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Kapitel 1 Vollständige Induktion. Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 2 Inhalt 1.1 Das Prinzip A(n) A(n+1) 1.2 Anwendungen 1 + 2 + 3 +... + n =

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1 Kapitel 1 Vollständige Induktion

2 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 2 Inhalt 1.1 Das Prinzip A(n) A(n+1) 1.2 Anwendungen n = ? 1.3 Landkarten schwarz-weiß 1.4 Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, Das Prinzip A(n) A(n+1) 1.2 Anwendungen n = ? 1.3 Landkarten schwarz-weiß 1.4 Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

3 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite Das Prinzip Ziel: In der Mathematik macht man in der Regel Aussagen über unendlich viele Objekte (alle Zahlen, alle Dreiecke usw.) Solche Aussagen kann man prinzipiell nicht dadurch klären (beweisen), dass man alle Fälle einzeln ausprobiert. Man muß die Aissage sozusagen auf einen Schlag erledigen. Dazu dient die (vollständige, mathematische) Induktion. Bemerkung: Unter Induktion versteht man (im Gegensatz zur Deduktion eigentlich das – logisch unzulässige – Schließen von Einzelfällen auf alle Fälle. Die mathematische Induktion ist ein Werkzeug, mit dem man das sauber machen kann. Ziel: In der Mathematik macht man in der Regel Aussagen über unendlich viele Objekte (alle Zahlen, alle Dreiecke usw.) Solche Aussagen kann man prinzipiell nicht dadurch klären (beweisen), dass man alle Fälle einzeln ausprobiert. Man muß die Aissage sozusagen auf einen Schlag erledigen. Dazu dient die (vollständige, mathematische) Induktion. Bemerkung: Unter Induktion versteht man (im Gegensatz zur Deduktion eigentlich das – logisch unzulässige – Schließen von Einzelfällen auf alle Fälle. Die mathematische Induktion ist ein Werkzeug, mit dem man das sauber machen kann.

4 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 4 Das Prinzip der vollständigen Induktion Prinzip der vollständigen Induktion. Sei A eine Aussage oder eine Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Wir schreiben auch A(n). Wenn wir wissen, daß folgendes gilt: (1) Induktionsbasis (Induktionsverankerung): Die Aussage A gilt im Fall n = 1 (das heißt, es gilt A(1)), (2) Induktionsschritt: Für jede natürliche Zahl n 1 folgt aus A(n) die Aussage A(n+1), dann gilt die Aussage A für alle natürlichen Zahlen 1. Prinzip der vollständigen Induktion. Sei A eine Aussage oder eine Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Wir schreiben auch A(n). Wenn wir wissen, daß folgendes gilt: (1) Induktionsbasis (Induktionsverankerung): Die Aussage A gilt im Fall n = 1 (das heißt, es gilt A(1)), (2) Induktionsschritt: Für jede natürliche Zahl n 1 folgt aus A(n) die Aussage A(n+1), dann gilt die Aussage A für alle natürlichen Zahlen 1.

5 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 5 Erläuterung Bedeutung der vollständigen Induktion: Um eine Aussage über unendlich viele Objekte nachzuweisen, muss man nur zwei Aussagen beweisen: Induktionsbasis: A(1) Induktionsschritt: A(n) A(n+1) Man nennt A(n) auch die Induktionsvoraussetzung. Die hinter diesem Prinzip stehende Philosophie ist die, dass man in objektiv kontrollierbarer Weise über eine Unendlichkeit (alle natürlichen Zahlen) sprechen kann. Die Bedeutung dieses Prinzips, wurde zwischen 1860 und 1920 u.a. von Moritz Pasch (Professor in Gießen) und Giuseppe Peano (Professor in Turin) entdeckt. Bedeutung der vollständigen Induktion: Um eine Aussage über unendlich viele Objekte nachzuweisen, muss man nur zwei Aussagen beweisen: Induktionsbasis: A(1) Induktionsschritt: A(n) A(n+1) Man nennt A(n) auch die Induktionsvoraussetzung. Die hinter diesem Prinzip stehende Philosophie ist die, dass man in objektiv kontrollierbarer Weise über eine Unendlichkeit (alle natürlichen Zahlen) sprechen kann. Die Bedeutung dieses Prinzips, wurde zwischen 1860 und 1920 u.a. von Moritz Pasch (Professor in Gießen) und Giuseppe Peano (Professor in Turin) entdeckt.

