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Ganzzahligkeit 1 Ganzzahligkeit in LP-Modellen Problematik * Modellierung * Lösungswege.

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Präsentation zum Thema: "Ganzzahligkeit 1 Ganzzahligkeit in LP-Modellen Problematik * Modellierung * Lösungswege."—  Präsentation transkript:

1 Ganzzahligkeit 1 Ganzzahligkeit in LP-Modellen Problematik * Modellierung * Lösungswege

2 Ganzzahligkeit 2 Agenda 1. Problematik 2. Modelle mit Ganzzahligkeitsbedingung 21. Direkte Modelle 22. Codierte Modelle 23. Transformierte Modelle 3. Lösungswege 31. Schnittebenen 32. Branch and Bound

3 Ganzzahligkeit 3 1. Problematik der Ganzzahligkeit Als Lösungen kommen nur die ganzzahligen Punkte in Betracht:

4 Ganzzahligkeit 4 Schwierigkeiten Lösungsraum ist nicht konvex. Lösungen liegen i.d.R. nicht auf dem Rand. Gerundete Lösungen sind vom Optimum i.d.R. weit entfernt. Dieses gilt besonders für sog. 0-1-Probleme.

5 Ganzzahligkeit 5 Klassifizierung von IP-Problemen Klassifizierung von Integer Problemen:

6 Ganzzahligkeit Direkte Modelle Durch Hinzufügen der Anweisung "ganzzahlig" für einzelne oder alle Variablen (z.B. beim Verschnittproblem): Man bezeichnet das entsprechende LP-Probleme ohne die Ganzzahlig- keitsbedingung als relaxiertes Problem.

7 Ganzzahligkeit Codierte Modelle Wenn die Entscheidungsvariablen einen qualitativen Aspekt repräsentieren, für den es genau definierte, endliche Zustände gibt, erhält man codierte Modelle. Besonders häufig: Es gibt nur zwei definierte Zustände, die man durch sog. Binärvariablen abbilden kann. Beispiele hierfür: Kapitalbudgetierung(Investition: ja / nein) Maschinenbelegung(Auftrag auf Anlage: ja/nein) Stundenplanerstellung(Zuordnung: ja/nein) Knapsackproblem(Gut: ja/nein) Travelling Salesman(Strecke: ja/nein) Lieferplan(Lieferung: ja/nein) Standort(Ort: ja/nein) Graphenprobleme(Covering, Matching, Colouring)

8 Ganzzahligkeit Tranformierte Modelle Eine Binärvariable wird als Indikator-variable benutzt, die einen bestimmten Zustand in Abhängigkeit des Wertes einer anderen Variable eine Beschränkung induziert. Typisch sind dabei "Wenn … dann …"-Bedingungen, also logische Abhängigkeiten.

9 Ganzzahligkeit Diskretwertmodelle Eine Aktivität (Variable) soll nur einen von mehreren, vorher bestimmte Werte annehmen dürfen: Jedem Wert ordnet man eine Indikatorvaiable zu:

10 Ganzzahligkeit Batch Size Probleme Einfache Dichotomie Eine Variable soll entweder Null sein oder eine bestimmte Untergrenze nicht unterschreiten: Ein Produkt j soll entweder nicht oder – wenn schon – dann mindestens in der Menge l j gefertigt werden. Es sei u j eine künstliche oder natürliche Obergrenze für die Variable x j :

11 Ganzzahligkeit Disjunkte Variablen Von n Variablen (die bestimmten Aktivitäten zugeordnet sind), soll entweder (1) eine einen Wert größer Null haben oder (2) mindestens p einen Wert größer Null haben oder (3) höchstens q einen Wert größer Null haben. Zu jeder Aktivitätsvariablen x j mit der Obergrenze u j wird ein Indikatorvariable y j gewählt:

12 Ganzzahligkeit Disjunkte Nebenbedingungen Aus einer Menge von Nebenbedingungen f i (x 1,x 2,…,x n ) b i seien aktiv: 1. genau eine ( m-1 sind relaxiert) 2. mindestens p ( höchstens m-p sind relaxiert) 3. höchstens q ( mindestens m-q sind relaxiert). Es sei M eine große Zahl (M>>b i ):

13 Ganzzahligkeit Nebenbedingung mit alternativen RS Für eine Nebenbedingung f(x 1,x 2,…,x n )=b soll alternativ eine RS b {b 1 oder b 2 oder… } gelten: Falls mit einer schrittweisen Kapazitätserweiterung b 1

14 Ganzzahligkeit Fixed Charge Problem Klassisches Fixkostenproblem: Für jede Variable x j ist eine Indikatorvariable y j zu definieren :

15 Ganzzahligkeit Vereinigung konvexer Gebiete (1) Die Vereinigung konvexer Gebiete ist i.d.R. nicht konvex:

16 Ganzzahligkeit Vereinigung konvexer Gebiete (2) Jedes Gebiet ist für sich durch lineare Ungleichungen definiert :

17 Ganzzahligkeit 17 Formulierung logischer Verknüpfungen X i eine Aussage, z.B. X i = wahr, wenn Produkt i hergestellt wird, d.h. x i > 0 y i = 1, wenn X i = wahr; y i = 0, wenn X i = falsch

18 Ganzzahligkeit 18 Logische Impliklationen (1)

19 Ganzzahligkeit 19 Logische Impliklationen (2)

20 Ganzzahligkeit 20 Logische Impliklationen (3)

21 Ganzzahligkeit 21 Logische Impliklationen (4)

22 Ganzzahligkeit 22 Logische Impliklationen (5)

23 Ganzzahligkeit 23 Logische Impliklationen (6)

24 Ganzzahligkeit Vereinigung konvexer Gebiete (2) Jedes Gebiet ist für sich durch lineare Ungleichungen definiert :

25 Ganzzahligkeit 25 Anwendung der logischen Implikation Typ (3)

26 Ganzzahligkeit 26 Anwendung der logischen Implikation Typ (3)

27 Ganzzahligkeit 27 Anwendung der logischen Implikation Typ (3)


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