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Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz 18.07.2007 & 25.06.2007.

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Präsentation zum Thema: "Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz 18.07.2007 & 25.06.2007."—  Präsentation transkript:

1 Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz &

2 Methoden der Psychologie Allgemeines Nach der Overall-Signifikanz die Ergebnisse der Wirkungsweise explorieren. Trends sind definierbar, wenn die Stufen der UVs metrische Levels (Dosen, Zeiten, Anzahlen) repräsentieren, nicht jedoch bei kategorialen UVs. Einfach zu interpretieren sind orthogonale Trendpolynome. Jede Ordnung des Polynoms liefert eine orthogonale Trendkompo- nente, dessen Varianzanteil getrennt bestimmt und getest werden kann. Ermöglicht Prognose des Erreichens von Kriterien. Trendtests in ANOVA und rm ANOVA Signifikanz des Faktors, unter dem Trends vermutet werden. In rm Designs die üblichen Voraussetzungen der rm ANOVA (paarweise homogene Varianz-Covarianzmatrizen (streng), bzw. Homogene Varianzen der Abweichungen von Zellen (Spherizität), Normalverteilung). Voraussetzung Univariates Testen ANOVA & rm ANOVA

3 Methoden der Psychologie Beispiel Ein Dosierungsfaktor mit k- Stufen, k > 5 oder Messwiederholungen über mind. 5 Zeitpunkte monoton steigender oder fallender Gesamtverlauf Strategie: 1. Absichern des Trends 2. Mit gezielten Einzelvergleichen Effekt gegen Baseline absichern 3. Superposition der signifikanten Trendkomponenten zur Trendberechnung und Kriteriumsvorhersage verwenden Prototypische Datensituation Univariates Testen Trendtests pm0.2 pm0.4 pm0.6 pm0.8 pm1.0 pm Alkohohl-Dosis Anzahl Fahrfehler quadratisch linear Mittelwerte mit Konfidenzintervallen

4 Methoden der Psychologie Trendpolynom Lineares Polynom: Anpassungsgerade Ein quadratisches Polynom beschreibt monotones nichtlineares Wachstum oder Abfallen der Werte Ein kubisches Polynom kann auch Änderungen im Verlauf der Kurve beschreiben Übliche Polynome Univariates Testen Trendtests für einen Dosisfaktor mit k- Stufen beschreibt die Daten perfekt, wenn alle Komponenten bis k-1 eingehen.

5 Methoden der Psychologie Orthogonale Polynome Bedingungen Univariates Testen Trendtests Wird als Gleichung für die Mittelwerte der j Stufen geschätzt: mit usw. Für Linearkombinationen C i werden Koeffizienten so gewählt, Daß die Trendkomponenten stets orthogonal sind: mit (Kontrastbedingung)(Orthogonalität der Ordnungen)

6 Methoden der Psychologie Orthogonale Polynome Univariates Testen Trendtests Die Koeffizienten c ij liegen bis zu hohen Anzahlen für k in Tabellen vor.

7 Methoden der Psychologie Quadratsummen Test Trend-QS: Mit diesen Koeffizienten gilt Die Treatmentquadratsumme zerlegt sich additiv in die Quadratsummen- Anteile der einzelnen orthogonalen Trendpolynome. Jede Trendkomponente hat einen Freiheitsgrad (df = 1). Dann gilt der F- Test: Mit df zähler = 1 und df Nenner = df error. In komplexeren Designs oder rm Designs ist die die jeweilige Testvarianz des Faktors einzusetzen. Univariates Testen Trendtests

8 Methoden der Psychologie Komponenten Nichtlinearer Trend-Test Man teilt oft ein in lineare Komponenten und Restkomponenten, um den nichtlinearen Anteil abzuschätzen. Diese Komponente hat k-2 Freiheitsgrade (df = k-2). Dann gilt der F- Test: Mit df zähler = k-2 und df Nenner = df error. Die Polynomkoeffizienten aller Trendkomponenten erhält man wie üblich über die Methode der Normalgleichungen. Für die lineare Komponente eines aufsteigend (1,2,3…) ganzzahlig gestuf- ten Dosisfaktor gibt es einfache Beziehungen aus den Quadratsummen: Univariates Testen Trendtests Linearer Trend (Steigung)(falls Stufen aufsteigend Integer)(Schnittpunkt)

9 Methoden der Psychologie Trendvarianz- Aufklärung Das Eta Quadrat kann aufgefasst werden als das Quadrat der Korrelation von den Daten mit der einem Polynom vom Grad k-1 Entsprechend kann man die einzelnen Trendanteile bewerten: Man kann eine Intraklassenkorrelation von Faktorstufen und Treatment berechnen: Univariates Testen Trendtests Intra-Class Correlation mit Sie gibt den korrelativen Zusammenhang der Treatmentstufen mit den Daten an. Damit kann man die Zunahme der Varianzaufklärung durch Hinzunahme einzelner Trendkomponenten bewerten.

