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Approximation von Nullstellen: Newtonverfahren. Inhalt: Das Problem Allgemeine Iterationsverfahren Anschauliche Deutung Konvergenz Kontraktionssatz Konvergenzgüte.

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Präsentation zum Thema: "Approximation von Nullstellen: Newtonverfahren. Inhalt: Das Problem Allgemeine Iterationsverfahren Anschauliche Deutung Konvergenz Kontraktionssatz Konvergenzgüte."—  Präsentation transkript:

1 Approximation von Nullstellen: Newtonverfahren

2 Inhalt: Das Problem Allgemeine Iterationsverfahren Anschauliche Deutung Konvergenz Kontraktionssatz Konvergenzgüte Quadratische Konvergenz Startwert x (0) Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren Geometrische Deutung Mehrfache Nullstellen

3 Das Problem in einem normiertem Vektorraum (X,) eine Lösung der Operatorgleichung F(x)=0 zu finden. F Abbildung F: D X, D X; Nullstelle ξ von F Nur in seltensten Fällen lässt sich Lösung in endlich vielen Schritten bestimmen.

4 Allgemeine Iterationsverfahren Sei x R. Für die Abbildung F: DR betrachten wir x = F(x) zu deren Lösung der Iterationssatz x (k+1) = F(x (k) ), k N, mit vorgegebenem Anfangselement x (0) gebildet wird.

5 Allgemeine Iterationsverfahren Zur Betrachtung des Iterationssatzes nehmen wir die Existenz einer Lösung ξ der Gleichung x = F(x) an. Später: Frage der Existenz wird gleichzeitig mit der Frage der Konvergenz des Iterationsverfahrens beantwortet.

6 Allgemeine Iterationsverfahren Anschauliche Deutung F C[a,b] aξb Beispiel1: Alternierend konvergent x (0) x (2) x (3) x (1)

7 Allgemeine Iterationsverfahren Anschauliche Deutung F C[a,b] aξb Beispiel2: Divergent x (0) x (2) x (1)

8 Allgemeine Iterationsverfahren Konvergenz Iteration konvergiert gegen Lösung ξ, falls lim k x (k) = ξ gilt.

9 Allgemeine Iterationsverfahren Hinreichende Konvergenzaussage nehmen an, dass (X,) ein Banachraum und F: XX, und Operator F ist kontrahierend d.h. F(x) – F(z)αx - z mit α<1 für alle Elemente x,z X.

10 Allgemeine Iterationsverfahren Kontraktionssatz Ist F: XX eine kontrahierende Abbildung, so besitzt sie genau einen Fixpunkt ξ = F ξ. Die Iteration konvergiert bei beliebigem x (0) gegen diesen Fixpunkt.

11 Allgemeine Iterationsverfahren Lokale und globale Konvergenz Konvergiert Folge für Anfangselemente x (0) aus Umgebung U D des Fixpunktes ξ, nennen wir die Iteration lokal konvergent. (Abbildung F nur auf U kontrahierend) Kann x (0) in gesamt D beliebig gewählt werden, heißt sie global konvergent.

12 Allgemeine Iterationsverfahren Konvergenzgüte Betrachten Folge (δ (k) ) k N der Abweichung δ (k) := x (k) – ξ Mittelwertsatz liefert δ (k+1) = F(x (k) ) – ξ = F(ξ + θδ (k) ) δ (k) : 0 < θ < 1 Wenn δ (k) 0, dann lim k δ (k+1) /δ (k) = F(ξ) Wenn F(x) 0, dann lineare Konvergenz

13 Allgemeine Iterationsverfahren Quadratische Konvergenz jedoch wenn F(x) = 0, dann Konvergenz superlinear mindestens quadratische Konvergenz δ (k+1) = F(x (k) ) – ξ = F(ξ + θδ (k) )/2 * (δ (k) ) 2 mit 0 < θ < 1 lim k δ (k+1) /(δ (k) ) 2 = F(ξ)/2

14 Allgemeine Iterationsverfahren Startwert x (0) F muss kontrahierend sein, um gegen Fixpunkt zu konvergieren. Also muss ||F(ξ)/2|| < 1 sein. Intervall [a,b] wird so lange verkleinert bis max x [a,b] {||F(x)/2||} < 1 Dann kann x (0) beliebig in Intervall gewählt werden.

15 Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren Aufgabe: Lösung der Gleichung f(x) = 0 für f C 1 [a,b] berechnen.

16 Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren Betrachten g(x)f(x) = 0 mit g C 1 [a,b] Annahme g(x) 0 für x [a,b], dann gilt, dass g(x)f(x) gleiche Nullstelle hat wie f(x) Entsprechende Fixpunktgleichung x = x + g(x)f(x) =: F(x) müssen g so bestimmen, dass F(ξ)=0

17 Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren F(x) = 1 + g(x)f(x) + g(x)f(x) Da f(ξ) 0 und f(ξ) = 0 muss g(ξ) = -(f(ξ)) -1, also wählen wir g(x) = -(f(x)) -1.

18 Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren x (k+1) = x (k) – (f(x (k) )) -1 f(x (k) ) für f C 1 [a,b] superlinear konvergent in Umgebung von ξ

19 Newton-Verfahren Geometrische Deutung f C 1 [a,b], x (k) Nährungswert für Lösung ξ der Gleichung f(x) = 0 ξ X (k) X (k+1) X (k+2)

20 Newton-Verfahren Geometrische Deutung Tangente an f im Punkt (x (k),f(x (k) )) y = f(x (k) )+f(x (k) )(x-x (k) ) Schnittstelle x (k+1) der Tangente mit Y-Achse x (k+1) := x (k) – f(x (k) )/ f(x (k) )

21 Newton-Verfahren Startwert x (0) ξ X (0) X (2) X (1)

22 Newton-Verfahren Mehrfache Nullstellen f C i [a,b], i>1, ξ [a,b] ist i-fache Nullstelle f(ξ)=f(ξ)=f(ξ)=…=f (i-1) (ξ)=0 und f (i) (ξ)0 F ist in Umgebung um ξ stetig und diffbar mit F(ξ) = 1-1/i Da i>1 gilt 0


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