6 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 6 Aussagen A(n): 4n ist eine gerade Zahl A(n): n 2 ist eine gerade Zahl A(n): n ist eine Primzahl A(n): Die Anzahl der Sitzordnungen von n Studierenden auf n Stühlen ist n! (:= n (n–1) , sprich n Fakultät) A(n): n geradlinige Straßen haben höchstens n Kreuzungen A(n): Wenn n Computer zu je zweien durch eine Leitung verbunden werden, so braucht man genau n(n–1)/2 Leitungen A(n): 4n ist eine gerade Zahl A(n): n 2 ist eine gerade Zahl A(n): n ist eine Primzahl A(n): Die Anzahl der Sitzordnungen von n Studierenden auf n Stühlen ist n! (:= n (n–1) , sprich n Fakultät) A(n): n geradlinige Straßen haben höchstens n Kreuzungen A(n): Wenn n Computer zu je zweien durch eine Leitung verbunden werden, so braucht man genau n(n–1)/2 Leitungen

7 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite Anwendungen Problem (C.F. Gauß): = ??? Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt: n = n(n+1)/2. In Worten: Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich (n+1)n/2. Konsequenz: Man kann die Summe n ganz einfach ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler. Problem (C.F. Gauß): = ??? Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt: n = n(n+1)/2. In Worten: Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich (n+1)n/2. Konsequenz: Man kann die Summe n ganz einfach ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler.

8 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 8 Dreieckszahlen Definition. Die Zahlen der Form (n+1)n/2, also die Zahlen 1, 3, 6, 10, 15,... heißen Dreieckszahlen. Man kann Satz also auch so ausdrücken: Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich der n-ten Dreieckszahl. Definition. Die Zahlen der Form (n+1)n/2, also die Zahlen 1, 3, 6, 10, 15,... heißen Dreieckszahlen. Man kann Satz also auch so ausdrücken: Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich der n-ten Dreieckszahl.

9 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 9 Beweis (durch Induktion) Beweis durch Induktion nach n. Die Aussage A(n) sei die Aussage des Satzes, also: A(n): n = n(n+1)/2. Sowohl bei der Induktionsbasis als auch beim Induktionsschritt zeigen wir, dass in der entsprechenden Gleichung links und rechts das Gleiche steht. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der Summand 1, und auf der rechten Seite steht 2 1/2, also ebenfalls 1. Also gilt A(1) Beweis durch Induktion nach n. Die Aussage A(n) sei die Aussage des Satzes, also: A(n): n = n(n+1)/2. Sowohl bei der Induktionsbasis als auch beim Induktionsschritt zeigen wir, dass in der entsprechenden Gleichung links und rechts das Gleiche steht. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der Summand 1, und auf der rechten Seite steht 2 1/2, also ebenfalls 1. Also gilt A(1)

10 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 10 Induktionsschritt Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl 1, und sei die Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt, die Summe (n–1) + n + (n+1) berechnen. Wir spalten wir diese Summe auf: (n–1) + n + (n+1) = [ (n–1) + n] + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)(nach Induktion) = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2. Insgesamt haben wir die Aussage A(n+1) bewiesen. Somit gilt der Satz. Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl 1, und sei die Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt, die Summe (n–1) + n + (n+1) berechnen. Wir spalten wir diese Summe auf: (n–1) + n + (n+1) = [ (n–1) + n] + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)(nach Induktion) = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2. Insgesamt haben wir die Aussage A(n+1) bewiesen. Somit gilt der Satz.

11 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 11 Der Trick von Gauß Gauß hat die Summe nicht so bestimmt, sondern mit folgendem genialen Trick: n–2+n–1+n +n+n–1+n– =n+1+n+1+n n+1+n+1+n+1 = n(n+1). Also gilt n = n(n+1)/2. Gauß hat die Summe nicht so bestimmt, sondern mit folgendem genialen Trick: n–2+n–1+n +n+n–1+n– =n+1+n+1+n n+1+n+1+n+1 = n(n+1). Also gilt n = n(n+1)/2.

