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Mathematische Abstraktion Daniel Wickert Proseminar Logik / WS 2003.

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Präsentation zum Thema: "Mathematische Abstraktion Daniel Wickert Proseminar Logik / WS 2003."—  Präsentation transkript:

1 Mathematische Abstraktion Daniel Wickert Proseminar Logik / WS 2003

2 Gliederung I.Geometrie und Axiome II.Der Zahlenbegriff III.Boole und die Algebra der Logik IV.Spätere Entwicklungen Mathematische AbstraktionDaniel Wickert

3 Geometrie - ElementeI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Euklids Elemente Zusammenfassung geometrischer Erkenntnisse seiner Zeit. Erkenntnisse abgeleitet von wenigen Grundsätzen und Postulaten (Axiome).

4 Geometrie - AxiomeI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Axiome der Euklidischen Geometrie 1.Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt ziehen. 2.Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern. 3.Um jeden Punkt kann man einen Kreis mit beliebigem Radius schlagen. 4.Alle rechten Winkel sind einander gleich.

5 Geometrie - AxiomeI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Parallelenaxiom 5. Wenn eine Strecke zwei andere Strecken derart schneidet, so dass die beiden inneren Schnittwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich die beiden Strecken, wenn sie weit genug verlängert werden, auf der Seite, auf der die Schnittwinkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind.

6 Geometrie - AxiomeI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Parallelenaxiom II Weitgehend abgelehnt Versuche der Herleitung aus anderen Axiomen Versuche des indirekten Beweises Saccheri(1733): Vorform der nicht- euklidischen Geometrie

7 Geometrie – nicht-euklidischeI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Nicht-euklidische Geometrie Gauß, Riemann: Geometrie ohne Parallelenaxiom möglich Hilbert: nicht-euklidische Geometrie widerspruchsfrei, falls euklidische Geometrie widerspruchsfrei Abbildung der geometrischen Elemente aufeinander

8 Geometrie – FazitI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Fazit Abkopplung von räumlicher Vorstellung Axiome funktionieren auch ohne Punkt, Linien und Ebenen. Weitere Entwicklungen: –Analytische Geometrie –Topologie –Gruppentheorie

9 Zahlen – GriechenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Der Zahlenbegriff Griechen: Viel Geometrie, wenig Algebra und Analysis Geometrie weniger Abstrakt Unscharfer Zahlenbegriff Pythagoräer hatten Probleme mit Inkommensurabilität

10 Zahlen – EntwicklungI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Entwicklung des Zahlenbegriffs Zweck: Konkrete Objekte quantifizieren Zuerst Adjektive: eins, zwei, drei ohne echte Adjektive zu sein. Später auch Namen, also Substantive

11 Zahlen – EntwicklungI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Entwicklung des Zahlenbegriffs II Erweiterung durch Probleme der Arithmetik x + 3 = 2 Negative Zahlen 2x - 3 = 0 Brüche x² - 2 = 0 Irrationale Zahlen x² + 1 = 0 Imaginäre Zahlen

12 Zahlen – EntwicklungI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Entwicklung des Zahlenbegriffs III Loslösung des Zahlenbegriffs vom ursprünglichen Zweck Zahlen sind Entitäten in einem Kalkül mit –Addition und Multiplikation –Kommutativität –Assoziativität –Distributivität

13 Boole – KurzbiographieI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert George Boole ( ) Sohn eines wissenschaftsbegeisterten Schusters Erste Interessen: Optik und Latein später Mathematik Erste Veröffentlichung mit 12 Jahren: Übersetzung einer Ode von Horace Mit 16 Aushilfslehrer, mit 20 eigene Schule 1849 Lehrstuhl am Queens College in Cork (Irland) ohne Akademischen Grad Wichtigste Arbeiten: –Mathematical Analysis of Logic –Investigation of the Laws of Thought

14 Boole – GrundüberlegungenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Grundüberlegungen Gültigkeit der Symbolischen Algebra unabhängig von Interpretation der Symbole Gesetze zur Kombination von Symbolen eines wahren Kalküls sind bekannt und allgemeingültig. Sein Kalkül der Logik erfüllt diese Bedingungen

15 Boole – Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen x, y sind Klassen, x = y Klassen haben gleiche Mitglieder xy neue Klasse deren Mitglieder sowohl in x als auch in y sind. Universalklasse 1 hat alle betrachteten Elemente als Mitglieder Nullklasse 0 hat kein Element als Mitglied

16 Boole – Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen II 1x = x und 0x = 0 aber xx = x Kein Division-Äquivalent, denn es gilt nicht xz = yz x = y Vorschlag: Abstraktion als Division x/y = z Klasse der Menschen Klasse der Vernunftbegabten = Klasse der Tiere

17 Boole – Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen III x + y : entweder x oder y Sehr ungünstig da viele praktische Regeln so nicht verwendbar (1 - x) : Komplement x(1 - x) = 0

18 Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen - Syllogismen A, E, I und O beschreibbar Jedes X ist Yx(1 – y) = 0 Kein X ist Yxy = 0 Einige X sind Y xy 0, bzw. xy = v Einige X sind nicht Y x(1 – y) 0, bzw. x(1- y) = v Boole – Logik der KlassenI II III IV

19 Boole – Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen - Gesetze (1) xy = yx(5) x = y xz = yz (2) x + y = y + x(6) x = y x + z = y + z (3) x(y + z) = xy + xz(7) x = y x - z = y – z (4) x(y - z) = xy – xz(8) x(1 - x) = 0

20 Boole – Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen – Gesetze II Regeln (1) – (7) entsprechen Algebra mit Zahlen Regel (8): x(1 - x) = 0 nicht. Hinzunahmen von (9) Entweder x = 1 oder x = 0 Booles Konvention x = 1 Prämisse X ist wahr x = 0 Prämisse X ist falsch

21 Boole – Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen - Entwicklung f(x) Abkürzung für Booleschen Ausdruck abhängig von x f(x) = ax + b(1 - x) f(1) = a, f(0) = b f(x) = f(1)x + f(0)(1 - x) Entwicklung von f(x) bezüglich x Ergibt Disjunktive Normalform

22 Boole – Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen - Techniken Reduktion mehrerer Gleichungen zu einer Lösung einer Gleichung (Umstellung nach einer Variablen) Eliminierung einer Variablen Werkzeuge für algebraische Repräsentation syllogistischer Schlüsse. h(1-a) = 0, a(1-m) = 0 h(1-m) = 0

23 Boole – FazitI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen - Fazit Wichtigste Neuerungen: –Kalkül für Wahrheitsfunktionen –Disjunktive Normalformen Grundlagen späterer Entwicklungen Durch einige Annahmen sich selbst Steine in den Weg gelegt

24 Spätere EntwicklungenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Spätere Entwicklungen Venn-Diagramme J.Venn Bewunderer Booles

25 Spätere EntwicklungenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Spätere Entwicklungen II Inklusivität von + für DeMorgan-Regel DeMorgan, Pierce, Schröder: Theorie der Relationen –Einführung von (einige) und (alle) –Vorstufe zur Prädikatenlogik

26 Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Fazit Axiomatisierung führte zu Abstraktion Algebra der Logik Ergebnis der Abstraktion des Zahlenbegriff Logikbegriff von Philosophie getrennt, neue Erkenntnisse kamen von Mathematikern

27 Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Quellen Kneele The Calculus of Logic Cambridge and Dublin Mathematical Journal Vol. III (1848), pp


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