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Statistische Methoden II SS 2003
Vorlesung: Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit: Freitag (Pause: ) Ort: Hörsaal Loefflerstraße Übungen Gruppe 2: Arne Neumann Di Gruppe 3: Andreas Matz Mi Gruppe 1: Andreas Matz Mi Gruppe 4: Birte Holtfreter Do Gruppe 5: Birte Holtfreter Do Gruppe 6: Birte Holtfreter Do Ort: Diagnostikzentrum in den Räumen 301 und 414
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Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird
ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit. eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
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Niveau Das Niveau wird „klein“ gewählt.
(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammen- hang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter
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für den Erwartungswert
Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei
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Tafel für die Verteilungsfunktion
bei Normalverteilung
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Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428
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Der Zentrale Grenzwertsatz
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Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I
Konfidenzintervall zum Niveau
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Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II
Vereinfachung für großes n (n 100)
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Die Student- oder t-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!
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Die Chi-Quadrat-Verteilung
Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
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Die Chi-Quadrat-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei: : Gamma-Funktion
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Chi-Quadrat-Verteilung
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Die Student- oder t-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!
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Die Student- oder t-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:
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Student-Verteilung
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Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung
Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man:
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Mathematische Bedeutung
der t-Verteilung Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man:
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für den Erwartungswert
Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)
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Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig
Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung
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Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig
Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung
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Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig
Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung
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Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig
Fall Normalverteilung Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung
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3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = 5
Stichprobenfunktionen
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Chi-Quadrat-Verteilung
falsch
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Student-Verteilung
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für diese konkrete Stichprobe
Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall 4.Fall 18.28 5.Fall 6.Fall
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Beispiel Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange
aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
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für diese konkrete Stichprobe
Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 2.Fall 5.Fall Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!
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TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS
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Worum es geht Man möchte „testen“, ob eine bestimmte
Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Formulierung einer Hypothese Da man sich in der Statistik nie ganz sicher sein kann: Die „Irrtumswahr- scheinlichkeit“ sollte klein sein. Beobachtung (Stichprobe) Vorgabe: „Irrtumswahr- scheinlichkeit“ Entscheidung
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