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Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid Definition einer Zeitreihe, Eigenschafte Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele.

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1 Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid Definition einer Zeitreihe, Eigenschafte Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis Nicht-lineare Methoden: –Wiederkehrdiagramme –Komplexität und Information vonZeitreihen –Singuläre Systemanalyse (SSA) (?) –Wavelets (?)

2 Stochastizität Nichtlinearität Schwingungen Chaos ARMA NLARMA Stabilitätsanalyse Edge of chaos 1/f Hidden Markov ? ? ? ? ? ? ? ? ? Modellklassen in der S-NL Ebene

3 Skalare (univariate) Zeitreihe als 1-d Projektion aus multidimensionaler Dynamik Nicht einzelne Trajektorien, sondern topologische Eigenschaften von Trajektorienensembles werden untersucht (Anfangsbedingungen sind irrelevant) Stabilitätsanalyse liefert mögliches Verhalten: - instabil/explodierend ("runaway solutions") - Fixpunkt - periodisches Verhalten - Grenzzyklus - Kompakte Mengen: Attraktoren - (falls nicht kompakt: ergodische Systeme) Zeitreihen als Ergebnis von Messungen an dynamischen Systemen

4 Untersucht wird das typische Langzeitverhalten (unabhängig von den Details der Anfangsbedingungen) Dynamische Systeme werden im Zustandsraum beschrieben Ausgangspunkt sind i.d.R. deterministische Systeme Zwei Klassen: - Kontinuierliche Systeme: DGL 1. Ordnung - Diskrete Systeme : Iterationsgleichungen Kurze Einführung in dynamische Systeme

5 Autonomes dynamisches System im Zustandsraum: Die Menge der asymptotischen Trajektorien ist der Attraktor des Systems (Dimension D) Takens Theorem (1983): Beobachtung einer Zustandsvariablen und Bildung von Einbettungsvektoren liefert eine treue Abbildung des Attraktors, falls Diskrete dynamische Systeme, Attraktoren, Einbettung

6 Stabilität von dynamischen Systemen Ein n-dimensionales dynamisches System sei gegeben: Eine Menge von stationären Punkten sei gefunden: Linearisierung : Wohin führen kleine Abweichungen? d.h. Lineare DGL 1. Ordnung!

7 Lösung der Stabilitätsgleichung Wohin geht die Reise? Satz (Lyapunov): (1)Haben die Eigenwerte der Matrix alle negativen Realteil, ist das System bei stabil. (2) Gibt es einen Eigenwert mit positivem Realteil, ist das System instabil. (3) Ist der größte Realteil = 0, liegt ein Zentrum vor.

8 Man betrachtet -Kugeln um einen Punkt zum Zeitpunkt 0: Die Kugeln verformen sich zu späteren Zeiten zu Ellipsoiden mit Hauptachsen. Dann lassen sich die Lyapunov-Exponenten des Systems so ermitteln: (Zeitmittel) (für ergodische Systeme nicht vom Ort abhängig) Quantifizierung von Chaos: der kontinuierliche Fall

9 Mittlere Divergenzrate Ergodische Systeme:hängt nicht vom Ort ab Lyapunov-Exponent Def.: Ein System ist chaotisch Verallgemeinerung auf k Dimensionen: k Lyapunov-Exponenten aus den Eigenwerten der Jakobi-Matrix kontrahierend/expandierend: Falls mindestens einer Chaos! Definition des Lyapunov-Exponenten

10 (A) Segment of the phase space trajectory of the Lorenz system (for standard parameters r=28, σ=10, b=8/3; Lorenz 1963) by using its three components and (B) its corresponding recurrence plot. A point of the trajectory at j which falls into the neighbourhood (gray circle in (A)) of a given point at i is considered as a recurrence point (black point on the trajectory in (A)). This is marked with a black point in the RP at the location (i, j). A point outside the neighbourhood (small circle in (A)) causes a white point in the RP. The radius of the neighbourhood for the RP is ε=5.

