Kapitel 6 Differenzierbarkeit. Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt 6.1 Die Definition 6.2 Die Eigenschaften 6.3 Extremwerte.

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1 Kapitel 6 Differenzierbarkeit

2 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt 6.1 Die Definition 6.2 Die Eigenschaften 6.3 Extremwerte 6.1 Die Definition 6.2 Die Eigenschaften 6.3 Extremwerte

3 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 3 Was heißt differenzierbar? Differenzierbare Funktionen sind glatte Funktionen. Wir beschreiben diese in vier Stufen. 1. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn man sie in einem Schwung, ohne anzuhalten, zeichnen kann. 2. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie keine Knicke hat. 3. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt eine eindeutige Tangente hat. Entscheidend ist die Eindeutigkeit: Sie muss in jedem Punkt eine Tangente haben, sie darf aber auch keine zwei (oder noch mehr) haben. Differenzierbare Funktionen sind glatte Funktionen. Wir beschreiben diese in vier Stufen. 1. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn man sie in einem Schwung, ohne anzuhalten, zeichnen kann. 2. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie keine Knicke hat. 3. Beschreibung: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt eine eindeutige Tangente hat. Entscheidend ist die Eindeutigkeit: Sie muss in jedem Punkt eine Tangente haben, sie darf aber auch keine zwei (oder noch mehr) haben.

4 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 4 Der Differenzenquotient 4. (mathematische) Beschreibung: Was heißt: Die Funktion f ist in einem Punkt x 0 differenzierbar? Wir setzen die dritte Beschreibung in mathematische Sprache um. Sei x ein Punkt mit x x 0. Der zugehörige Differenzenquotient ist. Der Differenzenquotient ist die Steigung der Geraden (Sekante) durch die Punkte (x 0 f(x 0 )) und (x f(x)). 4. (mathematische) Beschreibung: Was heißt: Die Funktion f ist in einem Punkt x 0 differenzierbar? Wir setzen die dritte Beschreibung in mathematische Sprache um. Sei x ein Punkt mit x x 0. Der zugehörige Differenzenquotient ist. Der Differenzenquotient ist die Steigung der Geraden (Sekante) durch die Punkte (x 0 f(x 0 )) und (x f(x)).

5 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 5 Die Tangente Wie kann man die Tangente im Punkt (x 0 f(x 0 )) beschreiben? Wir lassen einfach x gegen x 0 laufen. Präziser: (a) Wir betrachten eine beliebige Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert. (b) Für jedes Element x n der Folge betrachten wir den zugehörigen Differenzenquotienten (c) Wir betrachten die Folge der Differenzenquotienten. Diese kann konvergieren, muss aber nicht. Und die Grenzwert können alle gleich sein, müssen aber nicht. (d) Die Funktion, die immer muss, ist differenzierbar: Wie kann man die Tangente im Punkt (x 0 f(x 0 )) beschreiben? Wir lassen einfach x gegen x 0 laufen. Präziser: (a) Wir betrachten eine beliebige Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert. (b) Für jedes Element x n der Folge betrachten wir den zugehörigen Differenzenquotienten (c) Wir betrachten die Folge der Differenzenquotienten. Diese kann konvergieren, muss aber nicht. Und die Grenzwert können alle gleich sein, müssen aber nicht. (d) Die Funktion, die immer muss, ist differenzierbar:

6 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 6 Die Definition Definition. Sei f eine Funktion, und sei x 0 ein Element ihres Definitionsbereichs. Die Funktion f heißt differenzierbar im Punkt x 0, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: (a) Für jede Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert (wobei die x n aus dem Definitionsbereich von f sind) konvergiert auch die Folge der Differenzenquotienten. (b) Alle Grenzwerte der Folgen, die in (a) auftreten, sind gleich. Definition. Sei f eine Funktion, und sei x 0 ein Element ihres Definitionsbereichs. Die Funktion f heißt differenzierbar im Punkt x 0, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: (a) Für jede Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert (wobei die x n aus dem Definitionsbereich von f sind) konvergiert auch die Folge der Differenzenquotienten. (b) Alle Grenzwerte der Folgen, die in (a) auftreten, sind gleich.