12 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 12 Summe der ungeraden Zahlen Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt: (2n–1) = n 2. In Worten: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich der n-ten Quadratzahl. Beispiele: (a) = 9 (b) = Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt: (2n–1) = n 2. In Worten: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich der n-ten Quadratzahl. Beispiele: (a) = 9 (b) =

13 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 13 Beweis Beweis durch Induktion nach n. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der Summand 1, und auf der rechten Seite steht 1 2 = 1. Somit gilt A(1). Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und es gelte A(n). Wir müssen A(n+1) nachweisen. Wir beginnen mit der linken Seite von A(n+1) und formen diese so lange um, bis wir die rechte Seite von A(n+1) erhalten: (2n–1) + (2n+1) = [ (2n–1)] + (2n+1) = n 2 + (2n+1) (nach Induktion) = n 2 + 2n + 1 = (n+1) 2. Somit gilt A(n+1), und damit ist die Aussage bewiesen. Beweis durch Induktion nach n. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der Summand 1, und auf der rechten Seite steht 1 2 = 1. Somit gilt A(1). Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und es gelte A(n). Wir müssen A(n+1) nachweisen. Wir beginnen mit der linken Seite von A(n+1) und formen diese so lange um, bis wir die rechte Seite von A(n+1) erhalten: (2n–1) + (2n+1) = [ (2n–1)] + (2n+1) = n 2 + (2n+1) (nach Induktion) = n 2 + 2n + 1 = (n+1) 2. Somit gilt A(n+1), und damit ist die Aussage bewiesen.

14 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 14 Die Bernoullische Ungleichung Satz. Für jede nat. Zahl n und für jede reelle Zahl x -1 gilt (1+x) n 1 + nx. Beweis durch Induktion nach n. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann ist linke Seite = 1+x = rechte Seite; insbesondere ist linke Seite rechte Seite. Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und sei die Behauptung richtig für n. Damit folgt (1+x) n+1 = (1+x) n (1+x) (1 + nx) (1+x)(nach Induktion) = 1 + nx + x + nx nx + x = 1 + (n+1)x. Damit ist der Induktionsschritt bewiesen, und damit gilt der Satz Satz. Für jede nat. Zahl n und für jede reelle Zahl x -1 gilt (1+x) n 1 + nx. Beweis durch Induktion nach n. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann ist linke Seite = 1+x = rechte Seite; insbesondere ist linke Seite rechte Seite. Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und sei die Behauptung richtig für n. Damit folgt (1+x) n+1 = (1+x) n (1+x) (1 + nx) (1+x)(nach Induktion) = 1 + nx + x + nx nx + x = 1 + (n+1)x. Damit ist der Induktionsschritt bewiesen, und damit gilt der Satz.

15 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite Landkarten schwarz - weiß Ein Gebiet, etwa ein Erdteil, durch geradlinige Grenzen in Länder aufgeteilt ist. Die Grenzen sollen dabei so gezogen sein, dass sie den ganzen Erdteil durchqueren. Frage: Wieviel Farben braucht man, um die Länder so zu färben, dass keine zwei Länder, die ein Stück Grenze gemeinsam haben, gleich gefärbt sind? Bemerkungen: 1. Länder, die nur einen Punkt gemeinsam haben, dürfen sehr wohl gleich gefärbt sein. 2. Eine solche Färbung nennt man auch eine zulässige Färbung. Ein Gebiet, etwa ein Erdteil, durch geradlinige Grenzen in Länder aufgeteilt ist. Die Grenzen sollen dabei so gezogen sein, dass sie den ganzen Erdteil durchqueren. Frage: Wieviel Farben braucht man, um die Länder so zu färben, dass keine zwei Länder, die ein Stück Grenze gemeinsam haben, gleich gefärbt sind? Bemerkungen: 1. Länder, die nur einen Punkt gemeinsam haben, dürfen sehr wohl gleich gefärbt sein. 2. Eine solche Färbung nennt man auch eine zulässige Färbung.

