R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)

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1 R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister)
R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

2 Bäume Bäume gehören zu den wichtigsten Datenstrukturen: Entscheidungsbäume, Syntaxbäume, Ableitungsbäume, Codebäume, Suchbäume, ... Ein Baum ist ein azyklischer einfacher, zusammenhängender Graph, d. h. er enthält keine Schleifen und Zyklen: zwischen jedem Paar von Knoten besteht höchstens eine Kante Orientierter Baum: Ein orientierter Baum ist ein gerichteter, zusammenhängender und zyklenfreier Graph mit einem ausgezeichneten Knoten (Wurzel). Jeder Knoten im Graph ist von der Wurzel aus auf genau einem Weg erreichbar. (Vertikale Orientierung) (Orientierte) Bäume sind verallgemeinerte Listenstrukturen: Element (Knoten) hat i.a. mehrere Nachfolger (Söhne). Wurzel: einziger Knoten ohne Vorgänger Blätter: Knoten ohne Nachfolger Hier im Vordergrund: Verwendung von Bäumen zur Speicherung von Schlüsseln und Realisierung der Wörterbuchoperationen (Suchen, Einfügen, Entfernen) in Binärbäumen. R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

3 Begriffe Sei B ein Baum. Ordnung (Grad) von B: Maximale Anzahl von Nachfolgern eines Knotens Pfad der Länge k: Folge p0, ..., pk von Knoten, so daß gilt: pi Nachfolger von pi-1. Höhe eines Baums: maximaler Abstand eines Blattes von der Wurzel. Tiefe eines Knotens: Abstand zur Wurzel, d.h. Länge des Pfades von diesem Knoten bis zur Wurzel. Die Wurzel hat Niveau 0. Die Knoten auf dem Niveau i sind folglich alles Knoten mit der Tiefe i. Innere Knoten: Alle außer Blattknoten. Ein Baum der Ordnung n heißt vollständig, wenn alle Blätter dieselbe Tiefe haben und auf jedem Niveau die maximale Anzahl von Knoten vorhanden ist. R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

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6 Geordnete Bäume Baum B heißt geordnet, wenn Nachfolger jedes Knotens geordnet sind (1., 2., 3. etc.; linker, rechter). Bei einem geordneten Baum bilden die Unterbäume Bi jedes Knotens eine geordnete Menge. Eine geordnete Menge von geordneten Bäumen heißt Wald. Beispiel: Arithmetischer Ausdruck a * (b - c) + d/e - Graphendarstellung (Operatorbaum) - Klammerdarstellung {+, { *, { a }, {-, { b }, { c } } }, { /, { d }, { e } } } R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

7 Binärbäume Definition: Ein Binärbäum ist ein geordneter Baum, in dem jeder Knoten höchstens zwei Nachfolger besitzt (Ordnung 2). Ein Binärbaum ist eine endliche Menge von Elementen, die entweder leer ist oder ein ausgezeichnetes Element - die Wurzel des Baumes - besitzt und folgende Eigenschaften aufweist: - Die verbleibenden Elemente sind in zwei disjunkte Untermengen zerlegt. - Jede Untermenge ist selbst wieder ein Binärbaum und heißt linker bzw. rechter Unterbaum des ursprünglichen Baumes R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

8 Binärbäume (2) Satz: Die maximale Anzahl von Knoten eines Binärbaumes
(1) auf Stufe i ist 2i , i  0 (2) der Höhe h ist 2h , h  0 R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

9 . . Lsohn Rsohn R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

10 Binäre Suchbäume (natürliche Binärbäume)
Suchbaumbedingung: Für jeden Knoten k eines binären Suchbaums B gilt: Die Schlüssel im linken Teilbaum von k sind sämtlich kleiner als der Schlüssel S(k) von k, und dieser wiederum ist kleiner als sämtliche Schlüssel im rechten Teilbaum von k, d.h. falls die Teilbäume nicht nur aus einem Blatt bestehen gilt (1) S(w) < S(k) für alle Knoten w im linken Teilbaum von B, (2) S(w) >=S(k) für alle Knoten w im rechten Teilbaum von B. Definition: Ein binärer Suchbaum B =<K,w,S> für eine linear geordnete Menge M ist ein geordneter, binärer Baum B =<K,w> mit einer Abbildung S: K->M von der Knotenmenge K in die Schlüsselmenge M, die die Suchbaumbedingung erfüllt. R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

11 Wörterbuchoperationen
Annahme (Suchbaumbedingung): Für einen beliebigen Knoten k mit Schlüssel S(k) des Binärbaumes gilt: Alle im linken Teilbaum von k gespeicherten Schlüssel sind kleiner als S(k) und S(k) wiederum ist kleiner als alle Schlüssel im rechten Teilbaum von k. (1) Suche nach Schlüssel x: Die Suche nach einem Schlüssel x in einem Baum (Teilbaum) läuft nach folgendem rekursiven Schema ab: Man inspiziere den Wurzelknoten des Baumes. Falls x = Schlüssel des inspizierten Knotens: Suche beendet. Sonst: Falls x < Schlüssel des inspizierten Knotens: Setze Suche im linken Teilbaum fort. Falls x > Schlüssel des inspizierten Knotens: Setze Suche im rechten Teilbaum fort. Maximale Anzahl inspizierter Knoten: Tiefe des Baumes. Suche innerhalb der Knoten etwa durch lineares oder binäres Suchen zu realisieren. Da l m, ist Aufwand dafür konstant. R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

12 Wörterbuchoperationen (2) Einfügen eines Schlüssels
Folge von (paarweise verschiedenen) Schlüsseln der Reihe nach in den anfangs leeren Baum so einfügen, dass immer die Suchbaumbedingung erfüllt bleibt. Schema zum Einfügen von x: Suche nach Schlüssel x. FERTIG, falls dieser gefunden. Sonst: Suche endet an einem Knoten k mit maximal einem Teilbaum (der aber den Schlüssell nicht enthalten kann). Hänge an k einen neuen Knoten rechts oder links gemäß Suchbaumbedingung an und schreibe x in den neuen Knoten ein. Das folgende Programm leider nur in PASCAL. R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

13 Programm Einfügen eines Schlüssels
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14 Wörterbuchoperationen (3) Entfernen eines Schlüssels
Das Entfernen eines Schlüssels x gelingt nach folgendem Schema: Suche nach x. Falls x nicht gefunden STOP. Ansonsten gibt es (genau) einen Knoten k mit S(k) = x. Fälle: Knoten k ist ein Blattknoten: Entferne diesen. Knoten k hat nur einen nichtleeren Teilbaum: Entferne x aus Knoten k und mache diesen zur Wurzel des Teilbaumes. Knoten k hat zwei Teilbäume: Suche nach kleinstem Schlüssel im rechten Teilbaum B_r. Dieser liege im Knoten q mit Wert y. Ersetze den Schlüssel x des Knotens k durch y und entferne den Schlüssel y aus B_r (Fall 2, der linke Teilbaum von q ist ja leer.). R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.

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17 Iterative Version: Durchlaufbeispiel
Stapel S Current^ Aktion Ausgabe R. Der - Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (Magister). Kapitel 8: Bäume.