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Mit Zahlen spielen Fachwissenschaftliches Seminar Prof. Dr. R. Hochmuth Referentinnen: Nina Fiethen, Christiane Grundkötter und Tanja Przyklenk Christiane.

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Präsentation zum Thema: "Mit Zahlen spielen Fachwissenschaftliches Seminar Prof. Dr. R. Hochmuth Referentinnen: Nina Fiethen, Christiane Grundkötter und Tanja Przyklenk Christiane."—  Präsentation transkript:

1 Mit Zahlen spielen Fachwissenschaftliches Seminar Prof. Dr. R. Hochmuth Referentinnen: Nina Fiethen, Christiane Grundkötter und Tanja Przyklenk Christiane Grundkötter und Tanja Przyklenk Universität KasselWiSe 2005/ 2006

2 Gliederung Regeln und Muster - Spielereien mit Ziffern Stellenwertsysteme Ursprung, Idee, Umwandlung und Rechnen Spielereien für den Alltag

3 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Erläuterung des Themas: Innermathematische Entdeckungen mathematische Muster erkennen und mit Zahlen spielen Eigenaktive Durchdringung vertrauter Kenntnisse über Zahlen

4 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern ANNA- Zahlen Finde den Fehler: Wie wäre die Aufgabe richtig? Was fällt auf?

5 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Definition von ANNA- Zahlen: Es sind vierstellige Zahlen Zu je zwei verschiedenen Ziffern lassen sich genau zwei ANNA- Zahlen bilden Aufgabe: Versuche durch das Berechnen von weiteren Differenzen von ANNA - Zahlen noch zwei andere Ergebnisse herauszufinden! Dividiere jedes Ergebnis durch 891!

6 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Erläuterung an Hand der Stellenwerttafel, mit dem Beispiel 3443: THZE ______ 900 ______ ______ 891

7 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Weitere Zahlenmuster: NANA- Zahlen AABB- Zahlen

8 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Muster bei der Addition Löse folgende Aufgaben: Welches Muster kannst du entdecken?

9 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Warum funktioniert das?

10 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Regeln zur Multiplikation Beispiel, 5·8: 1.Regel 50 Setze hinter die kleinere Ziffer eine 0, Ziehe die größere Zahl von 10 ab und multipliziere den Rest mit der kleineren Zahl, das Ergebnis wird nun vom Zehnfachen der kleineren Zahl abgezogen. (10-8)(5· )50 -=40

11 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Algebraische Formeln Zur 1. Regel: a·b = a·10 - (a · (10 - b) ) = a10 – (a10 – a b) = a10 - a10 + ab = ab

12 Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern 2. Regel Addiere die beiden Ziffern schriftlich und notiere nur die Einerziffer vom Ergebnis, Multipliziere die jeweiligen Reste, die beim Subtrahieren der Ziffern mit 10 herauskommen und schreibe wie folgt das Ergebnis neben die vorhergehende Rechnung. Sollte bei der Multiplikation eine Zahl mit zwei Ziffern herauskommen, so addiere die erste Ziffer zu der bereits aufgeschriebenen

13 = 10·a+10b-100+( a -10b +ab) Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern = 10·a+10b a -10b +ab Algebraische Formeln Zur 2. Regel: a·b = 10·(a+b-10)+(10-a) ·(10-b) = a·b

14 Muster bei der Multiplikation Dadurch, dass man einen der beiden ursprünglichen Faktoren verdoppelt, verdreifacht, …wird auch das Ergebnis verdoppelt, verdreifacht

15 Andere Muster = = = = Hier kann man das Ergebnis von vorne nach hinten und andersrum lesen.

16 Spielereien mit Zahlen Immer 1089 Wir suchen uns eine dreistellige Zahl, deren Ziffern nicht alle gleich sind. Differenz der Umkehrzahl bilden Dazu die Umkehrzahl des Ergebnisses addieren Nullen berücksichtigen

17 Spielereien mit Zahlen

18 Spielereien mit Zahlen Begründung: Im ersten Schritt kommen bei der Differenz nur Zahlen in Frage, bei denen die Zehnerziffer, sowie die Summe der Einer- und Hunderter Ziffer jeweils 9 betragen. (099,198,297,…,891) Im zweiten Schritt entsteht in der Zehnerspalte ein Übertrag, der zu dem Ergebnis 1089 führt.

19 Spielereien mit Zahlen Zehnerziffer, sowie 693 Summe der Einer- und +396 Hunderterziffer ergibt Übertrag in der Zehnerspalte 1

20 Ursprung des Ziffernrechnens Die griechische Mathematik (3.Jh.v.Chr.) nutze kein Stellenwertsystem sondern ein alphabetisches Ziffernsystem

21 Aus Müller, Steinbring, Wittmann: Arithmetik als Prozess S. 24

22 Welche Zahl verbirgt sich hinter diesen Buchstaben?

23 Welche Zahl verbirgt sich hinter diesen Buchstaben? ´ ´ Ein Apostroph vor einem Buchstaben bedeutet: mal 1.000

24 Die Idee der Stellenwertsysteme Die Anzahl dieser Objekte abzuzählen erweist sich als schwierig. Eine Strichliste ist hierbei sinnvoll. ///////////////////////////