7 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 7 Die Definition (Fortsetzung) Der (nach Definition) eindeutig bestimmte Grenzwert der Differenzenquotienten einer differenzierbaren Funktion ist die Steigung der Tangente im Punkt x 0. Man nennt diesen Grenzwert auch den Differentialquotient oder die Ableitung im Punkt x 0 und schreibt dafür f'(x 0 ). Man sagt, eine Funktion ist (überall) differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt differenzierbar ist. Beispiel: Bei einer Funktion des Typs f(x) = mx + b ist jeder Differenzenquotient gleich m, also sind auch alle Grenzwerte gleich m. Somit ist die Funktion differenzierbar, und die Anleitung in jedem Punkt ist m. Der (nach Definition) eindeutig bestimmte Grenzwert der Differenzenquotienten einer differenzierbaren Funktion ist die Steigung der Tangente im Punkt x 0. Man nennt diesen Grenzwert auch den Differentialquotient oder die Ableitung im Punkt x 0 und schreibt dafür f'(x 0 ). Man sagt, eine Funktion ist (überall) differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt differenzierbar ist. Beispiel: Bei einer Funktion des Typs f(x) = mx + b ist jeder Differenzenquotient gleich m, also sind auch alle Grenzwerte gleich m. Somit ist die Funktion differenzierbar, und die Anleitung in jedem Punkt ist m.

8 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 8 Was heißt nicht differenzierbar? Um nachzuweisen, dass f nicht differenzierbar im Punkt x 0 ist, haben wir zwei Möglichkeiten: Die Funktion f ist nicht differenzierbar im Punkt x 0, wenn mindestens eine der beiden folgenden Bedingungen gilt: (a) es gibt mindestens eine Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert (wobei die x n aus dem Definitionsbereich von f sind), für die die Folge () der Differentialquotienten nicht konvergiert. (b) Es gibt zwei Folgen (x n ) und (z n ), die gegen x 0 konvergieren, so dass die zugehörigen Folgen der Differenzenquotienten zwar konvergieren, aber gegen verschiedene Grenzwerte. Um nachzuweisen, dass f nicht differenzierbar im Punkt x 0 ist, haben wir zwei Möglichkeiten: Die Funktion f ist nicht differenzierbar im Punkt x 0, wenn mindestens eine der beiden folgenden Bedingungen gilt: (a) es gibt mindestens eine Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert (wobei die x n aus dem Definitionsbereich von f sind), für die die Folge () der Differentialquotienten nicht konvergiert. (b) Es gibt zwei Folgen (x n ) und (z n ), die gegen x 0 konvergieren, so dass die zugehörigen Folgen der Differenzenquotienten zwar konvergieren, aber gegen verschiedene Grenzwerte.

9 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 9 Beispiel: f(x) = x 2 6.1.1 Satz. Die Ableitung der Funktion f(x) = x 2 ist f'(x) = 2x. Insbesondere ist die Funktion f(x) = x 2 differenzierbar. Beweis. Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Sei (x n ) eine Folge, die gegen x 0 konvergiert. Dann gilt Da (x n ) gegen x 0 konvergiert, konvergiert die Folge (x n +x 0 ) gegen 2x 0. Also ist die Ableitung von f in dem beliebigen Punkt x 0 gleich 2x 0. Daher ist die Ableitung von f(x) gleich 2x. 6.1.1 Satz. Die Ableitung der Funktion f(x) = x 2 ist f'(x) = 2x. Insbesondere ist die Funktion f(x) = x 2 differenzierbar. Beweis. Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Sei (x n ) eine Folge, die gegen x 0 konvergiert. Dann gilt Da (x n ) gegen x 0 konvergiert, konvergiert die Folge (x n +x 0 ) gegen 2x 0. Also ist die Ableitung von f in dem beliebigen Punkt x 0 gleich 2x 0. Daher ist die Ableitung von f(x) gleich 2x.

