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Technische Universität Wien Institut für Mechanik und Mechatronik, E 325 Abteilung für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Wiedner Hauptstr. 8.

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Präsentation zum Thema: "Technische Universität Wien Institut für Mechanik und Mechatronik, E 325 Abteilung für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Wiedner Hauptstr. 8."—  Präsentation transkript:

1 Technische Universität Wien Institut für Mechanik und Mechatronik, E 325 Abteilung für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Wiedner Hauptstr Wien VU , SS 2009 Grundlagen der Regelungstechnik 6. Übungseinheit: Stabilität – Hurwitz- & Nyquist-Kriterium

2 2 Überblick Organisatorisches Zusammenfassung der relevanten Inhalte –Definition Stabilität –Hurwitz-Kriterium –Allgemeines Nyquist-Kriterium –Vereinfachtes Nyquist-Kriterium Rechenaufgaben aus UE 6 –A1: Hurwitz-Kriterium –A2: Allgemeines Nyquist-Kriterium –A3: Vereinfachtes Nyquist-Kriterium

3 3 Organisatorisches Nächste Woche 7. Übung 4.Hausübung –Ab heute online –Abgabe bis spätestens DI, , 23:55 Ersatztest –Nachholen eines versäumten Tests –Wiederholung eines negativen Tests –Termin 3 Vorschläge (Do 9.7., Mo 13.7., Mi 15.7.) Abstimmung im TUWEL bis möglich

4 Stabilität Eine Übertragungsfunktion G(s) ist.. Asymptotisch stabil, wenn – –Alle Pole in der linken s-Halbebene sind Re(p i ) < 0 Grenzstabil, wenn – –Alle Pole in linker s-Halbebene + max. 1einfacher reeller Pol oder 1 konjugiert komplexes Polpaar auf Imaginärachse Instabil, wenn – –Mind. 1 Pol in rechter s-Halbebene oder mehrere reelle Pole bzw. konjugiert komplexe Polpaare auf Imaginärachse

5 Geschlossener Regelkreis Allgemeiner Eingrößenregelkreis: Führungsverhalten (Z=0): Störverhalten (W=0):

6 Geschlossener Regelkreis Standardform mit Einheitsrückführung: Führungsverhalten (Z=0): Störverhalten (W=0): Charakteristisches Polynom:

7 Stabilitäts-Kriterien Stabilitätsnachweis für geschlossenen Regelkreis (RK) Betrachtung des offenen RK Charakteristisches Polynom: Charakteristische Gleichung: Nullstellen von P(s) Pole des geschlossenen RK!

8 Hurwitz-Kriterium Basiert auf charakteristischer Gleichung: Notwendige Bedingung für asymptotische Stabilität: Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität: –Mit der Hurwitz-Matrix: H1H1 H2H2 H3H3

9 9 Aufgabe 1: Hurwitz-Kriterium Geg: Aufgabe: Ermittlung des stabilen Bereichs für K mithilfe des Hurwitz-Kriteriums

10 10 Aufgabe 1 - Zusammenfassung Stabilitätsnachweis mithilfe des Hurwitz-Kriteriums –Berechnung des charakteristischen Polynoms P(s) –Ordnen nach Potenzen von s –Überprüfen der Notwendigen Bedingung –Aufstellen der Hurwitz-Matrix –Berechnen der Hurwitz-Determinanten H 2 -H n-1 –Angabe des stabilen Bereichs

11 Allgemeines Nyquist-Kriterium Satz von Cauchy Abbildung einer Kontur in s-Ebene in die F(s)-Ebene Kontur in s-Ebene –Umschließt P Pole & N Nullstellen von F(s), im Uhrzeigersinn durchlaufen Kontur in F(s)-Ebene –Umkreisung des Ursprungs U=N-P mal im Uhrzeigersinn Nyquist Kontur: positive s-Halbebene Abbildungsfunktion: –Pole von F(s): Pole von Go (bekannt) –Nullstellen von F(s): Pole des geschlossenen RK! Für Stabilität: N=U+P=0

12 Allgemeines Nyquist-Kriterium Wahl einer geeigneten Kontur in s-Ebene –Abbildung der positiven Halbebene –Keine Pole oder Nullstellen dürfen durchlaufen werden

13 Allgemeines Nyquist-Kriterium Abbilden der Kontur in die Nyquist-Ebene –Alternative Abbildungsfunktion –Positive Imaginärachse: G(s = j ) Ortskurve –Negative Imaginärachse: G(s = -j ) Ortskurve um reelle Achse gespiegelt –Kreis mit r bei n>m –Kreis im Ursprung mit 0 weil nur bei Integrator nötig! –Betrachtung der Umkreisungen von -1+0j !!

14 14 Aufgabe 2: Allgemeines Nyquist-Kriterium Geg: Aufgabe: Geeignete Kontur in s-Ebene wählen Ortskurve zeichnen, (Endwerte & Schnittpunkte) Nyquist-Kontur zeichnen, K krit bestimmen

15 15 Aufgabe 2 - Zusammenfassung Anwendung des allgemeinen Nyquist-Kriteriums –Pole & Nullstellen von G o berechnen –Geeignete Kontur in s-Ebene wählen –Berechnen von Re & Im von G o –Berechnen der Anfangs- & Endwerte von Re & Im –Berechnen der Schnittpunkte der OK mit Re-Achse Im = 0 w krit Re(w krit ) –Zeichnen der OK –Vervollständigen der Nyquist-Kontur –Bestimmen des stabilen Bereichs Fallunterscheidung für K krit Zählen der Umrundungen für jeden Abschnitt

16 16 Vereinfachtes Nyquist-Kriterium Vorraussetzungen für die Anwendbarkeit –Go hat nur Pole in der linken Halbebene + max. 1 Pol im Ursprung –Nennergrad n > Zählergrad m (von Go) Ortskurve endet im Ursprung! Wenn diese Bedingungen erfüllt P = 0 Stabilität durch zeichnen der OK überprüfbar!

17 17 Aufgabe 3: Vereinfachtes Nyquist-Kriterium Geg: Aufgaben: Bedingungen für vereinfachten Nyquist Stabilen Bereich für K mit vereinfachtem Nyquist Amplituden & Phasenreserve für K=1 & K=K krit

18 18 Aufgabe 3 - Zusammenfassung Anwendung des vereinfachten Nyquist-Kriteriums –Überprüfung der Voraussetzungen –Berechnen von Re & Im von G o –Berechnen der Schnittpunkte der OK mit Re-Achse Im = 0 w krit –Auswerten des Stabilitätskriteriums Re(w krit ) > -1 K krit –Bestimmen des stabilen Bereichs

19 19 Amplituden- & Phasenreserve Amplitudenreserve Phasenreserve

20 Nächste Übung: Mi,


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