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Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 3. Vorlesung Evolutionsstrategie I Globale und lokale Optimumsuche Vier elementare Strategien auf dem Prüfstand Weiterverwendung.

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1 Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 3. Vorlesung Evolutionsstrategie I Globale und lokale Optimumsuche Vier elementare Strategien auf dem Prüfstand Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

2 Q x ? Strategie Versuchsobjekt Qualitätsmessung Verstellbarkeit Experimentierkreis 4 Strategien 1. Globale deterministische Suche 2. Globale stochastische Suche 3. Lokale deterministische Suche 4. Lokale stochastische Suche

3 Suche nach dem Optimum Bei schwach kausalem Weltverhalten Bei stark kausalem Weltverhalten Konstruktion einer additiven Einbahnstraße zum Berggipfel

4 1. Globale deterministische Suche Systematisches Scannen des Versuchsfeldes Beispiel: 80 Variable mit je 10 diskreten Einstellstufen = Zahl der Elementarteilchen im Weltall

5 2. Globale stochastische Suche Zielfindung mit 95% Wahrscheinlichkeit

6 Rechnung mit Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Versuch Ziel getroffen:1. Versuch Ziel nicht getroffen:2. Versuch Ziel nicht getroffen: 3. Versuch Ziel nicht getroffen: G. Versuch Ziel nicht getroffen: G. Versuch Ziel getroffen: Für n Variable Für W z = 0.95 Text

7 1. Globale deterministische Suche 3. Lokale deterministische Suche 2. Globale stochastische Suche 4. Lokale stochastische Suche

8 Zurückgelegter Weg bergan Zahl der Versuche Definition der Fortschrittsgeschwindigkeit

9 Linearitätsradius Fortschritt 3. Lokale deterministische Suche Folgen des steilsten Anstiegs Zurückgelegter Weg bergan Zahl der Versuche

10 Arbeitsschritt der Länge in Richtung des steilsten Anstiegs am Beispiel für 3 Dimensionen: Gradientenstrategie

11 Linearitätsradius 4. Lokale stochastische Suche Zufallsdriften entlang des steilsten Anstiegs 1. Nachkomme 2. Nachkomme Elter

12 Plus-Nachkomme Minus-Nachkomme Statistisches Mittel des Fortschritts Bestimmung des linearen Fortschritts Elter Linearitätsradius Schwerpunkt +

13 Plus-Nachkomme Minus-Nachkomme Statistisches Mittel des Fortschritts Elter Linearitätsradius Schwerpunkt + Fortschrittsgeschwindigkeit: Weil die Hälfte der Kinder Misserfolge sind ! s 2 r r

14 2 Dim. 3 Dim. n Dim. srsr srsr srsr Schwerpunkt ?

15 Plus-Nachkomme Minus-Nachkomme Statistisches Mittel des Fortschritts Bestimmung des linearen Fortschritts Linearitätsradius Schwerpunkt Elter +

16 Plus-Nachkomme Minus-Nachkomme Statistisches Mittel des Fortschritts Linearitätsradius Schwerpunkt Elter + Fortschrittsgeschwindigkeit: Weil die Hälfte der Kinder Misserfolge sind ! s 2 v v

17 2 Dim. 3 Dim. n Dim. svsv svsv Schwerpunkt r ? svsv r

18 Aufgabe: 1. Berechnung des Schwerpunkts einer n -dimensionalen Halbkugelschale 2. Berechnung des Schwerpunkts einer n -dimensionalen Vollhalbkugel Was ist eine n -dimensionale Kugel - Hyperkugel ? Was ist ein n -dimensionaler Würfel - Hyperwürfel ?

19 Hyperraum aus der Sicht eines Künstlers

20 Strecke – Quadrat – Würfel– Tesserakt Der Weg zum n-dimensionalen Würfel

21 Die Fortentwicklung einer konstruktiven mathematischen Idee Hyperwürfel a a a a a a Was ist eine n-dimensionale Kugel ? Genannt: Stecke FlächeVolumen Hypervolumen Beispiel: Strecken-Flächen- Volumen-Element

22 Entfernung D zweier Punkte Analoge Extrapolationsidee für die Die konstruktive Idee einer n -dimensionalen Kugeloberfläche: Alle Punkte P 2, die von dem Punkt P 1 die gleiche Entfernung R haben. D

23 Zurück zur Aufgabe: 1. Berechnung des Schwerpunkts einer n -dimensionalen Halbkugelschale 2. Berechnung des Schwerpunkts einer n -dimensionalen Vollhalbkugel

24 Paul Guldin (1577 – 1643) Die 1. Guldinsche Regel Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360 Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die Oberfläche der Rotationsfläche gleich der Länge der erzeugenden Kurve mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Kurve.