10 Methoden der Psychologie Einzelvergleiche In der ANOVA prüft man Kontraste gewöhnlich über F- Tests. Wegen Univariates Testen Trendtests F-Test Kontraste ist ein t- Test einem F- Test äquivalent. Es gilt Für den Standardfehler eines Vergleichs gilt mit den Kontrastbedingungen (Kontrast über F-Test prüfen)

11 Methoden der Psychologie Orthogonale Einzelvergleiche Für orthogonale Einzelvergleiche gelten gesonderte Konstruktionsregeln Univariates Testen Trendtests Vollständige Sätze von orthogonalen Kontrasten Zwei Einzelvergleiche j und k sind orthogonal, wenn gilt: Man kann Mengen konstruieren, die k-1 orthogonale Einzelvergleiche enthalten. Für solche vollständigen Sätze von Einzelvergleichen gilt: Die Treatmentquadratsumme ist additiv aus den Quadratsummen der Einzelvergleiche eines voll- ständigen Satzes zusammengesetzt. Alle in einem vollständigen orthogonalen Satz von Einzelvergleichen enthaltenen Kontraste sind auf dem - Niveau des gesamten F- Tests für den Treatmentfaktor abgesichert, weil sie lediglich Anteile an der Treatmentquadratsumme darstellen. [Excel-Beispiel]

12 Methoden der Psychologie Konstruktion Es gibt verschiedene Konstruktionsregeln. Z.B. Helmert-Regel: Univariates Testen Trendtests Für k=5 (Beispiel) führt dies auf die zeilenweise orthogonale (4 x 5) Koeffizientenmatrix Alle Vergleiche (Zeilen) sind orthogonal.

13 Methoden der Psychologie Paarvergleiche Für reine Paarvergleiche gilt, dass es nur bis zu Univariates Testen Trendtests 1.Teste Trends im Treatmentfaktor. Signifikanz des linearen Trends sichert bereits die monotone Folge der Stufen ab. Signifikanz des quadratischen Trends sicher den nichtlinearen Anstieg (Abfall). 2.Sichere den Unterschied der letzten Faktorstufen gegen den der ersten Faktorstufen mit wenigen Einzeltests ab. Damit ist zumeist der gesamte Gehalt der inhaltliche Hypothesen über Lernverlauf oder Sättigung statistisch geprüft. orthogonale Vergleiche in einem Satz geben kann. Für mehr Paarvergleiche muss das - Niveau gegen multiples Testen adjustiert werden (Bonferroni), um konservativ sicher zu testen. Strategie Man konstruiere sich ein Set von orthogonalen Einzelvergleichen, welches viele der gewünschten a-priori Kontraste enthält. Darüber hinausgehende Vergleiche führt man mit - Adjustage durch. A-Posteriori Vergleiche (Scheffe, Duncan) liefern meist mehr konservative kritische Differenzen für Kontraste, da in a-posteriori Tests alle möglichen Paarvergleiche eingehen. [Excel-Beispiel]

14 Methoden der Psychologie Allgemeines Trendanalyse ist ein häufig eingesetztes Verfahren in rm ANOVA Designs, da sie die Art der Wirkverlaufes einer Intervention beurteilen lässt. Trends sind in rm Designs grundsätzlich definierbar, da die Stufen der UVs als Zeitpunkte oder Anzahlen der Wiederholung der Gabe eines Treatment grundsätzlich metrische Levels repräsentieren. Trends sind ebenfalls in Mischdesigns mit Grouping-Faktoren und rm Faktoren definierbar. Für die Testung des Trends gilt, dass der Trend immer an der Prüfvarianz des Faktors geprüft wird. Trendanalyse ermöglicht eine Prognose des Zeitpunktes, an dem ein Lern- oder Wirkkriterium voraussichtlich erreicht ist. Trendtests in rm ANOVA Die Testung der Signifikanz des rm Faktors, der mögliche Trends enthält, ist in der rm ANOVA an strenge Voraussetzungen gebunden. (Eigenschaften der Varianz-Covarianz Matrix). Bei Verletzungen führt der F- Test zu progressiven Entscheidungen. Verletzungen der Voraussetzungen können mit geeigneten Verfahren (Box, Greenhouse-Geisser) korrigiert werden. Voraussetzung Univariates Testen rm ANOVA