10 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 10 Beispiel: f(x) = 1/x 6.1.2 Satz. Die Funktion f(x) = 1/x hat die Ableitung f'(x) = –1/x 2. Insbesondere ist die Funktion f(x) = 1/x überall differenzierbar. Beweis. Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Sei (x n ) eine beliebige Folge, die gegen x 0 konvergiert. Dann gilt Da (x n ) gegen x 0 konvergiert, konvergiert die Folge –1/x n x 0 gegen –1/x 0 2. Also ist die Ableitung von f im Punkt x 0 gleich –1/x 0 2. Daher ist die Ableitung von f(x) gleich –1/x 2. 6.1.2 Satz. Die Funktion f(x) = 1/x hat die Ableitung f'(x) = –1/x 2. Insbesondere ist die Funktion f(x) = 1/x überall differenzierbar. Beweis. Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Sei (x n ) eine beliebige Folge, die gegen x 0 konvergiert. Dann gilt Da (x n ) gegen x 0 konvergiert, konvergiert die Folge –1/x n x 0 gegen –1/x 0 2. Also ist die Ableitung von f im Punkt x 0 gleich –1/x 0 2. Daher ist die Ableitung von f(x) gleich –1/x 2.

11 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 11 Beispiel: f(x) = exp(x) 6.1.3 Satz. Die Exponentialfunktion f(x) = exp(x) hat die Ableitung f'(x) = exp(x). Insbesondere ist die Exponentialfunktion überall differenzierbar und ihre Ableitung ist gleich der Originalfunktion. Beweis. Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Sei (x n ) eine beliebige Folge, die gegen x 0 konvergiert. Dann gilt 6.1.3 Satz. Die Exponentialfunktion f(x) = exp(x) hat die Ableitung f'(x) = exp(x). Insbesondere ist die Exponentialfunktion überall differenzierbar und ihre Ableitung ist gleich der Originalfunktion. Beweis. Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Sei (x n ) eine beliebige Folge, die gegen x 0 konvergiert. Dann gilt

12 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 12 Beweisende Da (x n ) gegen x 0 konvergiert, geht der erste Faktor gegen exp(x 0 ); der zweite Faktor konvergiert gegen 1 (ohne Beweis). Also ist die Ableitung von f an der Stelle x 0 gleich exp(x 0 ). Das heißt exp'(x) = exp(x) für alle x. Da (x n ) gegen x 0 konvergiert, geht der erste Faktor gegen exp(x 0 ); der zweite Faktor konvergiert gegen 1 (ohne Beweis). Also ist die Ableitung von f an der Stelle x 0 gleich exp(x 0 ). Das heißt exp'(x) = exp(x) für alle x.

13 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 13 6.2 Differenzierbarkeit: Die Eigenschaften Ziele: 1. Aus einer oder zwei differenzierbaren Funktionen mach eine neue! 2. Eigenschaften einer differenzierbaren Funktion Ziele: 1. Aus einer oder zwei differenzierbaren Funktionen mach eine neue! 2. Eigenschaften einer differenzierbaren Funktion

14 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 14 Satz über Summe und Produkt 6.2.1 Satz. Seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann sind auch die Summe f+g und das Produkt f g differenzierbare Funktionen. Es gelten (f+g)' = f' + g (Summenregel), (k f)' = k f für jede reelle Zahl k, (fg)' = f' g + f g (Produktregel). Beispiele: f(x) = x + 7x 3 ist differenzierbar. Die Funktionen x, x 2, x 3, x 4, x 5,... sind differenzierbar. Jedes Polynom (ganzrationale Funktion) ist differenzierbar. 6.2.1 Satz. Seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann sind auch die Summe f+g und das Produkt f g differenzierbare Funktionen. Es gelten (f+g)' = f' + g (Summenregel), (k f)' = k f für jede reelle Zahl k, (fg)' = f' g + f g (Produktregel). Beispiele: f(x) = x + 7x 3 ist differenzierbar. Die Funktionen x, x 2, x 3, x 4, x 5,... sind differenzierbar. Jedes Polynom (ganzrationale Funktion) ist differenzierbar.