25 Paul Guldin (1577 – 1643) Die 1. Guldinsche Regel Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360 Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die Oberfläche der Rotationsfläche gleich der Länge der erzeugenden Kurve mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Kurve. Ein Halbkreis erzeugt durch Rotation um 360° eine Kugel. Dann ist die Oberfläche der Kugel gleich der Länge des Halbkreislinie ( r ) mal dem Rotationsweg des Schwerpunkts des Halbkreislinie. Beispiel: Halbkreislinienschwerpunkt Halbkreis mit dem Radius r Schwerpunktsweg s KreisKugel UsO

26 Paul Guldin (1577 – 1643) Die 2. Guldinsche Regel Eine Fläche erzeugt durch Rotation um 360 Grad einen Rotationskörper. Dann ist das Volumen des Rotationskörpers gleich dem Inhalt der erzeugenden Fläche mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Fläche.

27 Paul Guldin (1577 – 1643) Die 2. Guldinsche Regel Eine Fläche erzeugt durch Rotation um 360 Grad einen Rotationskörper. Dann ist das Volumen des Rotationskörpers gleich dem Inhalt der erzeugenden Fläche mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Fläche. Halbkreisflächenschwerpunkt Halbkreis mit dem Radius r Schwerpunktsweg s Ein Halbkreis erzeugt durch Rotation um 360° eine Kugel. Dann ist das Volumen der Kugel gleich dem Inhalt des Halbkreisfläche ( 1/2 r 2 ) mal dem Rotati- onsweg des Schwerpunkts der Halbkreisfläche. Beispiel: KreisKugel FsV

28 gedeutet als 1 Dimension 2 Dimensionen 3 Dimensionen 4 Dimensionen

29 Oberfläche einer n -dimensionalen Kugel Volumen einer n -dimensionalen Kugel ( m ) = ( m – 1) ! für ganzzahlige m ( x +1) = x ( x ), (1) = (2) = 1, (1/2) = Zur Gammafunktion (verallgemeinerte Fakultät)

30 Es gilt die asymptotische Formel: für n >> 1 für große n Randverteilte Zufallszahlen Volumenverteilte Zufallszahlen Text

31 Zur Geometrie der n-dimensionalen Kugel Text

32 Gradienten Strategie kontra Evolutionsstrategie Für n >> 1 Evolutionsstrategie Gradientenstrategie Text

33 Der Dumme, der einfach losgeht, kommt weiter als der Schlaue, der sitzen bleibt und sich vor lauter Nachdenken nicht entscheiden kann. Motto des Evolutionsstrategen

34 Ende

35 Eine ähnliche Aufgabe: Ein Würfel wird 4 mal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Sechs fällt? – Aufgaben, in denen das Wort mindestens vorkommt, behandelt man am besten über die Negation. Die Negation von mindestens eine Sechs ich keine Sechs. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Wurf keine Sechs zu werfen ist 5/6. Die Wahrscheinlichkeit von 4 mal hintereinander keine Sechs ist (5/6) 4. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei vier Würfen mindestens eine Sechs zeigt: 1 – (5/6) 4 = 0,518

36 Eine sehr wichtige Aussage der Theorie: Zwei völlig verschiedene Verteilungen der Mutationen (gleichmäßig am Kugelrand und gleichmäßig im Kugelvolumen) ergeben für viele Variable n das gleiche Ergebnis. Das heißt, es lohnt sich nicht, über Vor- und Nachteile verschiedener Mutationsverteilungen zu sinnieren.

37 Das Diagramm zeigt, dass in einer hochdimensionalen Hyperkugel sich das Volumen fast ausschließlich an der Oberfläche der Kugel konzentriert. Das Innere einer Hyperkugel hat nur sehr wenig Volumen. Ein gleichverteilter Zufalls- punkt wird sich deshalb mit großer Wahrscheinlichkeit immer am äußeren Rand der Hyperkugel befinden.

38 Die Theorie zeigt: Eine planvoll durchdachte Handlungsweise zum Folgen des Gra- dientenweges (Gradientenstrategie) muss nicht notwendigerweise effektiver sein als die Diffusion bergauf durch eine Reihe spontan ausgeführter kleiner Zufalls- schritte. Man muss den Gesamtaufwand sehen. Die Gradientenstrategie benötigt n Vorversuche (genau n +1), die zunächst noch keinen Fortschritt erbringen. Erst nachdem die Informationen gesammelt wurden folgt der eigentliche Arbeitsschritt, der nun allerdings den größtmöglichen Gewinn erbringt. Bei der Evolutionsstrategie ist es umgekehrt. Die Chance für eine großen Gewinn ist bei einem Zufallsschritt gering. Ein kleiner Gewinn tritt aber im Mittel jedes 2. Mal auf. Fazit: Die vielen Hilfsoperationen bei einen ausgeklügelten Strategie können zu einer größeren Verlangsamung des Fortschritts führen als die unvermeidlichen Abweichungen eines Zufallsschrittes (im linearen Fall ist ja jeder 2. Schritt im Mittel erfolgreich) von der optimalen Fortschrittsrichtung


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