lösen bedeutet auch, dass die Schülerinnen und Schüler mathematische Modelle entwickeln. Fragen wie: Wie lässt sich der Sachverhalt mathematisch ausdrücken? und: Ist das Modell der Situation angemessen? und: Kann das Ergebnis überhaupt zutreffen? können von Schülerinnen und Schülern beantwortet werden. Methodenkompetenz 2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und Erziehung in der Grundschule Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 18 mathematisiereninterpretierenvalidieren

15 Die Schülerinnen und Schüler erwerben im Rahmen ihrer mathematischen Aktivitäten... Fähigkeiten zum Kommunizieren. Soziale Kompetenz 2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und Erziehung in der Grundschule Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 19 Personale Kompetenz Ziel des Mathematikunterrichts ist es, das Zutrauen in die eigene Leistungsfähigkeit bei den Schülerinnen und Schülern zu entwickeln bzw. zu erhalten.

16 Die Schülerinnen und Schüler – beschreiben Sachverhalte unter Verwendung mathematischer Fachbegriffe und Symbole, Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 3. Standards Allgemeine mathematische Fähigkeiten Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21 mathematisieren

17 Die Schülerinnen und Schüler – beschreiben Sachverhalte unter Verwendung mathematischer Fachbegriffe und Symbole, – erkennen mathematische Zusammenhänge, beschreiben und begründen diese, Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 3. Standards Allgemeine mathematische Fähigkeiten Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21 Sachkompetenz

18 Die Schülerinnen und Schüler – beschreiben Sachverhalte unter Verwendung mathematischer Fachbegriffe und Symbole, – erkennen mathematische Zusammenhänge, beschreiben und begründen diese, – entnehmen aus Sachtexten und anderen Darstellungen die relevanten Informationen und kommunizieren mit anderen darüber, Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 3. Standards Allgemeine mathematische Fähigkeiten Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21 MethodenkompetenzSoziale Kompetenz

19 Die Schülerinnen und Schüler – stellen Lösungsprozesse dar, kommentieren und reflektieren diese und überprüfen Lösungen, Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 3. Standards Allgemeine mathematische Fähigkeiten Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21 Kommunizieren

20 Die Schülerinnen und Schüler – stellen Lösungsprozesse dar, kommentieren und reflektieren diese und überprüfen Lösungen, – übersetzen Sachprobleme in die Sprache der Mathematik, lösen sie innermathematisch und prüfen diese Lösungen an der Realität, Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 3. Standards Allgemeine mathematische Fähigkeiten Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21 Modellbildung

21 Die Schülerinnen und Schüler – stellen Lösungsprozesse dar, kommentieren und reflektieren diese und überprüfen Lösungen, – übersetzen Sachprobleme in die Sprache der Mathematik, lösen sie innermathematisch und prüfen diese Lösungen an der Realität, – nutzen geeignete heuristische Methoden zum Lösen von Problemen, Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 3. Standards Allgemeine mathematische Fähigkeiten Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21

22 Die Schülerinnen und Schüler – vollziehen Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und Mitschülern beim Lösen von Aufgaben nach und schätzen diese ein, Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 3. Standards Allgemeine mathematische Fähigkeiten Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21 kommunizieren

23 Die Schülerinnen und Schüler – vollziehen Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und Mitschülern beim Lösen von Aufgaben nach und schätzen diese ein, – beschaffen sich zielgerichtet Informationen mithilfe von verschiedensten Medien und bereiten diese auf. Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 3. Standards Allgemeine mathematische Fähigkeiten Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21 Methodenkompetenz

24 Die Lehrerinnen und Lehrer realisieren eine veränderte Aufgabenkultur, indem sie – Aufgaben anbieten, anhand derer Mathematiklernen als Problemlösen bzw. als entdeckendes Lernen differenziert erfolgen kann, 4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische Ansprüche Aufgabenkultur Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 25

25 Die Lehrerinnen und Lehrer realisieren eine veränderte Aufgabenkultur, indem sie – Aufgaben anbieten, anhand derer Mathematiklernen als Problemlösen bzw. als entdeckendes Lernen differenziert erfolgen kann, – authentische Problemstellungen bereitstellen, die das Lernen anwendungs- und strukturorientiert, ganzheitlich und in Sinnzusammenhängen ermöglichen, 4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische Ansprüche Aufgabenkultur Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 25

26 Die Lehrerinnen und Lehrer realisieren eine veränderte Aufgabenkultur, indem sie – komplexe Aufgaben einbeziehen, anhand derer die Schülerinnen und Schüler zum Verknüpfen einzelner mathematischer Inhaltsbereiche miteinander sowie mit fachübergreifenden Themen angeregt werden. 4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische Ansprüche Aufgabenkultur Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 26

27 Als wesentliche Voraussetzung für das Lösen von Prob- lemen und für die Gewinnung der Einsicht in die Schönheit und Ästhetik von Mustern müssen die Schülerinnen und Schüler Fertigkeiten zur zeichnerischen Darstellung von ebenen Figuren und Körpern erwerben. Damit stehen ihnen neben dem Hantieren mit geometrischen Objekten die zeichnerische Darstellung derselben als Stütze für das Er- fassen von Zuordnungen und Strukturen sowohl im geome- trischen als auch im arithmetischen Bereich zur Verfügung. 5. Inhalte 5. 1 Übersicht über die Themenfelder Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 28 Form und Veränderung

28 Ein geometrisches Problem Aus einem quadratischen Blatt Papier soll durch Falten ein Viereck entstehen, dessen Eckpunkte die Seitenmitten des Quadrates sind. Was kann über die entstehenden Figuren gesagt werden? AZT

