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WS 2006/07 6. Chaos-theoetische Konjunkturerklärung Endogene und reale (nicht-monetäre) Konjunkturerklärung Abgeleitet aus Naturwissenschaften/Mathematik.

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1 WS 2006/07 6. Chaos-theoetische Konjunkturerklärung Endogene und reale (nicht-monetäre) Konjunkturerklärung Abgeleitet aus Naturwissenschaften/Mathematik Blütezeit in den 1980er und 1990er Jahren Eher technische Erklärung der Instabilität dynamischer Systeme Keine klaren Politikempfehlungen 1 U van Suntum, Vorlesung KuB 1

2 WS 2006/07 KuB 7 Chaos-Theorie allgemein: Ein Beispiel*) *) cf. Ian Stewart, Spielt Gott Roulette? Chaos in der Mathematik, Basel u.a. 1990, S. 163 ff.; Heubes, Konjunktur u. Wachstum, a.a.O., S. 108 x t+1 = r x t (1 – x t ) x t+1 xtxt X max = 0,25 r 0,5 KuKuB 7 2 1,0 0 U van Suntum, Vorlesung KuB 2

3 WS 2006/07 KuB 7 Ableitung des Maximalwertes x t+1 = r x t (1 – x t ) x t+1 xtxt X max = 0,25 r 0,5 3 U van Suntum, Vorlesung KuB 3

4 WS 2006/07 KuB 7 x t+1 = r x t (1 – x t ) Ableitung des Fixpunktes (Gleichgewicht) x t+1 xtxt X max = 0,25 r 0,5 45 o x t+1 = x t Fixpunkt Existenz eines Gleichgewichts ist noch nicht hinreichend für seine Erreichung und Stabilität! 4 U van Suntum, Vorlesung KuB 4

5 WS 2006/07 KuB 7 x t+1 = r x t (1 – x t ) für 0 Konvergenz zum Fixpunkt für 3 Schwingungen (Bifurkationen) für 3,58 Chaos mit zwischenzeitlicher Regelmäßigkeit für r > 4 => Instabilität (Explosion) 45 o x t+1 xtxt Prinzipiell mögliche Punkte Fixpunkt (stabil, wenn Steigung der Kurve absolut < 1) Startwert X max = 0,25 r Y t+1 = aY t (1 – Y t ) 5 Chaosgleichungbeispiel.xls U van Suntum, Vorlesung KuB 5

6 WS 2006/07 KuB 7 a) Konvergenz (0 Fixpunkt = 0,6428 Startwert: x = 0,4 Fixpunkt: x = 0,6428 Zeitlicher Verlauf von x 6 U van Suntum, Vorlesung KuB 6

7 WS 2006/07 KuB 7 b) Bifurkationen (3 Fixpunkt x = 0,6875 start: x = 0,4 Bifurkationspunkte:*) x = 0, 7995 und x = 0,5130 *) numerisch ermittelt mit Excel-Solver: Bedingung: x t+1 = x t+3 und x t+2 = x t+4 7 Zeitlicher Verlauf von x U van Suntum, Vorlesung KuB 7

8 WS 2006/07 KuB 7 c) Chaos (3,58 Fixpunkt x = 0,7368 Start: x = 0,4 8 Zeitlicher Verlauf von x U van Suntum, Vorlesung KuB 8

9 WS 2006/07 KuB 7 d) Explosion ( r > 4); hier: r = 4,2 Start: x = 0,4 9 Zeitlicher Verlauf von x U van Suntum, Vorlesung KuB 9

10 WS 2006/07 KuB 7 Ökonomische Anwendung: Goodwin/Pohjola-Modell (1967/1981) (vgl. Heubes, Konjunktur und Wachstum) Löhne w (und Lohnquote u = W/Y) steigen mit Einkommen Y Wachstumsrate g Y sinkt mit steigender Lohnquote u (1 – u) g u g u 10 U van Suntum, Vorlesung KuB 10

11 WS 2006/07 KuB 7 Annahmen im Einzelnen: Leontief Produktionsfunktion => g ist Wachstumsrate von Y, K und N Klassische Sparfunktion: Gewinne G werden gespart, Löhne W konsumiert kein technischer Fortschritt, Arbeitsangebot konstant Löhne steigen mit Beschäftigung und Arbeitsproduktivität Variable: I = Investition, K = Kapitalstock, N = Arbeit, k = Kapitalkoeffizient K/Y, w = Lohnsatz, d = Parameter der Lohnanpassung, N * = Gleichgewichtsbeschäftigung (= Fixpunkt im Chaosmodell) 11 U van Suntum, Vorlesung KuB 11

12 WS 2006/07 KuB 7 Formale Ableitung des Goodwin/Pohjola-Modells Chaos für k < 0,39 12

13 WS 2006/07 KuB 7 Verbale Erklärung: Investition ist proportional zu Gewinnquote (1-u) (da alle Gewinne gespart werden) => siehe Gl. 1 Beschäftigung ist proportional zu Y wg. Leontief-Produktionsfunktion => Gl. 2 hohes beschäftigungsniveau und hohe Arbeitsproduktivität steigern N => Gl. 3 Modell kulminiert in einer einzigen (Differenzen-)Gleichung => Gl. 6 bzw. 7 Somit ist es determiniert bei gegebenem Startwert N und gegebenem N * empirisch testbar mit autoregressiven Methoden (man braucht nur N t, N t-1 etc.) KuKuB 7 13 Chaosgleichungbeispiel.xls U van Suntum, Vorlesung KuB 13

14 WS 2006/07 KuB 7 Verhalten des Goodwin/Pohjola-Modells für k < 0,39 (hier k = 0,38) Beschäftigung N(t) KuKuB 7 14 U van Suntum, Vorlesung KuB 14

15 WS 2006/07 KuB 7 Gedämpfte Schwingungen für k >> 0,4Bifurkationen für k > 0,4 (hier: k = 0,6) Beschäftigung N(t) Fazit: anything goes… 15 U van Suntum, Vorlesung KuB 15 Verhalten des Goodwin/Pohjola-Modells für k > 0,39:

16 WS 2006/07 KuB 7 Kritische Würdigung der Chaostheorie Stärken: Erklärt chaotisches Verhalten schon einfachster dynamischer Systeme Leicht in ökonometrische Tests überführbar (Autoregression) Beleuchtet relevante Zusammenhänge zwischen Verteilung, Konsum, Investition und Konjunktur Schwächen: Zu technisch, relativ geringer ökonomischer Erklärungsgehalt Wirtschaftspolitische Schlußfolgerungen unklar Einseitige Konjunkturerklärung, bestenfalls ein Baustein komplexerer Modelle 16 U van Suntum, Vorlesung KuB 16

17 WS 2006/07 KuB 7 Lernziele/Fragen Wie ist Chaos im mathematischen Sinne definiert? Was ist der Fixpunkt eines dynamischen Systems? Was versteht man unter Bifurkationen? Woher kommt die Dynamik im Goodwin/Pohjola-Modell? Was versteht man unter einer klassischen Sparfunktion? Wie reagiert die Lohnquote typischerweise im Konjunkturzyklus? Wie beeinflußt die Einkommensverteilung die Konsumnachfrage? 17 U van Suntum, Vorlesung KuB 17

18 WS 2006/07 KuB 7 Übungsaufgabe: KuKuB 7 18 Angenommen sei die folgende Differenzengleichung für die Gesamtnachfrage: Der Parameter a habe den Wert )Wie hoch ist das maximal erreichbare Einkommen? 2)Wie hoch ist das Gleichgewichtseinkommen?


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