Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-17.

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1 Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-17

2 Themen der Woche Einführung in die Wahrscheinlichkeitslehre Begriff der Wahrscheinlichkeit Axiomatische Definition und Folgerungen aus den Axiomen

3 Wahrscheinlichkeitslehre Anfänge Mitte des 17. Jh. (Huygens, Pascal, Fermat, Bernoulli). Aufgaben des Glücksspiels. Nur arithmetische und kombinatorische Methoden. Weiterentwicklungen im 18.-19. Jh. durch LaPlace, Gauss und Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Bevölkerungsstatistik. Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der W-theorie, Fundament in axiomatischen Aufbau (Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse (Wiener, Markoff, Chintchin), Partikelphysik. Heute zentraler Bestandteil wiss. Betätigung: Informations- und Kommunikationstheorie,Teilchenphysik, Bevölkerungsstatistik, Populationsdynamik,Epidemiologie, Dosis-Wirk-Diagnostik, Materialprüfung, Statik, Personalauswahl, psychologische Testung, Versuchsplanung und Stichprobentheorie.

4 Wahrscheinlichkeitslehre Die Wahrscheinlichkeitslehre befasst sich mit zufälligen Ereignissen Für diese Zufallsereignisse gilt: 1.Sie sind wiederholbar. 2.Sie besitzen eine Stabilität in der relativen Häufigkeit ihres Auftretens.

5 Wahrscheinlichkeitslehre Beispiel: Relative Häufigkeit für das Würfeln einer 6 in Abhängigkeit Von der Anzahl der Würfelversuche:

6 Begriffe: Stichprobenraum Zwei Ereignisse heissen paarweise unvereinbar (disjunkt), wenn gilt: Gilt: Und sind die B i paarweise unvereinbar, so lässt sich A in die Teilereignisse B i zerlegen. Wenn stets mindestens eines der B i eintritt, d.h. So bilden die B i ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse (Elementarereignisse), den Stichprobenraum. (unmögliches Ereignis) (sicheres Ereignis)

7 Begriffe: Ereignisalgebra Zu einem Stichprobenraum kann man eine sog. Ereignisalgebra konstruieren, die ein abgeschlossenes System von Ereignissen darstellt. Regel: Jedem Ereignis A, welches der Algebra U angehört, kann dann eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. Die Wahrscheinlichkeit ist also eine auf der Ereignisalgebra U definierte Funktion P(A). Bilde eine Menge U aus dem sicheren Ereignis, dem unmöglichen Ereignis und allen Ereignissen, die sich in Elementarereignisse zerlegen lassen. Beispiel: Zufallsdreieck mit 3 Seiten B 1,B 2,B 3

8 Die Kolmogoroff - Axiome Die auf U definierte Funktion P(A) besitzt folgende Eigenschaften: 1.Für jedes Ereignis A der Algebra U gilt : P(A) 0 2.Für das sichere Ereignis gilt: P( ) = 1 3.Läßt sich das Ereignis A in die unvereinbaren Teilereignisse B und C zerlegen und gehören alle 3 Ereignisse der Algebra U an, so gilt P(A) = P(B) + P(C) (Additionssatz der Wahrscheinlichkeiten). [Tafelbeispiele und Vertiefungen]

9 Folgerungen aus den Axiomen (Wahrscheinlichkeit des Komplements ist 1 minus die WK des Ereignisses) Es gilt ja für den Stichprobenraum : Und mit Axiom 2 folglich: Und mit Axiom 3 (Additionstheorem) dann: Woraus der Satz folgt.

10 Folgerungen aus den Axiomen Gilt A B, so folgt B lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A und B\A (B ohne A) schreiben: B = A B\A Da P(B\A) 0 Folgt der Satz. B\A A

11 P(A\B) = P(A) – P(A Folgerungen aus den Axiomen A lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A\B und A B schreiben: A = (A\B) (A B) Wegen des Additionstheorems folgt sofort Und hieraus folgt der Satz. A\B A B P(A) = P(A\B) + P(A B)

12 Folgerungen aus den Axiomen A B lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A\B und B schreiben: A B = (A\B) B Wegen des Additionstheorems folgt Wir zeigten aber vorher: P(A\B) = P(A) – P(A B). Einsetzen gibt: A\B B P(A B) = P(A\B) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) (allgemeiner Additionssatz) Und dies ist der allgemeine Additionssatz. P(A B) = P(A) – P(A B)+ P(B)