Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 9. Vorlesung Evolutionsstrategie I Fortschrittstheorie der (1, ) – Evolutionsstrategie am Kugelmodell.

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1 Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 9. Vorlesung Evolutionsstrategie I Fortschrittstheorie der (1, ) – Evolutionsstrategie am Kugelmodell

2 D ARWIN s Denkschema in maximaler Abstraktion Genauere Nachahmung der biologischen Evolution

3 Basis-Algorithmus der (1, ) - Evolutionsstrategie

4 mit Ergebnis der linearen Theorie Tabelle der Fortschrittsbeiwerte 10 20,5642 30,8463 41,0294 51,1630 61,2672 71,3522 81,4236 91,4850 101,5388 111,5864 121,6292 131,6680 141,7034 151,7359 161,7660 171,7939 181,8200 191,8445 201,8675 211,8892 221,9097 231,9292 241,9477 251,9653 261.9822 271,9983 282,0137 292,0285 302,0428 352,1066 402,1608 452,2077 502,2491 552,2860 602,3193 652,3496 702,3774 802,4268 902,4697 1002,5076 2002,7460 3002,8778 4002,9682 5003,0367 6003,0917 7003,1375 8003,1768 9003,2111 10003,2414 Fortschrittsbeiwert

5 Von der linearen Theorie zur nichtlinearen Theorie lin kug

6 a Für q << r darf a auf x 1 projiziert werden Mutation der Variablen x 2 bis x n Der bis auf x 1 mutierte Nachkomme N erleidet den Rückschritt a Eine geometrische Betrachtung für n >> 1

7 Bestimmung von Dimensionsloser Fortschritt

8 Tabelle des maximalen Fortschritts 20,1592 30,3581 40,5298 50,6762 60,8029 101,1839 201,7437 502,5292 1003,1440 10005,2535 parallel

9 Tabelle des maximalen Fortschritts 20,15920,0796 30,35810,1194 40,52980,1325 50,67620,1352 60,80290,1338 101,18390,1184 201,74370,0872 502,52920,0506 1003,14400,0314 10005,25350,0053 parallel seriell 0,1352 Maximum

10 Optimale Erfolgswahrscheinlichkeit 20,15920,07960,393 30,35810,11940,341 40,52980,13250,309 50,67620,13520,286 60,80290,13380,269 101,18390,11840,227 201,74370,08720,181 502,52920,05060,135 1003,14400,03140,109 10005,25350,00530,053 parallel seriell 0,1352

11 Das dimensionslose Fortschrittsgesetz mitund folgt das zentrale Fortschrittsgesetz Dimensionslose Fortschrittsgeschwindigkeit Dimensionslose Schrittweite

12

13 Algorithmus der (1, ) – Evolutionsstrategie mit MSR !

14 Methoden zur Erzeugung der Zufallszahlen Für gerade (z. B. = 10) Für durch 3 teilbar (z. B. = 9) Für beliebig (im Programmiermodus) IF RND <.5 THEN i = ELSE i = 1/

15 M ATLAB -Programm der (1 + 1) ES v=100; d=1; xe=ones(v,1); qe=sum(xe.^2); for g=1:1000 xn=xe+d*randn(v,1)/sqrt(v); qn=sum(xn.^2); if qn < qe qe=qn; xe=xn; d=d*1.3; else d=d/(1.3^0.25); end semilogy(g,qe,'b.') hold on; drawnow; end Zur Erinnerung

16 M ATLAB -Programm der (1, ) ES

17 v=100; de=1; xe=ones(v,1); Variablenzahl und Startwerte für Schrittweite und Variablen- werte des Start-Elters

18 M ATLAB -Programm der (1, ) ES v=100; de=1; xe=ones(v,1); for g=1:1000 end Erzeugen der Generationenschleife

19 M ATLAB -Programm der (1, ) ES v=100; de=1; xe=ones(v,1); for g=1:1000 qb=1e+20; end Initialisierung der Qualität im Bestwert-Zwischenspeicher auf nicht verschlechterbaren Wert

