Dachbodenausbau by Michael Lameraner und Florian Kerschbaumer

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1 Dachbodenausbau by Michael Lameraner und Florian Kerschbaumer
HLUW Yspertal, 3A, 2008

2 Aufgabenstellung Ein Dachboden mit einem Giebeldach
hat den Querschnitt eines gleichschenk- ligen Dreiecks. Man möchte den Dach- boden ausbauen und einen Raum ohne schiefe Wände gewinnen, der möglichst groß sein soll. Wo müssen die Wände eingebaut sein?

3 Grundlagen Diese Aufgabe hat mit „Extremwerten“ zu tun.
Ehe wir in die Welt der Extremwerte eintauchen, erklären wir auf den nächsten Folien einige wichtige theoretische Grundlagen.

4 Was sind Extremwerte? Der lokal kleinste und der lokal größte Wert einer Funktion y heißt Extremwert Charakteristisch: an diesen Stellen befindet sich eine waagrechte Tangente Das heißt y‘ = 0

5 Maximum und Minimum Erkennung Maximum: degressive Krümmung (y‘‘ < 0), dh., der Anstieg nimmt von li nach re immer mehr ab. positiv  0  negativ Erkennung Minimum: progressive Krümmung (y‘‘ > 0), d.h., der Anstieg nimmt laufend zu. negativ 0  positiv

6 Wie werden Extremwertaufgaben behandelt?
Überlegung der Gegebenheit des gestellten Problems Bestimmung des Ziels: Welche Größe soll ein Extremwert sein? zB y Kommen mehrere Variablen vor, so sucht man einen Zusammenhang zwischen ihnen und y Die Funktion y bestimmen und differenzieren. y‘ = 0…Extremwert

7 Was ist „Differenzieren“?
Beim Differenzieren sucht man den Anstieg der Kurve in jedem beliebigen Punkt. Bei Potenzfunktionen kann dies sehr einfach mit der angegebenen Formel berechnet werden: y = xn  y‘ = n . xn-1

8 Nochmals die Aufgabe: Ein Dachboden mit einem Giebeldach
hat den Querschnitt eines gleichschenk- ligen Dreiecks. Man möchte den Dach- boden ausbauen und einen Raum ohne schiefe Wände gewinnen, der möglichst groß sein soll. Wo müssen die Wände eingebaut sein?

9 Ansatz: c und h sind gegeben. Das Volumen des Dachbodenraums ist:
V = x . z . a  Maximum, x und z…Variable z c h x a

10 Strahlensatz Mit Hilfe des Strahlensatzes suchen wir den
Zusammenhang der Variablen x und z c/2 : h = x/2 : (h-z) |.(h-z) c . (h-z)/2 . h = x/2 |.2 x = c . (h-z)/h z c h x a c/2 z h x/2 h - z

11 Nun können wir das Ergebnis in die Volumenformel einfügen.

12 zur Erinnerung: x = c.(h-z)/h
V = x . z . a V = z . a . c . (h-z)/h wir multiplizieren z in die Klammer: V = a . (c/h) . (zh-z²)

13 Jetzt wird differenziert und z berechnet:
V‘(z) = a . ( c/h) (h-2z) = 0 2z = h z = h/2

14 Nun berechnen wir mit dem Ergebnis von
vorhin, wie breit der Dachboden sein soll: x = c . (h-z)/h x = c . (h-h/2)/h x = c . h / (h . 2) x = c/2 z = h/2

15 Ergebnis Das größte Volumen wird erreicht, wenn
man den Raum auf halber Höhe des Dach- bodens mit der halben Länge der Grund- linie baut. z c h/2 x h

16 Modell des Dachbodens 9 cm 18 cm Dachfläche Seite Dachboden vorne h =
z c = 11 cm x h = 5,8 cm Dachboden vorne

17 Bilder des Modells Seitlicher Blick ins Haus Vorderseite

18 Berechnungen am Modell
Für unser Modell haben wir folgende Ergebnisse: z = h/2 → 5,8/2 = 2,9 cm x = c/2 → 11/2 = 5,5 cm 5,5 cm x z = 2,9 cm c = 11 cm

19 V = x . z . a V = 5,5 . 2,9 . 18 V = 287,1 cm³ Das größtmögliche Volumen des „Dachbodens“ bei unserem Modell beträgt 287,1 cm³.