15 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 15 Beweis der Summenregel Beweis. Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass f+g in x 0 differenzierbar ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert. Da f in x 0 differenzierbar ist, konvergiert die Folge gegen f'(x 0 ). Da g in x 0 differenzierbar ist, konvergiert die Folge gegen g'(x 0 ). Beweis. Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass f+g in x 0 differenzierbar ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert. Da f in x 0 differenzierbar ist, konvergiert die Folge gegen f'(x 0 ). Da g in x 0 differenzierbar ist, konvergiert die Folge gegen g'(x 0 ).

16 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 16 Beweis der Summenregel (Fortsetzung) Also konvergiert die Folge gegen f'(x 0 ) + g'(x 0 ). Also ist f+g differenzierbar, und es gilt (f+g)' = f'+g'. Also konvergiert die Folge gegen f'(x 0 ) + g'(x 0 ). Also ist f+g differenzierbar, und es gilt (f+g)' = f'+g'.

17 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 17 Produkt mit einer reellen Zahl: Beweis Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass kf in x 0 differenzierbar ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert. Da f in x 0 differenzierbar ist, konvergiert die Folge gegen f'(x 0 ). Also konvergiert folgende Folge gegen kf(x 0 ): Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass kf in x 0 differenzierbar ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert. Da f in x 0 differenzierbar ist, konvergiert die Folge gegen f'(x 0 ). Also konvergiert folgende Folge gegen kf(x 0 ):

18 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 18 Beweis der Produktregel Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass fg in x 0 differenzierbar ist. Die Folge mit den Gliedern konvergiert gegen f(x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g(x 0 ). Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass fg in x 0 differenzierbar ist. Die Folge mit den Gliedern konvergiert gegen f(x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g(x 0 ).

19 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 19 Polynome sind differenzierbar 6.2.2 Satz. Sei f(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 ein Polynom. Dann ist f differenzierbar, und es gilt f'(x) = n a n x n–1 + (n–1) a n–1 x n–2 +... + 2a 2 x + a 1. Beweis. Schritt 1: f(x) = x n ist differenzierbar, und es gilt f'(x) = n x n–1. (Produktregel, Induktion nach n) Schritt 2: f(x) = a n x n ist differenzierbar, und es gilt f(x) = n a n x n–1. (Schritt 1, Produkt mit einer reellen Zahl) Schritt 3: f(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 ist differenzierbar, und es gilt f(x) = n a n x n–1 + (n–1) a n–1 x n–2 +... + 2a 2 x + a 1 (Summenregel). 6.2.2 Satz. Sei f(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 ein Polynom. Dann ist f differenzierbar, und es gilt f'(x) = n a n x n–1 + (n–1) a n–1 x n–2 +... + 2a 2 x + a 1. Beweis. Schritt 1: f(x) = x n ist differenzierbar, und es gilt f'(x) = n x n–1. (Produktregel, Induktion nach n) Schritt 2: f(x) = a n x n ist differenzierbar, und es gilt f(x) = n a n x n–1. (Schritt 1, Produkt mit einer reellen Zahl) Schritt 3: f(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 ist differenzierbar, und es gilt f(x) = n a n x n–1 + (n–1) a n–1 x n–2 +... + 2a 2 x + a 1 (Summenregel).