20 M ATLAB -Programm der (1, ) ES v=100; de=1; xe=ones(v,1); for g=1:1000 qb=1e+20; for k=1:10 end Generierung der Nachkommenschleife

21 M ATLAB -Programm der (1, ) ES v=100; de=1; xe=ones(v,1); for g=1:1000 qb=1e+20; for k=1:10 if rand < 0.5 dn=de*1.3; else dn=de/1.3; end end end Deterministische Variation der Mutationsschrittweite

22 M ATLAB -Programm der (1, ) ES v=100; de=1; xe=ones(v,1); for g=1:1000 qb=1e+20; for k=1:10 if rand < 0.5 dn=de*1.3; else dn=de/1.3; end xn=xe+dn*randn(v,1)/sqrt(v); end end Erzeugung eines mutierten Nachkommen

23 M ATLAB -Programm der (1, ) ES v=100; de=1; xe=ones(v,1); for g=1:1000 qb=1e+20; for k=1:10 if rand < 0.5 dn=de*1.3; else dn=de/1.3; end xn=xe+dn*randn(v,1)/sqrt(v); qn=sum(xn.^2); end end Bestimmung der Qualität des mutierten Nachkommen

24 M ATLAB -Programm der (1, ) ES v=100; de=1; xe=ones(v,1); for g=1:1000 qb=1e+20; for k=1:10 if rand < 0.5 dn=de*1.3; else dn=de/1.3; end xn=xe+dn*randn(v,1)/sqrt(v); qn=sum(xn.^2); if qn < qb qb=qn; db=dn; xb=xn; end end Bei Q-Verbesserung Zwischen- speicherung der Qualität, Schritt- weite und Variablenwerte

25 M ATLAB -Programm der (1, ) ES v=100; de=1; xe=ones(v,1); for g=1:1000 qb=1e+20; for k=1:10 if rand < 0.5 dn=de*1.3; else dn=de/1.3; end xn=xe+dn*randn(v,1)/sqrt(v); qn=sum(xn.^2); if qn < qb qb=qn; db=dn; xb=xn; end qe=qb; de=db; xe=xb; end Nachkomme aus dem Bestwert- Zwischenspeicher wird zum Elter der nächsten Generation

26 M ATLAB -Programm der (1, ) ES v=100; de=1; xe=ones(v,1); for g=1:1000 qb=1e+20; for k=1:10 if rand < 0.5 dn=de*1.3; else dn=de/1.3; end xn=xe+dn*randn(v,1)/sqrt(v); qn=sum(xn.^2); if qn < qb qb=qn; db=dn; xb=xn; end qe=qb; de=db; xe=xb; semilogy(g,qe,'b.') hold on; drawnow; end Darstellung der Qualität als Funktion der Generationszahl

27 Drei Fragen zu Beginn eines ES-Experiments 1. Frage nach dem Startpunkt ? 2. Frage nach der Startschrittweite ? 3. Frage nach der Versuchsdauer ?

28 Abstand D zweier Zufallspunkte im Quadrat im Hyperkubus D sehr verschieden D nahezu konstant Eine Zwischenbetrachtung

29 Theorie: Abstand zweier Zufallspunkte X und Y im Hyperkubus l l l D

30 Simulation im 600-dimensionalen Hyperwürfel der Kantenlänge l = 20 D 1 =198,23 D 2 =201,25 D 3 =199,61 D 4 =209,62 D 5 =205,05

31 Theorie: Abstand zweier Zufallspunkte X und Y im Hyperkubus l l l D Wir deuten einen Zufallspunkt als Start und den anderen Zufallspunkt als Ziel der Optimierung Start Ziel

32 Kantenlänge des Hyperwürfels = l Zufallsstart

33 Zur Ableitung der Generationsformel Es möge immer im Maximum laufen folgt Aus Erlaubter relativer Fehler

34 Ende