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1M. Kresken Univariate Statistik. 2M. Kresken Graphische Darstellung Kreisdiagramm Stabdiagramm (Säulen-, Balkendiagramm) Histogramm.

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Präsentation zum Thema: "1M. Kresken Univariate Statistik. 2M. Kresken Graphische Darstellung Kreisdiagramm Stabdiagramm (Säulen-, Balkendiagramm) Histogramm."—  Präsentation transkript:

1 1M. Kresken Univariate Statistik

2 2M. Kresken Graphische Darstellung Kreisdiagramm Stabdiagramm (Säulen-, Balkendiagramm) Histogramm

3 3M. Kresken Häufigkeit des Geschlechts für n=55 Probanden

4 4M. Kresken Kreisdiagramm

5 5M. Kresken Häufigkeit der Geschwisterkinder bei n=55 Probanden

6 6M. Kresken Stabdiagramm

7 7M. Kresken Histogramm Zur Darstellung eines stetigen (auf einer metrischen Skala gemessenen) Merkmals Dazu wird die Messskala in Bereiche, die sogenannten Klassen, aufgeteilt. Klassen müssen den gesamten Wertevorrat überdecken (Vollständigkeit). Klassen dürfen sich nicht überschneiden (Disjunktheit). Insbesondere ist festzulegen, zu welcher Klasse die einzelnen Klassengrenzen gehören.

8 8M. Kresken Histogramm Wird die untere Klasse zugeordnet linksgeschlossen Darstellung: [a 1, a 2 ) zur Klasse gehören alle Werte ab a 1 bis unterhalb a 2 Wird die obere Klasse zugeordnet rechtsgeschlossen Darstellung: (a 1, a 2 ] zur Klasse gehören alle Werte oberhalb von a 1 bis einschließlich a 2

9 9M. Kresken Häufigkeiten des systolischen Blutdrucks der n=55 Probanden

10 10M. Kresken Histogramm

11 11M. Kresken Empirische Verteilungsfunktion Die Klassenbildung bedeutet eine Zusammenfassung der Messergebnisse und damit eine Reduzierung der Information über den konkreten Daten. Eine graphische Veranschaulichung der Orginal- Messergebnisse eines quantitativen Merkmals ist die empirische Verteilungsfunktion. Dazu werden zu den Messwerten, die auf der Abszisse angegeben sind, die zugehörigen Summenhäufigkeiten auf der Ordinate angetragen. Die entstehenden Punkte werden durch eine Treppenfunktion miteinander verbunden.

12 12M. Kresken Empirische Verteilungsfunktion

13 13M. Kresken Kenngrößen

14 14M. Kresken Kenngrößen Ziel ist es, typische Eigenschaften einer Messreihe mit wenigen Zahlen zu beschreiben. Dadurch wird bewusst eine radikale Reduktion der in den konkreten Daten enthaltenen Information angestrebt. Zur Beschreibung der Verteilung von Messwerten sollte immer ein Lagemaß und ein Streuungsmaß angegeben werden.

15 15M. Kresken Lagemaße Mittelwert Quantile Median Modalwert Streuungsmaße Spannweite Standardabweichung/ Varianz Quartilsabstand Variationskoeffizient Box-Whisker Plot

16 16M. Kresken Lagemaße (Lageparameter) Beschreiben die zentrale Tendenz der Daten

17 17M. Kresken Mittelwert Mittelwerte

18 18M. Kresken Mittelwert x = _ x 1 + x x n n = 1 n n j=1 xjxj Beschreibt den Schwerpunkt der Messwerte, wobei jeder einzelnen Beobachtung das gleiche Gewicht 1/n zukommt. Arithmetischer Mittelwert

19 19M. Kresken Mittelwert Mittelwert der Blutzuckerkonzentrationen von n = 52 Probanden -Berechnung des Mittelwertes: x = _ =92,4 Arithmetischer Mittelwert