20 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 20 Quotientenregel, Kettenregel 6.2.3 Quotientenregel. Seien f und g differenzierbare Funktionen mit g(x) 0 für alle x. Dann ist auch der Quotient f/g differenzierbar, und es gilt (f/g) = (fg – fg)/g 2. 6.2.4 Kettenregel. Seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann gilt (f g)(x) = f(g(x)) g(x). Dabei bedeutet die Hintereinanderausführung von Funktionen. Man nennt f die äußere und g die innere Funktion; entsprechend spricht man von der äußeren und inneren Ableitung. 6.2.3 Quotientenregel. Seien f und g differenzierbare Funktionen mit g(x) 0 für alle x. Dann ist auch der Quotient f/g differenzierbar, und es gilt (f/g) = (fg – fg)/g 2. 6.2.4 Kettenregel. Seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann gilt (f g)(x) = f(g(x)) g(x). Dabei bedeutet die Hintereinanderausführung von Funktionen. Man nennt f die äußere und g die innere Funktion; entsprechend spricht man von der äußeren und inneren Ableitung.

21 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 21 Differenzierbarkeit und Stetigkeit 6.2.5 Satz. Wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann ist sie auch stetig. Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht! (Betragsfunktion!) Beweis. Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass f stetig in x 0 ist. Sei also (x n ) eine beliebige Folge, die gegen x 0 konvergiert. Wir müssen zeigen, dass die Folge (f(x n )) gegen f(x 0 ) konvergiert. Dazu genügt es zu zeigen, dass die Folge (f(x n ) – f(x 0 )) gegen 0 konvergiert. 6.2.5 Satz. Wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann ist sie auch stetig. Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht! (Betragsfunktion!) Beweis. Sei x 0 eine beliebige reelle Zahl. Wir zeigen, dass f stetig in x 0 ist. Sei also (x n ) eine beliebige Folge, die gegen x 0 konvergiert. Wir müssen zeigen, dass die Folge (f(x n )) gegen f(x 0 ) konvergiert. Dazu genügt es zu zeigen, dass die Folge (f(x n ) – f(x 0 )) gegen 0 konvergiert.

22 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 22 Beweis Da f differenzierbar in x 0 ist, konvergiert die Folge gegen f'(x 0 ). Trick: Wir betrachten die Folge Die rechte Seite ist Produkt von zwei Folgen, nämlich von und Beide Folgen konvergieren: die erste gegen f'(x 0 ), die zweite gegen 0. Also konvergiert die Produktfolge (a n b n ) gegen das Produkt der Grenzwerte, d.h. gegen f'(x 0 ) 0 = 0. Also konvergiert (f(x n )–f(x 0 )) gegen 0, also (f(x n )) gegen f(x 0 ). Somit ist f stetig in x 0. Da f differenzierbar in x 0 ist, konvergiert die Folge gegen f'(x 0 ). Trick: Wir betrachten die Folge Die rechte Seite ist Produkt von zwei Folgen, nämlich von und Beide Folgen konvergieren: die erste gegen f'(x 0 ), die zweite gegen 0. Also konvergiert die Produktfolge (a n b n ) gegen das Produkt der Grenzwerte, d.h. gegen f'(x 0 ) 0 = 0. Also konvergiert (f(x n )–f(x 0 )) gegen 0, also (f(x n )) gegen f(x 0 ). Somit ist f stetig in x 0.

