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1 Fraktale II. 2 Der Star des Abends: 3 Fraktale: Der Plan Großer Rückblick auf Fraktale I Iteration: Feigenbaum Mandelbrot und Juliamengen Newtonfraktale.

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Präsentation zum Thema: "1 Fraktale II. 2 Der Star des Abends: 3 Fraktale: Der Plan Großer Rückblick auf Fraktale I Iteration: Feigenbaum Mandelbrot und Juliamengen Newtonfraktale."—  Präsentation transkript:

1 1 Fraktale II

2 2 Der Star des Abends:

3 3 Fraktale: Der Plan Großer Rückblick auf Fraktale I Iteration: Feigenbaum Mandelbrot und Juliamengen Newtonfraktale Stellenwert der fraktalen Geometrie

4 4 Geometrie, eine kurze Geschichte Vom Geraden zum Krummen, Vom Einfachen zum Komplizierten

5 5 Euklid 325 – 265 v.Chr. Geometrie der Punkte, Geraden, Dreiecke, Kreise,… Links: Raphael, die Schule von Athen

6 6 Desargues 1591 – 1661 Projektive Geometrie

7 7 Mantegna, um 1500

8 8 Descartes Analytische Geometrie

9 9 Gauss 1777 – 1855 Geometrie der gekümmten Flächen Nichteuklidische Geometrien

10 10 Riemann 1826 – 1866 Riemannsche Geometrie

11 11 Poincaré Topologie, Geometrie der Verformungen Mit vielen Mitstreitern

12 12 Hilbert 1862 – 1943 Grundlagen der Geometrie (1899) Axiomatische Theorie

13 13 Mandelbrot Geb Fraktale, Geometrie des Verfransten

14 14 Ein Problem Unterschiedliche Geometrien

15 15 Ein weiteres Beispiel Farn: Verfranst, selbstähnlich Tulpe: Glatt

16 16 Das Problem: Was unterscheidet einen Blumenkohl von einer Kugel? Was unterscheidet einen Farn von einer Tulpe?

17 17 Warhol: Pollock:

18 18 Salvatore Dali

19 19 Was sind Fraktale? Cantormenge

20 20 Cantormenge

21 21 Sierpinski-Korb

22 22 Mengers Schwamm

23 23 Pythagorasfraktal

24 24 Keine Fraktale

25 25 Fraktale in C

26 26

27 27

28 28 Barnsleys Farn

29 29 Ein Farn aus dem Saarland

30 30 Was sind Fraktale?

31 31 Was sind Fraktale? Fraktale sind geometrische Objekte: Selbstähnlich, verfranst, mit komplizierten Rändern

32 32 Selbstähnlichkeit Vergrößerungen von Teilen sehen aus wie das Ganze Zwei Beispiele: –Das Schmidt-Fraktal –Der Farn von Barnsley

33 33 Schmidt-Fraktal 1

34 34 Schmidt-Fraktal 2, 3

35 35 Barnsleys Farn

36 36 Verfranstheit Schwierig, lange diskutiert. Lösung: Fraktale Dimension

37 37 Dimensionsbegriffe Vektorraumdimension Topologische Dimension Hausdorffdimension

38 38 Topologische Dimension (Brouwer) Punkt: 0-dimensional Kurve: 1-dimensional Fläche: 2-dimensional Körper: 3-dimensional

39 39 Hausdorff 1868 – 1942 Grundzüge der Mengenlehre

40 40 Hausdorffs Überdeckungsdimension: Überdeckungen bei Maßstabsänderungen. Hier Flächenmaße, 2-dimensional 1 m 2 = 10 2 dm 2 = cm 2

41 41 Eindimensional p=5 kleine Längeneinheiten N=5 Überdeckungen

42 42 Zweidimensional p = 4 kleine LE N = 16 = 4 2 ÜD

43 43 Zweidimensional p = 2 kleine LE N = 4 = 2 2 ÜD

44 44 Dreidimensional p = 3 LE N = 27 = 3 3 ÜD

45 45 Beliebige Dimension N = Anzahl der Überdeckungen p = Teile der Einheit N = p d (näherungsweise für alle p) DimpN dppdpd