16 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 16 Färbung von Landkarten Satz. Jede Landkarte, die dadurch entsteht, dass man einen Erdteil durch Geraden aufteilt, kann mit zwei Farben so gefärbt werden, dass je zwei Länder, die eine gemeinsame Grenze haben, verschieden gefärbt sind. Beweis durch Induktion. Was ist n? Sei n die Anzahl der Geraden, die den Erdteil aufteilen. Dann lautet A(n) so: A(n): Jede Landkarte, die dadurch entsteht, dass man einen Erdteil durch n Geraden aufteilt, kann mit den Farben schwarz und weiß so gefärbt werden, dass je zwei Länder, die eine gemeinsame Grenze haben, verschieden gefärbt sind Satz. Jede Landkarte, die dadurch entsteht, dass man einen Erdteil durch Geraden aufteilt, kann mit zwei Farben so gefärbt werden, dass je zwei Länder, die eine gemeinsame Grenze haben, verschieden gefärbt sind. Beweis durch Induktion. Was ist n? Sei n die Anzahl der Geraden, die den Erdteil aufteilen. Dann lautet A(n) so: A(n): Jede Landkarte, die dadurch entsteht, dass man einen Erdteil durch n Geraden aufteilt, kann mit den Farben schwarz und weiß so gefärbt werden, dass je zwei Länder, die eine gemeinsame Grenze haben, verschieden gefärbt sind.

17 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 17 Beweis Induktionsbasis: Sei n = 1. Jede Landkarte, die durch Aufteilung durch nur eine Gerade entsteht, kann mit zwei Farben gefärbt werden. Klar: Durch eine Gerade entstehen nur zwei Länder, die man mit zwei Farben färben kann. Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und sei die Aussage A(n) richtig. Wir müssen beweisen, dass auch A(n+1) gilt. Dazu betrachten wir eine beliebige Landkarte, die durch Ziehen von n+1 Geraden g 1, g 2,..., g n+1 entstanden ist. Wir müssen zeigen, dass diese Landkarte zulässig mit den Farben schwarz und weiß gefärbt werden kann. Induktionsbasis: Sei n = 1. Jede Landkarte, die durch Aufteilung durch nur eine Gerade entsteht, kann mit zwei Farben gefärbt werden. Klar: Durch eine Gerade entstehen nur zwei Länder, die man mit zwei Farben färben kann. Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und sei die Aussage A(n) richtig. Wir müssen beweisen, dass auch A(n+1) gilt. Dazu betrachten wir eine beliebige Landkarte, die durch Ziehen von n+1 Geraden g 1, g 2,..., g n+1 entstanden ist. Wir müssen zeigen, dass diese Landkarte zulässig mit den Farben schwarz und weiß gefärbt werden kann.

18 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 18 Beweis (Der Trick) Sei die Gerade g n+1 waagrecht und betrachten diese Gerade (vorerst) nicht. Damit entsteht eine Landkarte, die durch die n Geraden g 1,..., g n entstanden ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist diese Landkarte also mit den Farben schwarz und weiß zulässig färbbar! Wir müssen die Originallandkarte mit färben! Dazu fügen wir die (n+1)-te Gerade wieder ein. Dabei entstehen neue Länder. Wir müssen die Länder, oder jedenfalls einen Teil umfärben. Trick: Wir färben die obere Hälfte der Karte um! Die Länder im südlichen Teil der Karte behalten dagegen ihre Farbe. Sei die Gerade g n+1 waagrecht und betrachten diese Gerade (vorerst) nicht. Damit entsteht eine Landkarte, die durch die n Geraden g 1,..., g n entstanden ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist diese Landkarte also mit den Farben schwarz und weiß zulässig färbbar! Wir müssen die Originallandkarte mit färben! Dazu fügen wir die (n+1)-te Gerade wieder ein. Dabei entstehen neue Länder. Wir müssen die Länder, oder jedenfalls einen Teil umfärben. Trick: Wir färben die obere Hälfte der Karte um! Die Länder im südlichen Teil der Karte behalten dagegen ihre Farbe.

19 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 19 Beweis (Abschluss) Behauptung: Diese Färbung ist zulässig. 1. Fall: Die Grenze von L und L' liegt unterhalb von g n+1. Dann hatten die Länder L, L' verschiedene Farbe. Da sich unten nichts geändert hat, haben L und L' nach wie vor verschiedene Farbe. 2. Fall: Die Grenze von L und L' liegt oberhalb von g n+1. Oberhalb von g n+1 hat sich alles geändert. Da L und L' vorher verschiedene Farben hatten, haben sie auch jetzt verschiedene Farben. 3. Fall: Die Grenze von L und L' liegt auf g n+1. Dann sind L und L' durch Aufteilung eines alten Landes L* entstanden. Wenn L* weiß war, bleibt L weiß, während L' schwarz wird. Behauptung: Diese Färbung ist zulässig. 1. Fall: Die Grenze von L und L' liegt unterhalb von g n+1. Dann hatten die Länder L, L' verschiedene Farbe. Da sich unten nichts geändert hat, haben L und L' nach wie vor verschiedene Farbe. 2. Fall: Die Grenze von L und L' liegt oberhalb von g n+1. Oberhalb von g n+1 hat sich alles geändert. Da L und L' vorher verschiedene Farben hatten, haben sie auch jetzt verschiedene Farben. 3. Fall: Die Grenze von L und L' liegt auf g n+1. Dann sind L und L' durch Aufteilung eines alten Landes L* entstanden. Wenn L* weiß war, bleibt L weiß, während L' schwarz wird.