25 Die Idee der Stellenwertsysteme Es ist übersichtlicher die Objekte zu bündeln. Z.B. in Fünfer- päckchen. //// //// //// //// //// /// = 28 Striche

26 Die Idee der Stellenwertsysteme Nun kann man je 5 Bündel zu einem großen Bündel mit 5 5 = 5 2 = 25 zusammenfassen. //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// /// =58 Dieses Bündeln ist die Idee des Stellenwertsystems

27 Die Idee der Stellenwertsysteme Die Anzahl g der Objekte pro Bündel heißt Basis. Unser Stellenwertsystem hat die Basis = = TEZH 514 7

28 Die Idee der Stellenwertsysteme Im 5er-System ist die Basis 5. Der mögliche Rest bei der Division durch g ist 0, 1, 2, 3, = = 213 (5)

29 Die Idee der Stellenwertsysteme Wichtig: Die jeweilige Basis wird in Klammern als Index hinzugefügt (außer im 10er-System) Ziffernweise lesen, sonst würde das zu einer Verwechslung mit dem 10er-System führen

30 Die Idee der Stellenwertsysteme Ausmessen Wir wollen nun das Gewicht 58 = 213 (5) auf dieser Waage darstellen.

31 Die Idee der Stellenwertsysteme Beginnend mit dem größten Gewicht Nächst kleinere Bis hin zum kleinsten = 58 = 213 (5) 58 = = 213 (5)

32 Umwandeln in verschiedene Systeme Was bedeutet 125? 125 = 12 · = 1 · = 0 ·

33 Umwandeln in verschiedene Systeme Wie stelle ich die Zahl 350 im 6er System dar? 350 = 58 · = 9 · = 1 · = 0 · (10) = 1342 (6)

34 Stelle 205 im 7er System dar 205 = 29 · = 4 · = 0 · (10) = 412 (7)

35 Umwandeln mit dem Horner-Schema Was ist (5) im 10er System? (5) = 1453 (10) ·

36 Horner-Schema (5) = 1453 (10) · denn: (2·5 +1)·5+3)·5+0)·5+3(( =((2·5² +1·5+3)·5+0)·5+3 =(2·5³+1·5²+3·5+0)·5+3 =2·5 4 +1·5³+3·5²+0·5+3 = 1453 (10)

37 Umwandeln in verschiedene Systeme Was ist (5) im 10er System? (5) = 1498 (10) 2 · · · · · 5 0 = 2· · ·25 + 4·5 + 3·1 = = 1498

38 Rechnen im 5er System Zur Erinnerung: 5 (10) schreibt man als 10 (5) 6 (10) schreibt man als 11 (5) Zur Kontrolle: 322 (5) = 3·5² + 2·5 + 2·1 = 87 (10) 43 (5) = 4·5 + 3·1 = 23 (10) 420 (5) = 4·5² + 2·5 = 110 (10).

39 Rechnen im 5er System Das 1x1 wird wieder anspruchsvoll Zur Erinnerung: 5 (10) schreibt man als 10 (5) 10 (10) schreibt man als 20 (5) 6 (10) schreibt man als 11 (5)

40 Rechnen im 5er System

41 Warum piepsen Ladenkassen? Hersteller Produkt- nummer Herkunfts- land Prüfziffer Die Prüfziffer wird so gewählt, dass die Prüfsumme ein Vielfaches von 10 ergibt.

42 = Berechnen der Prüfsumme:

43 Welche Ziffer passt? EAN: 40017_ Prüfsumme: 47 ( x· ) Fehlende Ziffer wird mit 3 multipliziert. 1 Prüfsumme :50

44 Welche Ziffer ist falsch? EAN: Prüfsumme: 114 ( ) 0 Prüfsumme: ( ·1) oder Prüfsumme: (5+ 2 · ) 2

45 Werden alle Fehler von der Kasse erkannt? Wird eine Ziffer falsch gelesen, so verändert sich die Prüfsumme um eine Zahl (1-9) oder um das Dreifache einer Zahl (1-9). Die Prüfsumme ergibt dann nicht mehr ein Vielfaches von 10. => Fehler wird erkannt

46 Das Vertauschen von zwei Ziffern mit gleichen Multiplikatoren nicht erkannt wird nicht erkannt. nicht erkannt Fehler die sich zu Vielfachen von 10 ergänzen, werden von der Ladenkasse nicht erkannt. Nicht jeder Fehler wird von der Kasse erkannt

47 Aus Müller, Steinbring, Wittmann: Arithmetik als Prozess S. 195 Spielereien im Alltag

48

49 Erklärung: Bleistift = 1 (1)Fahrrad = 6 (2,3)Dia = 11 (1,2,4) Briefkasten = 2 (2) Bücher = 7 (1,2,3)Zeitung = 12 (3.4) Hammer = 3 (1, 2) Sanduhr = 8 (4)Auge = 13 (1,3,4) Satellit = 4 (4)Maus = 9 (1,4)Peperoni = 14 (2,3,4) Stern = 5 (1,3)Bild =10 (2,4)Herz = 15 (1,2,3,4) = 8= 4= 2= 1 Karten


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