46 46 Dimensionsbestimmung Wähle p, zähle N

47 47 Fraktale Dimension

48 48 Ein klassisches Monster

49 49 Klassisches Cantormonster

50 50 Koch-Kurve (1905)

51 51 Sierpinski-Dreieck

52 52 Mengers Schwamm (1926)

53 53 Wie entstehen Fraktale? (Kochkurve)

54 54 Methode I: Ersetzen

55 55 Methode 2: Multikopieren

56 56 Methode 3: Ausschneiden

57 57 Ein Riesenproblem Die Endprodukte sehen gleich aus. Sind sie auch gleich?

58 58 Wo leben die Fraktale? Man braucht einen vollständigen metrischen Raum. Die kompakten Teilmengen werden mit der Hausdorff-Metrik versehen. In dem entstehenden vollständigen metrischen Raum fühlen sich die Fraktale pudelwohl.

59 59 Fraktale und Iteration Reelle quadratische Funktionen: Verhuelst, Feigenbaum Komplexe quadratische Funktionen: Mandelbrot, Julia, Fatou

60 60 Verhuelst/Feigenbaum: Das logistische System Verhuelst: Einfaches Bevölkerungsmodell Feigenbaum: Untersuchung mit Computern

61 61 Das Modell Wachstum einer Bevölkerung x n = Population im n-ten Jahr Maximum der Population = 1

62 62 Logistisches Modell Annahmen: x n+1 x n x n+1 1 – x n Also: x i+1 = r x i (1 – x i ) r = Fruchtbarkeitsparameter

63 63 Einfache Mathematik: x n+1 = f(x n ), f(x) = rx(1-x), 0

64 64 Verhuelst: Start: 0,25, r = 1

65 65 Verhuelst: Start: 0,25, r = 2

66 66 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,3

67 67 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,5

68 68 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,6

69 69 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,9

70 70 Verhuelst: Start: 0,25001, r = 3,9

71 71 Das Feigenbaumdiagramm Wie entwickelt sich die Population nach langer Zeit für verschiedene Fruchtbarkeiten r?

72 72 Nach tausend Perioden 0 < r< 4

73 73 Nach tausend Perioden 3 < r< 4

74 74 Nach 2000 Perioden: r > 3,5

75 75 Nach 2000 Perioden: r > 3,8

76 76 Ähnlich im Komplexen: f(z) = z 2 + c z i+1 = f(z n ) Startwert: z 0 (häufig 0), c komplexe Zahl Wie entwickelt sich z n für verschiedene c?

77 77 Die Zahl z = 3 + 2i

78 78 Die Gausssche Zahlenebene

79 79 Rechnen in C Addition, Subtraktion, Multiplikation: Ohne Probleme. Division leicht schwieriger. Geometrisch interpretierbar. Beispiel: Addition

80 80 Geometrische Addition

81 81 Eigenschaften von C C ist Körper: Man kann ungeniert rechnen. C ist vollständig: Die Ebene ist ohne Löcher. x 2 +1 = 0 ist in C lösbar. C ist nicht angeordnet! C ist bewertet, dies sind bestimmte Eigenschaften des Abstandes der Zahlen zum Nullpunkt. C ist dadurch einzigartig.

82 82 Quadratische Iteration in C f(z) = z 2 + c z n+1 = f(z n ) Startwert: z 0 (häufig 0), c komplexe Zahl Wie entwickelt sich z n für verschiedene c?

83 83 Was kann passieren? f(z) = z 2 + c z n+1 = f(z n ), Startwert z 0 gegeben (z n ) kann –konvergieren –gegen Unendlich gehen –periodisch sein –chaotisch sein

84 84 Beispiel: z 0 = 0, f(z) = z 2 +1/8

85 85 Beispiel: z 0 = 0, f(z) = z 2 +1 nz n

86 86 Mandelbrotmenge M f(z) = z 2 +c, abhängig von z 0 M ideal (z 0 )= {c|z n hat einen Grenzwert} M real (z 0 ) = {c| |z 1000 | < 2} (vereinfacht)

87 87 M(0) (nach Zeitler u.a.)