20 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 20 Das Vierfarbenproblem Berühmtes Problem der Mathematik: Wie viele Farben braucht man, um eine beliebige Landkarte, also eine Landkarte, die nicht durch Ziehen von Geraden entsteht, zulässig zu färben? Über 100 Jahre war die Vermutung, dass vier Farben ausreichen, unbewiesen haben die Amerikaner Apel und Haken mit massivem Computereinsatz den Vierfarbensatz beweisen. Dabei bauten sie entscheidend auf Vorarbeiten des Deutschen H. Heesch auf. Berühmtes Problem der Mathematik: Wie viele Farben braucht man, um eine beliebige Landkarte, also eine Landkarte, die nicht durch Ziehen von Geraden entsteht, zulässig zu färben? Über 100 Jahre war die Vermutung, dass vier Farben ausreichen, unbewiesen haben die Amerikaner Apel und Haken mit massivem Computereinsatz den Vierfarbensatz beweisen. Dabei bauten sie entscheidend auf Vorarbeiten des Deutschen H. Heesch auf.

21 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite Die Fibonacci-Zahlen Fibonacci (= Leonardo von Pisa) um 1200 Definition der Fibonacci-Zahlen: (a) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... (b) Jedes Folgenglied ist die Summe seiner beiden Vorgänger. (c) Wir definieren die Folge f 1, f 2, f 3,... von natürlichen Zahlen mit folgenden Eigenschaften: f n = f n–1 + f n–2 und f 1 = 1, f 2 = 1. Fibonacci (= Leonardo von Pisa) um 1200 Definition der Fibonacci-Zahlen: (a) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... (b) Jedes Folgenglied ist die Summe seiner beiden Vorgänger. (c) Wir definieren die Folge f 1, f 2, f 3,... von natürlichen Zahlen mit folgenden Eigenschaften: f n = f n–1 + f n–2 und f 1 = 1, f 2 = 1.

22 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 22 Beispiele Kaninchen (jedenfalls mathematische Kaninchen) vermehren sich nach folgenden Regeln: –Jedes Kaninchenpaar braucht nach seiner Geburt zwei Monate, bis es geschlechtsreif ist. –Von da an gebiert es in jedem Monat ein neues Paar –Alle Kaninchen leben ewig. Wenn f n die Anzahl der Kaninchen zu Beginn des n-ten Monats bezeichnet. Dann sind die f n genau die Fibonacci-Zahlen. Ein Briefträger steigt eine lange Treppe hoch, indem er die erste Stufe betritt und von da an jeweils eine oder genau zwei Stufen auf einmal nimmt. Auf wie viele Arten kann er die n-te Stufe erreichen? Kaninchen (jedenfalls mathematische Kaninchen) vermehren sich nach folgenden Regeln: –Jedes Kaninchenpaar braucht nach seiner Geburt zwei Monate, bis es geschlechtsreif ist. –Von da an gebiert es in jedem Monat ein neues Paar –Alle Kaninchen leben ewig. Wenn f n die Anzahl der Kaninchen zu Beginn des n-ten Monats bezeichnet. Dann sind die f n genau die Fibonacci-Zahlen. Ein Briefträger steigt eine lange Treppe hoch, indem er die erste Stufe betritt und von da an jeweils eine oder genau zwei Stufen auf einmal nimmt. Auf wie viele Arten kann er die n-te Stufe erreichen?