15 Methoden der Psychologie Verbundene Symmetrie Sind für insgesamt k Messzeitpunkte die Korrelationen zwischen allen Messzeitpunkten gleich und ebenfalls die Varianzen, so erhält man als Varianz-Covarianz-Matrix (verbund-symmetrische Matrix). Diese strenge Forderung an die Struktur der Daten für die rm-ANOVA ist aber nicht nötig. Statt dessen muss für die Gültigkeit der F-Statistik folgende Bedingung erfüllt sein: Voraussetzungen rm ANOVA Die Varianz der Differenz der Messwerte zweier beliebiger Messzeit- punkte j und j muss dieselbe Konstante ergeben. Verletzungen dieser Voraussetzung führen zu progressiven Verfälschungen des F-Tests. Homogenitäts- Voraussetzung der rm ANOVA

16 Methoden der Psychologie Matrix- Bedingung: Zirkularität Anders geschrieben: [Excel-Beispiel] Voraussetzungen rm ANOVA Man verifiziert ebenso, dass eine verbunden symmetrische Matrix ebenfalls die Eigenschaft der Zirkularität besitzt. Beispiel Varianz-Covarianz Matrizen, die diese Bedingung erfüllen, heissen zirkulär.

17 Methoden der Psychologie Generische Regel Sei A eine Matrix mit gleichen Zeilenelementen, so gilt [Excel-Beispiel] Voraussetzungen rm ANOVA Die Eigenschaft der Zirkularität der Varianz-Covarianz Matrix ist über statistische Tests prüfbar. Dazu bedient man sich einer aus der Zirkularität abgeleiteten Eigenschaft von, der Spherizität. Beispiel (k=3, =5) ist zirkulär. Test über Spherizität Sei M eine (k-1) x k Matrix mit orthogonalen Zeilen. ist sphärisch, gdw X zirkulär ist. Die (k-1) x (k-1) Matrix

18 Methoden der Psychologie Sphärische Matrix Y Man verwende als Matrix M eine Matrix der c-Koeffizienten, die einen vollständigen Satz orthogonaler Einzelvergleiche definiert. Die Vektoren normiere man zeilenweise (orthonormale Matrix M) Voraussetzungen rm ANOVA Beispiel (k=3) Damit: Diagonalmatrix Y Da A gleiche Zeilenelemente hat, und die Summe der Zeilenelemente von M Null ergibt, folgt Wenn X zirkulär ist, ist Y sphärisch (diagonal) Folgerung

19 Methoden der Psychologie Abweichung von Spherizität Man definiert ein Abweichungsmaß für die Abweichung von der Spherizität: Range der möglichen Abweichung i die Eigenwerte von Y. Voraussetzungen rm ANOVA Damit kann man den Range der möglichen Abweichungen bewerten (Beispiel: k=4): Der Range der möglichen Abweichungen ist [(k-1) -1 …1] (perfekt)(max. Abweichung)

20 Methoden der Psychologie Mauchley-Test Man teste die Nullhypothese Test-Statistik: Mauchleys W über die Stichprobenmatrizen S X und S Y. Voraussetzungen rm ANOVA mit (tr die Spur der Matrix) W ist austabelliert (e.g. Winer, Anhang D). Entscheidungs Regel Lehne die Nullhypothese (Spherizitätshypothese) ab, wenn sonst behalte Spherizitätshypothese bei. sollte nicht konservativ gewählt werden (e.g. = 0.25) Aus W berechnet man die 2 verteilte Prüfstatistik -Test mit (nur approx.)

21 Methoden der Psychologie Mauchley-Test W-Tabelle Voraussetzungen rm ANOVA

22 Methoden der Psychologie Freiheitsgrad- korrektur Unabhängig vom Ergebnis des Mauchley-Tests kann der F-Test durch eine Adjustage der Freiheitsgrade konservativer gemacht werden. Nach Box ist die F- Statistik in rm Designs verteilt wie Voraussetzungen rm ANOVA (#) Greenhouse- Geisser Correction Da die untere Grenze für (maximale Verletzung) 1/(k-1) ist, folgt Box-Correction als konservativster F- Test, der jede Spherizitätsverletzung auffängt. Die Gültigkeit von (#) ist gut untersucht. Huynh und Feldt schlagen vor, korrigierte in (#) zu verwenden: Huynh-Feldt- Correction aber kombiniert mit der Regel: (den Abweichungswert auf 1 setzen, falls größer wird) Mit der Box Formel lässt sich nach Verwendung von ein optimales Ergebnis erreichen.


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