Berechnung des Korrelationskoeffizienten Vorbemerkung. Der Korrelationskoeffizient ist im Grunde ein Bruch aus 3 unvollständig berechneten statistischen.

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1 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Vorbemerkung. Der Korrelationskoeffizient ist im Grunde ein Bruch aus 3 unvollständig berechneten statistischen Kennwerten. Im Zähler des Bruches steht eine unvollständig berechnete Kovarianz, im Nenner steht die unvollstaändige Standardabweichung der x-Werte und die unvollständige Standardabweichung der y-Werte. Unvollständig heißt, dass man bei den vollständigen Kennwerten als letzten Schritt immer durch N teilt. Diesen Schritt lässt man beim Korrelationskoeffizienten immer weg.

2 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Aufgabenstellung: Ein Unternehmen macht Verluste. Es versucht, wieder in die Gewinnzone zu kommen, indem es die Kosten senkt. Es soll berechnet werden, ob es zwischen Gewinnen und Kosten einen Zusammenhang gibt. Die Daten sind folgende: KostenGewinn /Verlust 10060 10010 1500 -50 250-100

3 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Mittelwert Summe750-80 10060 150 100 150 250 KostenGewinn -16 10 0 -50 -100

4 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Schritt 2 : Zähler ausrechnen (Der Zähler ist fast die Kovarianz, wird aber nicht durch N geteilt) –a) neue Spalte für den Abstand der xi vom Mittelwert –b) neue Spalte für den Abstand der yi vom Mittelwert 100 150 250 Kosten y 76 26 16 -34 -84 Gewinn x -50 60 -50 10 0 0 0 -50 100 -100 Mittelwerte x =-16, y =150

5 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Schritt 2 Zähler ausrechnen –a) neue Spalte für den Abstand der xi vom Mittelwert –b) neue Spalte für den Abstand der yi vom Mittelwert –c) Produkt berechnen -50 0 0 100 3800 1300 0 0 -8400 100 150 250 Kosten y 76 26 16 -34 -84 Gewinn x 60 10 0 -50 -100

6 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Schritt 2 : Zähler ausrechnen –a) neue Spalte für den Abstand der xi vom Mittelwert –b) neue Spalte für den Abstand der yi vom Mittelwert –c) Produkt berechnen –d) Summe ziehen 3800-5076 10060 Summe -50 0 0 100 -13500 1300 0 0 -8400 100 150 250 Kosten y 26 16 -34 -84 Gewinn x 10 0 -50 -100

7 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Schritt 3 : Anfang der Varianz für x ausrechnen –a) neue Spalte für den quadratischen Abstand der xi vom Mittelwert 5776 676 256 1156 7056 3800 1300 0 0 -8400 -50 0 0 100 76 10060 100 150 250 y 26 16 -34 -84 x 10 0 -50 -100

8 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Schritt 3 : Anfang der Varianz für x ausrechnen –a) neue Spalte für den quadratischen Abstand der xi vom Mittelwert –b) Summe ziehen 14920 5776 676 256 1156 7056 Summe 3800 1300 0 0 -8400 -50 0 0 100 76 10060 100 150 250 y 26 16 -34 -84 x 10 0 -50 -100

9 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Schritt 3 : Anfang der Varianz für x ausrechnen –a) neue Spalte für den quadratischen Abstand der xi vom Mittelwert –b) Summe ziehen 14920 5776 676 256 1156 7056 Summe x 3800 1300 0 0 -8400 -50 0 0 100 76 10060 100 150 250 y 26 16 -34 -84 x 10 0 -50 -100

10 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Schritt 3 : Varianz für x ausrechnen –a) neue Spalte für den quadratischen Abstand der xi vom Mittelwert –b) Summe ziehen Schritt 4: Anfang der Varianz für y ausrechnen –a) neue Spalte für den quadratischen Abstand der yi vom Mittelwert 2500 0 0 10 000 x 14920 5776 676 256 1156 7056 Summe 3800 1300 0 0 -8400 -50 0 0 100 76 10060 100 150 250 y 26 16 -34 -84 x 10 0 -50 -100

11 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Schritt 3 : Varianz für x ausrechnen Schritt 4: Varianz für y ausrechnen –a) neue Spalte für den quadratischen Abstand der yi vom Mittelwert –b) Summe ziehen 14 920 15 000 2500 0 0 10 000 5776 676 256 1156 7056 Summe y 3800 1300 0 0 -8400 -50 0 0 100 76 10060 100 150 250 y 26 16 -34 -84 x 10 0 -50 -100

12 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Schritt 2: Anfang der Kovarianz ausrechnen Schritt 3 : Anfang der Varianz für x ausrechnen Schritt 4: Anfang der Varianz für y ausrechnen Schritt 5 : Nenner ausrechnen = 14 959,9465

13 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 1: Mittelwerte der x-Werte und der y-Werte ausrechnen Schritt 3 : Varianz für x ausrechnen Schritt 4: Varianz für y ausrechnen Schritt 5 : Nenner ausrechnen Schritt 6: Korrelationskoeffizienten ausrechnen Nenner = 14 959,9465 Zähler =-13500 (vgl. Folie 5) r= -13 500/14 959,9465 = 0,9024

14 Berechnung des Korrelationskoeffizienten Schritt 7 : Interpretation des Korrelationskoeffizienten –Es gibt einen Zusammenhang zwischen Kosten und Gewinnen. –Der Zusammenhang ist sogar stark, denn der Korrelationskoeffizient ist - 0,9…, d.h. er liegt nahe bei -1. (1 würde den totalen Zusammenhang bedeuten). –Der Zahlenwert des Koeffizienten ist negativ. Das bedeutet der Zusammenhang ist gegenläufig: wenn die Kosten steigen, sinkt der Gewinn und umgekehrt. –Wer hätte das gedacht! Schritt 8: Interpretation vom Bestimmtheitsmaß –Das Bestimmtheitsmaß r² ist 0,8143. Das bedeutet, das 80% der Streuung der Werte durch die Regressionsgerade erklärt werden. Es lohnt sich also eine Regressionsgerade auszurechnen.