23 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 23 Beispiele aus der Biologie Bei Pflanzen kommen Fibonacci-Zahlen häufig vor. Beispiele: Bei Sonnenblumen sind die Kerne in Spiralen angeordnet, die nach links und nach rechts drehen. Die Anzahlen der linksdrehenden und der rechtsdrehenden Spiralen sind aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. Ähnlich bei Gänseblümchen, Ananas, (manchen) Kakteen,.... Bei Pflanzen kommen Fibonacci-Zahlen häufig vor. Beispiele: Bei Sonnenblumen sind die Kerne in Spiralen angeordnet, die nach links und nach rechts drehen. Die Anzahlen der linksdrehenden und der rechtsdrehenden Spiralen sind aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. Ähnlich bei Gänseblümchen, Ananas, (manchen) Kakteen,....

24 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 24 Wie kann man Fibonacci-Zahlen ausrechnen? 1. Durch Anwenden der rekursiven Definition. 2. Durch Anwenden der folgenden expiziten Formel: Satz (Binet-Formel). Für jede natürliche Zahl n 1 gilt f n = [((1+ 5)/2) n – ((1– 5)/2) n ] / 5. Bemerkung. Das Erstaunliche an dieser Formel ist, dass sich für jedes n die Wurzelterme so weg heben, dass nur eine natürliche Zahl, nämlich f n stehenbleibt. 1. Durch Anwenden der rekursiven Definition. 2. Durch Anwenden der folgenden expiziten Formel: Satz (Binet-Formel). Für jede natürliche Zahl n 1 gilt f n = [((1+ 5)/2) n – ((1– 5)/2) n ] / 5. Bemerkung. Das Erstaunliche an dieser Formel ist, dass sich für jedes n die Wurzelterme so weg heben, dass nur eine natürliche Zahl, nämlich f n stehenbleibt.

25 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 25 Beweis (Induktionsbasis) Beweis durch Induktion nach n. Die Aussage A(n) ist A(n): f n = [((1+ 5)/2) n – ((1– 5)/2) n ] / 5. Induktionsbasis: Sei n = 1. Wir müssen die Aussage A(1) beweisen. Dazu rechnen wir einfach die Formel (also die rechte Seite) für den Fall n = 1 aus: [((1+ 5)/2) 1 – ((1– 5)/2) 1 ] / 5 = [(1+ 5)/2 – (1– 5)/2] / 5 = [2 5)/2] / 5 = 1 Damit gilt A(1). Beweisen Sie A(2): Übungsaufgabe. Beweis durch Induktion nach n. Die Aussage A(n) ist A(n): f n = [((1+ 5)/2) n – ((1– 5)/2) n ] / 5. Induktionsbasis: Sei n = 1. Wir müssen die Aussage A(1) beweisen. Dazu rechnen wir einfach die Formel (also die rechte Seite) für den Fall n = 1 aus: [((1+ 5)/2) 1 – ((1– 5)/2) 1 ] / 5 = [(1+ 5)/2 – (1– 5)/2] / 5 = [2 5)/2] / 5 = 1 Damit gilt A(1). Beweisen Sie A(2): Übungsaufgabe.

26 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 26 Beweis (Induktionsschritt) Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 2, und es mögen die Aussagen A(n) und A(n–1) gelten. Wir müssen zeigen, dass dann auch A(n+1) gilt. Dazu verwenden wir die Rekursionsformel f n+1 = f n + f n–1, und wenden sowohl auf f n also auch auf f n–1 die Induktionsvoraussetzung an: f n+1 = f n + f n–1 = [((1+ 5)/2) n – ((1– 5)/2) n ] / 5 + [((1+ 5)/2) n–1 – ((1– 5)/2) n–1 ] / 5 = [((1+ 5)/2) n–1 [(1+ 5)/2 + 1] – ((1– 5)/2) n–1 [(1– 5)/2 + 1]] / 5... Wie kann man diese monströse Formel auflösen ??? Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 2, und es mögen die Aussagen A(n) und A(n–1) gelten. Wir müssen zeigen, dass dann auch A(n+1) gilt. Dazu verwenden wir die Rekursionsformel f n+1 = f n + f n–1, und wenden sowohl auf f n also auch auf f n–1 die Induktionsvoraussetzung an: f n+1 = f n + f n–1 = [((1+ 5)/2) n – ((1– 5)/2) n ] / 5 + [((1+ 5)/2) n–1 – ((1– 5)/2) n–1 ] / 5 = [((1+ 5)/2) n–1 [(1+ 5)/2 + 1] – ((1– 5)/2) n–1 [(1– 5)/2 + 1]] / 5... Wie kann man diese monströse Formel auflösen ???