23 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 23 6.3 Minimum, Maximum, Extremum Definition. Sei f eine stetige Funktion auf dem Intervall [a, b]. Wir sagen, dass f an einer Stelle x 0 ein Maximum annimmt, wenn es eine Umgebung von x 0 gibt, so dass f(x 0 ) f(x) für alle x aus der Umgebung gilt. Analog: Minimum. Extremum ist Minimum oder Maximum. Achtung: Plural heißt Minima, Maxima, Extrema. 6.3.1 Satz. Sei f eine auf dem Intervall [a, b] differenzierbare Funktion. Wenn x 0 ein Extremum ist, dann ist f(x 0 ) =0. Beweis. Sei z.B. x 0 ein Maximum. Dann gibt es eine -Umgebung von x 0, in der alle Funktionswerte kleiner als f(x 0 ) sind. Definition. Sei f eine stetige Funktion auf dem Intervall [a, b]. Wir sagen, dass f an einer Stelle x 0 ein Maximum annimmt, wenn es eine Umgebung von x 0 gibt, so dass f(x 0 ) f(x) für alle x aus der Umgebung gilt. Analog: Minimum. Extremum ist Minimum oder Maximum. Achtung: Plural heißt Minima, Maxima, Extrema. 6.3.1 Satz. Sei f eine auf dem Intervall [a, b] differenzierbare Funktion. Wenn x 0 ein Extremum ist, dann ist f(x 0 ) =0. Beweis. Sei z.B. x 0 ein Maximum. Dann gibt es eine -Umgebung von x 0, in der alle Funktionswerte kleiner als f(x 0 ) sind.

24 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 24 Beweis Wir betrachten eine Folge (x n ), deren Glieder in der -Umgebung liegen und größer als x 0 sind. Es folgt Wenn entsprechend (x n ) eine Folge ist, deren Glieder in der - Umgebung liegen und kleiner als x 0 sind, folgt Da f differenzierbar ist, müssen die Grenzwerte übereinstimmen. Es folgt f(x 0 ) = 0. Wir betrachten eine Folge (x n ), deren Glieder in der -Umgebung liegen und größer als x 0 sind. Es folgt Wenn entsprechend (x n ) eine Folge ist, deren Glieder in der - Umgebung liegen und kleiner als x 0 sind, folgt Da f differenzierbar ist, müssen die Grenzwerte übereinstimmen. Es folgt f(x 0 ) = 0.

25 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 25 Satz von Rolle 6.3.2 Satz. Seien a < b reelle Zahlen, und sei f eine differenzierbare Funktion. Wenn f(a) = f(b) ist, dann gibt es eine reelle Zahl x 0 zwischen a und b mit f'(x 0 ) = 0. Insbesondere gilt: Zwischen je zwei Nullstellen liegt eine waagrechte Tangente. Beweis. Falls f konstant ist, folgt die Behauptung sofort. Sei f nicht konstant. Dann hat f ein Maximum oder Minimum x 0 (da f stetig ist). Nach Satz 6.2.6 ist dann f(x 0 ) = 0. Michel Rolle (1652 – 1719), französischer Mathematiker. 6.3.2 Satz. Seien a < b reelle Zahlen, und sei f eine differenzierbare Funktion. Wenn f(a) = f(b) ist, dann gibt es eine reelle Zahl x 0 zwischen a und b mit f'(x 0 ) = 0. Insbesondere gilt: Zwischen je zwei Nullstellen liegt eine waagrechte Tangente. Beweis. Falls f konstant ist, folgt die Behauptung sofort. Sei f nicht konstant. Dann hat f ein Maximum oder Minimum x 0 (da f stetig ist). Nach Satz 6.2.6 ist dann f(x 0 ) = 0. Michel Rolle (1652 – 1719), französischer Mathematiker.

26 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 26 Mittelwertsatz 6.3.3 Satz. Seien a < b reelle Zahlen, und sei f eine differenzierbare Funktion. Dann gibt es eine Zahl x 0 [a, b] mit Mit anderen Worten: Es gibt eine reelle Zahl x 0, an dem die Kurve die gleiche Steigung wie die Sekante hat. 6.3.3 Satz. Seien a < b reelle Zahlen, und sei f eine differenzierbare Funktion. Dann gibt es eine Zahl x 0 [a, b] mit Mit anderen Worten: Es gibt eine reelle Zahl x 0, an dem die Kurve die gleiche Steigung wie die Sekante hat.