29 Bezug zum Rahmenlehrplan Jahrgangsstufen 5/6 Form und Veränderung - Symmetrien in ebenen Figuren und Körpern identifizieren - Figuren auf Kongruenz untersuchen und vergleichen Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 39

30 Gegeben ist ein Quadrat, in dem die Seitenmitten Eckpunkte eines Vierecks sind. Welche Eigenschaften hat die Figur ? Ein geometrisches Problem

31 Falten und Symmetrie C auf D legen und falten, liefert eine Symmetrieachse. Ein geometrisches Problem C auf A legen und falten, liefert eine Symmetrieachse. B auf D legen und falten, liefert eine Symmetrieachse. B auf C legen und falten, liefert eine Symmetrieachse. Sind das alle ?

32 Kongruente Figuren ? Alle Dreiecke sind kongruent zueinander. Ein geometrisches Problem Das neue Viereck ist auch ein Quadrat. Sein Flächeninhalt ist halb so groß. Falten entlang der Seiten des neuen Vierecks. sws Es entstehen vier Dreiecke, die auch kongruent sind.

33 Herget, W.; Jahnke, T.; Kroll, W.:Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht, Cornelsen 2001, S.12 A Z T

34 Riesenschuh Keine Frage gestellt Welche Schuhgröße hat dieser Schuh ? Modellierung ? 1. Schritt: Schuhlänge Mehrere Wege Verschiedene Ergebnisse

35 Riesenschuh Deutsche Schuhgrößen Proportionalität ? Größe cm ,723,324,024,725,326,026,7 Unterbestimmte Aufgabe Modellierung mit mehreren Schritten Ja, Prop.faktor 1,5

36 Die Schülerinnen und Schüler – vollziehen Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und Mitschülern beim Lösen von Aufgaben nach und schätzen diese ein, – beschaffen sich zielgerichtet Informationen mithilfe von verschiedensten Medien und bereiten diese auf. Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 3. Standards Allgemeine mathematische Fähigkeiten Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21

37 Riesenschuh ·8 ·1,5 Das ist Schuhgröße 168. Schuhlänge auf dem Bild 14 cm Brillenbreite auf dem Bild 1,6 cm Meine Brille ist 13 cm breit. Dann ist der Schuh 112 cm lang.

38 Riesenschuh ·8 ·1,5 Das ist Schuhgröße 168. Keinem passt so ein Schuh. Schuhlänge auf dem Bild 14 cm Brillenbreite auf dem Bild 1,6 cm Meine Brille ist 13 cm breit. Dann ist der Schuh 112 cm lang.

39 Bezug zum Rahmenlehrplan Jahrgangsstufen 5/6 Zahlen und Operationen - Sachaufgaben zur Proportionalität inhaltlich lösen Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 39

40 In allen Jahrgangsstufen erhalten die Schülerinnen und Schüler beim Arbeiten mit Zahlen und beim Rechnen ausreichend Gelegenheit, Muster, Strukturen und Zuordnungen zu entdecken und diese in unterschiedlicher Weise darzustellen. Hierauf wird bei der Behandlung der Proportionalität aufgebaut. 5. Inhalte 5. 1 Übersicht über die Themenfelder Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 29 Zahlen und Operationen

41 Zahlenmauern Was fällt auf ?

42 Zahlenmauern Zahlensteine vertauschen Wann größtes Ergebnis ? Lücken füllen

43 Zahlenmauern 1000 Lücken füllenMehrere Möglichkeiten Baue eine Mauer aus den Steinen 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 33, 35,

44 Zahlenmauern Lücken füllenMehrere Möglichkeiten Baue eine Mauer aus den Steinen 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 33, 35, Nicht möglich

45 Zahlenmauern Baue Zahlenmauern mit vier aufeinander- folgenden Zahlen auf den Grundsteinen. Baue eine Zahlenmauer mit vier Grundsteinen und einigen Lücken. Hier sind die Steine einer Zahlenmauer. Ein Stein ist zu viel. 5, 15, 17, 20, 35, 37, 72 Lege eine Zahlenmauer aus den Zahlen 1, 7, 10, 3, 2, 5. Ist es die einzige Möglichkeit.

46 Zahlenmauern Baue eine Zahlenmauern mit dem Zielstein 100. In den Grundsteinen sollen vier aufeinanderfolgende Zahlen stehen. Baue eine Zahlenmauer, in der die Zahlen ½, ¼ und ¾ vorkommen. Lege eine Zahlenmauer mit drei Grund- steinen. Wie musst du die Steine legen, da- mit der Zielstein besonders groß (klein) wird.

47 Känguru 2005 Klassenstufen 5 und 6

48 Känguru 2005 Klassenstufen 5 und 6

49 Känguru 2005 Klassenstufen 5 und 6

50 PISA 2003, Internationaler Test Rockkonzert Bei einem Rockkonzert wurde ein recht- eckiges Feld der Größe 100 m mal 50 m für die Zuschauer reserviert. Das Konzert war komplett ausverkauft und das Feld war voll mit stehenden Fans. Welche der folgenden Schätzungen über die gesamte Besucher- zahl ist wahrscheinlich die beste ? A B C D E

51 PISA 2000, nationaler Ergänzungstest, Lösungshäufigkeit alle 6 Möglichkeiten 2,9 %; 4 oder 5 Möglichkeiten 17,9 % 31 Pfennig


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