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Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004 -29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen - 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion -13.5. Beispiel Phyllotaxis,

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Präsentation zum Thema: "Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004 -29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen - 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion -13.5. Beispiel Phyllotaxis,"—  Präsentation transkript:

1 Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS Einführung, Modelle, Modellklassen Zustandsmodelle, Rekursion Beispiel Phyllotaxis, Definition von Ökosystemen Definition von Ökosystemen Populations- und Individuenbasierte Modelle (FK) Individuenbasierte Modelle Modelle der Hydrologie, zelluläre Automaten Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation Modelle zur Gewässerversauerung Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie Besprechung der Übungsaufgaben (FK) -1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

2 Modellierung (nach Robert Rosen) Natural System ENCODING DECODING Formal System INFERENCE CAUSALITY Naturgesetze Simulation Newton: Dynamik

3 Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische Systeme) - z.B. logistisches oder exp. (kont.) Wachstum Diskrete Zustände (Diskrete dynamische Systeme), z.B.: - z.B. logistisches diskretes Wachstum (Chaos) - Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret) - Zelluläre Automaten ( ) heute: Einführung einer räumlichen Abhängigkeit der Dynamik Zustandsysteme

4 Untersucht wird das typische Langzeitverhalten (unabhängig von den Details der Anfangsbedingungen) Nicht einzelne Trajektorien, sondern topologische Eigenschaften von Trajektorienensembles werden untersucht Stabilitätsanalyse liefert mögliches Verhalten: - instabil/explodierend ("runaway solutions") - Fixpunkt - periodisches Verhalten - Grenzzyklus - Kompakte Mengen: Attraktoren Kurze Einführung in dynamische Systeme

5 Zustände eines dynamischen Systems Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)? Der Zustand eines dynamischen Systems zu einem Zeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben: Die Menge der Zustandsgrößen sind genau die, deren Werte man alle kennen muss, um das Verhalten des Systems in der nahen Zukunft vorhersagen zu können. (?) Zustandsvektoren sind nicht eindeutig. Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n des Zustandsraums zu finden ist i.a. sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)

6 Wdh.: Kontinuierliche dynamische Systeme Def.: Ein dynamisches System ist ein Paar (f, X), wobei f eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist. Es gilt(Bewegungsgleichung) ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum, Hängtnicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom: durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest

7 Diskrete dynamische Systeme, Attraktoren, Einbettung Autonomes dynamisches System im Zustandsraum: Die Menge der asymptotischen Trajektorien ist der Attraktor des Systems (Dimension D) Takens Theorem: Beobachtung einer Zustandsvariablen und Bildung von Einbettungsvektoren liefert eine treue Abbildung des Attraktors, falls

8 Phasenraumverhalten des Lotka-Volterra-Systems Invariante:

9 Beispiel: der Lorenz-Attraktor

10 Man betrachtet -Kugeln um einen Punkt zum Zeitpunkt 0: Die Kugeln verformen sich zu späteren Zeiten zu Ellipsoiden mit Hauptachsen. Dann lassen sich die Lyapunov-Exponenten des Systems so ermitteln: (Zeitmittel) (für ergodische Systeme nicht vom Ort abhängig) Quantifizierung von Chaos: der kontinuierliche Fall

11 Schritte der Modellbildung Wahl eines Ausschnittes der Wirklichkeit, Zielsetzung Idealisierungen, Abstraktionen, physikalische Annahmen Mathematischer Ansatz: diskret, kontinuierlich; Erzeugen oder beschreiben? Belebte Systeme, Ökosysteme Zustandssysteme? deterministisch? Automaten? Berechenbar? ?

12 Zelluläre Automaten Die Zustände sind Zellen zugeordnet mit einer räumlichen (Nachbarschafts)-Beziehung Die Verarbeitung der Zustandübergänge erfolgt: –Parallel: gleichzeitig für alle Zellen (für den aktuellen Zustand) –Lokal: als Eingabe wird der aktuelle Zustand der jeweiligen Zelle und die ihrer unmittelbaren Nachbarn verwendet –Homogen: Die Zellen werden alle nach denselben Regeln behandelt (analog zu einem physikalischen Gesetz)

13 Der einfachste Fall: eindimensionale Zelluläre Automaten Binäres Alphabet {0,1} 3-er Nachbarschaften (Zelle und Nachbarn) werden für die Zustands-Aktualisierung verwendet: -2 3 = 8 mögliche Worte -2 8 = 256 mögliche Regelsätze -(256 1-d zelluläre Automaten mit binärem Alphabet und 3-er Nachbarschaft) tntn

14 Nummerierung der Regeln tntn ? t n+1

15 Nummerierung der Regeln z.B. die Regel = 110 tntn t n+1 Faktor:

16 Zweidimensionale zelluläre Automaten 1-Bit Regeln (binäres Alphabet) 9-er Nachbarschaft –2 9 =516 Möglichkeiten –2 516 Regelsätze Totalistische und semi-totalistische Regeln (Summe über Nachbarschaft) Beispiele: –Vote (nur 2 10 = 1024 verschiedene Möglichkeiten) –Life

17 Majority : Totalistic Code b = 992d NineSum NewState Vote: Totalistic Code b = 976d NineSum NewState

18 Vote: Totalistic Code b = 976d NineSum NewState Semitotalistic Vote Table EightSum CellState Totalistic Vote Table

19 1. Form the EightSum of each cell's eight neighbors. 2. If a cell is 0 and its EightSum is 3, the cell's new state is If a cell is 1 and its EightSum is 2 or 3, the new state is In all other cases the cell's new state is 0. Semitotalistic Life Table EightSum CellState

20 Übungsaufgabe: Wie lauten die Regeln im zwei-dimensionalen zellulären Automaten Game of Life ? (möglichst knappe Formulierung) Ändern Sie die Regel (2-3 mal) und beurteilen Sie das Ergebnis In welcher Hinsicht finden sie diese Simulationen interessant oder uninteressant ? -Zur Lösung: siehe Kommentare zu dieser Folie


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