27 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 27 Beweis Beweis. Wir definieren folgende Hilfsfunktion h: Diese Funktion ist differenzierbar. Ferner gilt h(a) = f(a) und h(b) = f(a). Also können wir den Satz von Rolle anwenden: Es gibt ein x 0 aus [a, b] mit h(x 0 ) = 0. Das heißt Das ist die Behauptung. Beweis. Wir definieren folgende Hilfsfunktion h: Diese Funktion ist differenzierbar. Ferner gilt h(a) = f(a) und h(b) = f(a). Also können wir den Satz von Rolle anwenden: Es gibt ein x 0 aus [a, b] mit h(x 0 ) = 0. Das heißt Das ist die Behauptung.

28 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 28 Ableitung und monotone Funktionen 6.3.4 Satz. Sei f eine Funktion, die im Intervall [a, b] differenzierbar ist. Wenn für alle x aus [a, b] gilt f(x) > 0 (bzw. f(x) < 0), dann ist f im Intervall [a, b] streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend). Beweis. Sei f(x) > 0 für alle x aus [a, b]. Angenommen, f wäre nicht streng monoton wachsend. Dann gäbe es a, b [a, b] mit a < b, aber f(a) f(b). Nach dem Mittelwert- satz gibt es dann ein x 0 mit f(x 0 ) = (f(b) – f(a))/(b – a) 0. Dies widerspricht der Voraussetzung. Also ist die Annahme falsch. Daher gilt die Behauptung. 6.3.4 Satz. Sei f eine Funktion, die im Intervall [a, b] differenzierbar ist. Wenn für alle x aus [a, b] gilt f(x) > 0 (bzw. f(x) < 0), dann ist f im Intervall [a, b] streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend). Beweis. Sei f(x) > 0 für alle x aus [a, b]. Angenommen, f wäre nicht streng monoton wachsend. Dann gäbe es a, b [a, b] mit a < b, aber f(a) f(b). Nach dem Mittelwert- satz gibt es dann ein x 0 mit f(x 0 ) = (f(b) – f(a))/(b – a) 0. Dies widerspricht der Voraussetzung. Also ist die Annahme falsch. Daher gilt die Behauptung.

29 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 29 Extremwertbestimmung 6.3.5 Satz. Sei f eine differenzierbare Funktion, die im Punkt x 0 zweimal differenzierbar ist. Wenn gilt f(x 0 ) = 0 und f(x 0 ) 0), dann hat f in x 0 ein Maximum (bzw. ein Minimum). Beweis. Wir setzen f(x 0 ) < 0 voraus. Das bedeutet, dass der Grenzwert der Differenzenquotienten kleiner als Null ist. Also gibt es auch eine -Umgebung von x 0, so dass für alle x aus dieser -Umgebung der entsprechende Differenzenquotient kleiner als Null ist. 6.3.5 Satz. Sei f eine differenzierbare Funktion, die im Punkt x 0 zweimal differenzierbar ist. Wenn gilt f(x 0 ) = 0 und f(x 0 ) 0), dann hat f in x 0 ein Maximum (bzw. ein Minimum). Beweis. Wir setzen f(x 0 ) < 0 voraus. Das bedeutet, dass der Grenzwert der Differenzenquotienten kleiner als Null ist. Also gibt es auch eine -Umgebung von x 0, so dass für alle x aus dieser -Umgebung der entsprechende Differenzenquotient kleiner als Null ist.

30 Kapitel 6: Differenzierbarkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 30 Beweisabschluss Das bedeutet: f(x) > 0 für x < x 0 und f(x) x 0. Also ist f links von x 0 streng monoton steigend und rechts von x 0 streng monoton fallend. Daher muss bei x 0 ein Maximum vorliegen. Das bedeutet: f(x) > 0 für x < x 0 und f(x) x 0. Also ist f links von x 0 streng monoton steigend und rechts von x 0 streng monoton fallend. Daher muss bei x 0 ein Maximum vorliegen.