11 Fraktale und Selbstähnlichkeit Kennzeichen eines Fraktals ist immer die nicht- ganzzahlige Dimension Es gibt nicht-selbstähnliche Fraktale Nicht jede selbstähnliche Struktur ist ein Fraktal (Gegenbeispiele: Strecke, Quadrat, Würfel) Selbstähnliche Strukturen, bei der die Anzahl der Teile nicht skaliert wie ihre topologische (ganzzahlige!) Dimension, sind Fraktale

12 Zeitreihe {x(t i )} der Länge N liegt vor Konstruktion von Einbettungsvektoren Abstandsberechnung (für eine geeignete Norm p) Die Matrix R heisst Wiederkehrmatrix von {x(t i )} Der Punkt (i,j) heisst wiederkehrend, falls Parameter: Einbettungsdimension m, Verzögerung, Schwellenwertradius r Wiederkehrdiagramme (RPs): farbkodierte Visualisierungen von R Die Technik der Wiederkehrdiagramme

13 Anzahl der Nachbarn abhängig von der Dimension

14 Versuch zur Ermittlung optimaler Parameter Teil 1: Ermittlung des optimalen Schwellenwertes r Bestimmung der Wiederkehrpunkte RP als Funktion des Radius Berechnung des Zuwachses Maximum beim Überschreiten des noise floors danach Plateau? Wähle Beginn des Plateaus kein Plateau? dann halber Wert des Maximums Faustregel: RP ca %

15 Kriterium zur Ermittlung des optimalen Schwellwert-Radius

16 Versuch zur Ermittlung optimaler Parameter II Teil 2: Ermittlung des Delays Der Attraktor sollte nicht zu dicht abgetastet werden Aufeinanderfolgende Einbettungsvektoren sollten nicht zu stark autokorreliert sein Ermittlung der ersten Nullstelle der Autokorrelation (linear) oder des ersten Minimums der wechselseitigen Information (nichtlinear) Wahl des Delays dort in der Nähe

17 Versuch zur Ermittlung optimaler Parameter III Teil 3: Ermittlung der Einbettungsdimension Bestimme zu jedem Vektor seinen nächsten Nachbarn Bestimme den Abstand der Werte zum nächsten Zeitpunkt: Bestimme den Abstand im Originaldatensatz: (trivialer Prädiktor) Ist, zählt als falscher (zufälliger) Nachbar Wähle die Einbettungsdimension mit der geringsten Zahl von falschen Nachbarn

18 Beispiel für falsche Nachbarn

19 relative Anzahl der Wiederkehrpunkte (in Fenstern) Deterministische Anteile sind an Linien unterschiedlicher Länge parallel zur Hauptdiagonalen erkennbar: Wiederkehrdiagramme und ihre Quantifizierung (RQA) Optische Eindrücke objektivieren Kurze Linien werden als zufällig angesehen (Festlegung einer minimalen Linienlänge) Verteilung der Linienlängen über Shannon-Entropie quantifiziert In(AR(1)-Modell) ist mit der Linienlänge korreliert

20 Die jeweils längste Linie ist mit dem höchsten Lyapunov-Exponenten invers korreliert Abnahme der Wiederkehrpunkte nach aussen ( Trend ) Wiederkehrdiagramme und ihre Quantifizierung (Fortsetzung) Verallgemeinerung: Kreuzwiederkehrdiagramme zwei unterschiedliche Datenreihen auf einheitlichen Wertebereich skalieren (z.B. [0,1]) Quantifizierung so wie vorher

21 Typische Muster in Wiederkehr- diagrammen: A: Zufällig B: Periodisch C: Trend D: Unterbrochen

22

23 Vergleich: lineare Methoden und Wiederkehrdiagramm N. Marwan und Kurths (2002)

24 Vergleich: lineare Methoden und Wiederkehrdiagramm N. Marwan und Kurths (2002)

25 Vergleich mit komplexeren Modell: AR(1) gekoppelt mit dem Lorenz-System (n=8000) : N. Marwan und Kurths (2002) y n = 0.86y n ξ n + κx n 2

26 Vergleich mit komplexeren Modell: AR(1) gekoppelt mit dem Lorenz-System (n=8000) : N. Marwan und Kurths (2002) y n = 0.86y n ξ n + κx n 2 Die lineare Methode (Kreuzkorrelation) versagt


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