27 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 27 Beweis (das Wunder) Wir können die kleinen eckigen Klammern günstig umformen: [(1+ 5)/2 + 1] = [(1+ 5)/2] 2 = [(1– 5)/2 + 1] = [(1– 5)/2] 2. Man sieht beide Formeln sofort ein, wenn man die jeweiligen rechten Seiten ausrechnet. Nun kann uns aber nichts mehr hindern, weiterzurechnen:... = [((1+ 5)/2) n–1 [(1+ 5)/2] 2 – ((1– 5)/2) n–1 [(1– 5)/2] 2 ] / 5 = [((1+ 5)/2) n+1 – ((1– 5)/2) n+1 ] / und damit ist die Aussage A(n+1) bewiesen. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt also die Aussage. Wir können die kleinen eckigen Klammern günstig umformen: [(1+ 5)/2 + 1] = [(1+ 5)/2] 2 = [(1– 5)/2 + 1] = [(1– 5)/2] 2. Man sieht beide Formeln sofort ein, wenn man die jeweiligen rechten Seiten ausrechnet. Nun kann uns aber nichts mehr hindern, weiterzurechnen:... = [((1+ 5)/2) n–1 [(1+ 5)/2] 2 – ((1– 5)/2) n–1 [(1– 5)/2] 2 ] / 5 = [((1+ 5)/2) n+1 – ((1– 5)/2) n+1 ] / und damit ist die Aussage A(n+1) bewiesen. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt also die Aussage.

28 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 28 Ein Zaubertrick

29 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 29 Simpson-Identität Satz. Für jede natürliche Zahl n 2 gilt f n+1 f n–1 – f n 2 = (–1) n. In Worten: f n+1 f n–1 und f n 2 unterscheiden sich nur um 1, mal um +1, mal um –1. Beweis durch Induktion nach n. Die Aussage A(n) sei die Aussage des Satzes. Induktionsbasis. Sei n = 2. Wir müssen die Aussage A(2) zeigen. Dazu rechnen wir einfach die linke Seite aus: L.S. = f 3 f 1 – f 2 2 = 2 1 – 1 2 = 1 = (–1) 2 = R.S Satz. Für jede natürliche Zahl n 2 gilt f n+1 f n–1 – f n 2 = (–1) n. In Worten: f n+1 f n–1 und f n 2 unterscheiden sich nur um 1, mal um +1, mal um –1. Beweis durch Induktion nach n. Die Aussage A(n) sei die Aussage des Satzes. Induktionsbasis. Sei n = 2. Wir müssen die Aussage A(2) zeigen. Dazu rechnen wir einfach die linke Seite aus: L.S. = f 3 f 1 – f 2 2 = 2 1 – 1 2 = 1 = (–1) 2 = R.S.

30 Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 30 Beweis (Induktionsschritt) Induktionsschritt. Sei n eine natürliche Zahl 2, und es gelte die Aussage A(n). Wir müssen A(n+1) zeigen. Auch dazu rechnen wir einfach die entsprechende linke Seite aus: f n+2 f n – f n+1 2 = (f n+1 + f n ) f n – f n+1 2 = f n+1 (f n - f n+1 ) + f n 2 = f n+1 (f n - f n+1 ) + f n+1 f n–1 – (–1) n (nach Induktion) = f n+1 (f n + f n-1 – f n+1 ) + (–1) n+1 = f n (–1) n+1 = (–1) n+1. Somit gilt die Aussage A(n+1). Induktionsschritt. Sei n eine natürliche Zahl 2, und es gelte die Aussage A(n). Wir müssen A(n+1) zeigen. Auch dazu rechnen wir einfach die entsprechende linke Seite aus: f n+2 f n – f n+1 2 = (f n+1 + f n ) f n – f n+1 2 = f n+1 (f n - f n+1 ) + f n 2 = f n+1 (f n - f n+1 ) + f n+1 f n–1 – (–1) n (nach Induktion) = f n+1 (f n + f n-1 – f n+1 ) + (–1) n+1 = f n (–1) n+1 = (–1) n+1. Somit gilt die Aussage A(n+1).


Herunterladen ppt "Kapitel 1 Vollständige Induktion. Kapitel 1 © Beutelspacher April 2004 Seite 2 Inhalt 1.1 Das Prinzip A(n) A(n+1) 1.2 Anwendungen 1 + 2 + 3 +... + n ="

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