20 20M. Kresken Mittelwert Geometrischer Mittelwert: -Werte: 0,25, 0,5, 1, 2, 4, 8, 16 xlog 2 xlog 2 x + 9 0,250,25 = 2 -2 log 2 0,25 = – = 7 0,50,5 = 2 -1 log 2 0,5 = – = 8 11 = 2 0 log 2 1 = = 9 22 = 2 1 log 2 2 = = = 2 2 log 2 4 = = = 2 3 log 2 8 = = = 2 4 log 2 16 = = 13

21 21M. Kresken Mittelwert Geometrischer Mittelwert: -Transformierte Werte (log 2 x + 9): 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 x = _ =10 Rücktransformation: 10 – 9 = 1 1 = log = 2 Mittelwert: 2

22 22M. Kresken Quantile, Median Ein p-Quantil ist dadurch gekennzeichnet, dass mindestens der Anteil p der Werte kleiner oder gleich diesem Wert ist. x, das 0,5-Quantil, Median genannt Q 1, das 0,25-Quantil, unteres Quartil genannt Q 3, das 0,75-Quantil, oberes Quartil genannt Die 0,1-, 0, ,9-Quantile heißen Dezile. Die 0,01-, 0, ,09-Quantile heißen Percentile. ~

23 23M. Kresken Quantile, Median Das p-Quantil lässt sich aus der Rangliste von n Messwerten bestimmen. Zunächst wird das Produkt n x p berechnet. Ist n x p keine ganze Zahl, so ist das p-Quantil der k-te Wert x (k) der Rangliste, wobei k die auf n x p folgende ganze Zahl ist. Falls n x p eine ganze Zahl ist, so wird zur Bestimmung des p-Quantils zwischen den Werten x (n x p) und x (n x p + 1) interpoliert. ( x (n x p) + x (n x p + 1) ) 1 2

24 24M. Kresken Quantile, Median Median und Quartile der Blutzuckerkonzentrationen von n = 52 Probanden -Berechnung des Medians: Position in der Rangliste n x p = 52 x 0,5 = 26 Da 26 eine ganze Zahl ist, errechnet man den Median als den mittleren Messwert zwischen dem 26. und 27. Messwert der Rangliste. Der mediane Blutzuckerwert beträgt ( ) / 2 [mg/100 ml] = 91 [mg/100 ml]

25 25M. Kresken Quantile, Median Median und Quartile der Blutzuckerkonzentrationen von n = 52 Probanden -Berechnung des unteren Quartils: Position in der Rangliste n x p = 52 x 0,25 = 13 Da 13 eine ganze Zahl ist, errechnet man das untere Quartil als den mittleren Messwert zwischen dem 13. und 14. Messwert der Rangliste. Q 1 = ( ) / 2 [mg/100 ml] = 86 [mg/100 ml] -Berechnung des oberen Quartils: Q 3 = ( ) / 2 [mg/100 ml] = 96 [mg/100 ml]

26 26M. Kresken Quantile, Median Median der Körpergröße von n = 53 Probanden -Berechnung des Medians: Position in der Rangliste n x p = 53 x 0,5 = 26,5 Da 26,5 keine ganze Zahl ist, ist der 27. Messwert der Rangliste der Median Der mediane Körpergröße beträgt 172 cm

27 27M. Kresken Modalwert Der Modalwert ist der Messwert mit der größten absoluten Häufigkeit. Er ist nur sinnvoll, wenn er eindeutig ist. Modalwert der Blutzuckerkonzentrationen von n = 52 Probanden: -Die Werte 84 und 92 wurden jeweils sechs mal bestimmt. -Der häufigste Messwert ist nicht eindeutig und der Modalwert damit nicht bestimmbar.

28 28M. Kresken Modalwert, Median, Mittelwert Der Modalwert ist ein sehr einfach bestimmbares Lagemaß. Der Vorteil des Medians gegenüber dem Mittelwert liegt vor allem darin, dass er durch einzelne Ausreißer nicht beeinflusst wird. Insofern ist der Median ein robustes Maß. Ein Vorteil des Mittelwertes besteht darin, dass mit ihm Rechenoperationen durchgeführt werden können.


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