handlungsorientierte Zugänge zur Algebra

Präsentation zum Thema: "handlungsorientierte Zugänge zur Algebra"—  Präsentation transkript:

1 handlungsorientierte Zugänge zur Algebra
Fachsprache und fachliche Konsequenzen des Modells - didaktische Hinweise zum Termbaukasten

2 Ansatz eines auf Größen basierenden Modells für Terme
Wir verwenden Längen normierter Trinkhalme, um außer der Summe auch Produkte von zwei oder drei Variablen betrachten zu können. Das Arbeiten mit Größen hat fachliche Konsequenzen.

3 Ansatz eines auf Größen basierenden Modells für Terme
Wir verwenden Längen normierter Trinkhalme, um außer der Summe auch Produkte von zwei oder drei Variablen betrachten zu können. Das Arbeiten mit Variablen, deren Werte fest belegt sind, hat fachliche Konsequenzen. Für mathematische Zeichen, Tätigkeiten und Eigenschaften muss es definierte Namen geben. Wie sprechen wir in der Algebra?

4 fachliche Hintergründe und Fachsprache
ist ein Term. a und b heißen Variablen. Wertebelegung: Man weist einer Variablen einen (Zahlen)wert zu. Geschieht dies mit allen Variablen im Term, kann man dessen (Zahlen)wert ausrechnen.

5 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Die beiden Terme sind gleichwertig. Definition: Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie bei allen Wertebelegungen der Variablen stets den gleichen (Zahlen)wert ergeben.

6 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Diese beiden Terme sind verschieden. Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig. Erinnerung an die Definition: Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie bei allen Wertebelegungen der Variablen stets den gleichen (Zahlen)wert ergeben.

7 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Diese beiden Terme sind verschieden. Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig. Problem: Durch unsere feste Wertebelegung der Variablen ergeben beide Terme zwar den gleichen Wert, aber die Terme sind nicht gleichwertig.

8 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Diese beiden Terme sind verschieden. Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig. Die Gleichung ist erfüllt. Der linke Term und der rechte Term haben durch die Werte-belegung der Variablen den gleichen Wert. Darauf basieren viele interessante Aufgaben in Termbaukasten 1.

9 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Diese beiden Terme sind verschieden. Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig. Der linke und der rechte Term haben durch die Werte-belegung der Variablen den gleichen Wert. Die Gleichung ist erfüllt.

10 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Diese beiden Terme sind verschieden. Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig. Das Wertepaar x = 15 cm ; c = 7,5 cm ist eine Lösung der Gleichung.

11 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Diese beiden Terme sind verschieden. Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig. Wir müssen uns klarmachen: Das Gleichheitszeichen kann verschiedene Bedeutungen haben! Ein einziger Begriff „gleich“ genügt nicht!

12 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Dies ist eine allgemeingültige Gleichung. Definition: Eine Gleichung heißt allgemeingültig, wenn mit jedem Variablenwert aus der Grundmenge die Gleichung erfüllt ist (der linke und der rechte Term den gleichen Wert haben).

13 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Dies ist eine allgemeingültige Gleichung. Eine Termumformung erzeugt aus dem linken Term den rechten. Beide Terme sind gleichwertig. Setzt man ein Gleichheitszeichen zwischen beide Terme, ist die so erzeugte Gleichung stets erfüllt, also allgemeingültig. Man hat „richtig gerechnet“.

14 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Dies ist eine allgemeingültige Gleichung. Diese Gleichung ist nicht allgemeingültig!

15 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Dies ist eine allgemeingültige Gleichung. Diese Gleichung ist nicht allgemeingültig! Diese Gleichung ist für x = 15 cm und c = 7,5 cm erfüllt (es entsteht eine wahre Aussage). Das Wertepaar ist eine Lösung. Für andere Werte-belegungen ist die Gleichung i.A. nicht erfüllt.

16 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Was wir berücksichtigen müssen: Wir führen Terme ein, noch keine Gleichungen. Dennoch müssen die Begriffe der Algebra schon zu Beginn auf das abgestimmt sein, was später kommt. Ein konsistentes System von Begriffen, eine konsistente Notation sind erforderlich.

17 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Exkurs: Diese beiden Gleichungen sind äquivalent. Definition: Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.

18 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Exkurs: Die Lösungsmenge dieser Gleichungen ist L = { 17 }. z = 17 ist Lösung der Gleichungen. Definition: Ein Wert der Variablen heißt Lösung, wenn mit dieser Wertebelegung der linke und der rechte Term den gleichen Wert besitzen.

19 fachliche Hintergründe und Fachsprache

20 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Vorschlag: Für Terme den Begriff gleichwertig verwenden. Für Gleichungen später den Begriff äquivalent verwenden. Obwohl „gleichwertig“ die Übersetzung von „äquivalent“ ist, werden die Begriffe als verschieden verstanden.

21 fachliche Hintergründe und Fachsprache
Vorschlag Für Terme den Begriff gleichwertig verwenden. Den Wert eines Terms (nach dem „Einsetzen von Variablenwerten“) und gleichwertige Terme unterscheiden. Verschiedene (nicht gleichwertige) Terme können für eine bestimmte Variablenbelegung den gleichen Wert besitzen.