88 88 Farben: Farbwert abhängig von der Anzahl der Iterationen, bis |z n |2: Ballistische Fraktale Einige Beispiele:

89 89 M, z 0 = 0

90 90 M, z 0 = 0,5

91 91 M, z 0 = -0,5

92 92 M, z 0 = -0,5i und z 0 = 0,5i

93 93 Eigenschaften von M(0) Symmetrie bzgl. der reellen Achse Schnitt mit R = [-2,1/4] M(0) ist einfach zusammenhängend (keine Inseln, keine Löcher) Der Rand ist fraktal, fraktale Dimension 2

94 94 Andere Farben:

95 95

96 96 Andere Farben:

97 97 Julia 1893 – 1978 Arbeiten über Iteration reeller Funktionen

98 98 Juliamenge J f(z) = z 2 + c, abhängig von c J ideal (c) = {Startwerte| z n hat einen Grenzwert} J real (c) = {Startwerte| |z 1000 | < 2}

99 99 J(0,3+i0,6)

100 100 J(1)

101 101 J(-1)

102 102 J(i)

103 103 J-Mengen (Wikipedia)

104 104 Eigenschaften von J-Mengen Jede J-Menge ist nicht leer, kompakt, perfekt (gleich der Menge ihrer Häufungspunkte). Die Ränder sind fraktal.

105 105 J und M-Mengen Starker innerer Zusammenhang M(0) enthält einen Katalog aller J-Mengen

106 106 M- und J-Mengen (Zeitler)

107 107 Eine Verallgemeinerung

108 108 Newtonfraktale

109 109 Newton

110 110 Newton-Verfahren Näherungsweise Bestimmung von Nullstellen einer Funktion Klappt auch in C

111 111 Aus dem FS: Es gibt drei dritte Wurzeln von 1

112 112 N-Verfahren für z 3 – 1 =0 Farbgebung nach Divergenz- Geschwindigkeit Die Ränder der Newtonmenge sind fraktal

113 113 N(z 3 -1)

114 114 N(z 3 -1) (Zoom)

115 115 Anwendung I: Bildkompression Aus 10 MB Tiff werden –3 MB BMP –500 KB GIF –100 KB JPG –70 KB FIF, beliebig skalierbar

116 116 Anwendung II: Virtuelle Welten Beispiel: Krieg der Sterne Anbieter: George Lucas

117 117 Weitere Anwendungen Druckersteuerung Wie überstehen Bäume Stürme? Fraktale Unternehmen? (Warnecke) Vorhersagen (Börsenkurse) Lindenmayer-Systeme

118 118 Lindenmayer-Systeme

119 119

120 120 Versuch einer Wertung Fraktale Geometrie: Gut zum Beschreiben, schlecht zum Erklären. Fraktale und Chaos (dynamische Systeme): Fraktale: Der geometrische Aspekt Chaos: Der dynamische Aspekt

121 121 Versuch einer Wertung Fraktale Geometrie: Nicht mehr in, kaum neue Literatur, kaum neue Anwendungen. Chaos: Äußerst lebendig, hochkarätige Forschung.

122 122 Versuch einer Wertung Fraktale auf dem Computer: Sehr aktive Szene, Wettbewerbe, Ausstellungen im Internet. Auch fraktale Musik, Videos (Reisen durch Fraktale)

123 123 Literaturtipps Zeitler/Pagon: Fraktale Geometrie Vieweg24,90 Peitgen u.a.: The Beauty of Fractals Springer ,34 Peitgen u.a:Bausteine des Chaos Fraktale Mandelbrot:Die fraktale Geometrie der Natur Birkhäuser 28,00

124 124 Wenn Sie mehr wissen wollen Da werden Sie geholfen. Spanky-Homepage Clifford Pickover Computergrafik an der TU Wien

125 125 Windowsprogramme Fractint (DOS-Version) Winfract Fdesign Ultrafract Xfract

126 126 Noch einige Fraktale

127 127 Oder

128 128

129 129

130 130

131 131

132 132

133 133

134 134 Zum Ende: Herzlichen Dank, auf fraktalisch, im Dialekt der IFS

135 135 Herzlichen Dank (auf fraktalisch)


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