Kapitel 2: Indizes 2.1 Gitterpunkte - Gittergeraden - Netzebenen

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1 Kapitel 2: Indizes 2.1 Gitterpunkte - Gittergeraden - Netzebenen
2.2 Millersche Indizes 2.3 Rationalitätsprinzip 2.4 Zonen

2 Gitterpunkte Koordinatentripel: Beispiele: • uvw • 100 110 111 c b a

3 Gittergeraden Geradenindizes: Beispiele: [uvw] [100] [010] [001] [111]
[100] [010] [001] [111] c b a

4 Gittergeraden Geradenindizes: Beispiele: <uvw>
Schar äquivalenter Gittergeraden <310> [3-10] b a

5 Netzebenen Millersche Indizes: Beispiel: (525) (hkl);
sie sind als das kleinste ganzzahlige Vielfache der reziproken Achsenabschnitte definiert. c Beispiel: (525) b a

6 Netzebenen Beispiel: (525)
Richtungskosinus: cos aa=OM/OA, analog cos ab,c cos aa: cos ab: cos ac = 1/OA : 1/OB : 1/0C = 1/ma : 1/nb : 1/pc m, n, p: Achsenabschnitte Ersetzung: 1/m=h, 1/n=k, 1/p=l c Beispiel: (525) C M O b a B A Millersche Indizes sind ganzzahlig und teilerfremd.

7 Netzebenen cos aa: cos ab: cos ac = h/a : k/b : l/c
Mit den Richtungskosinussen, d.h. mit Winkelmessungen, kann das Längenverhältnis der Gitterkonstanten ermittelt werden. c Beispiel: (525) C M b a B A

8 Netzebenen Die Millerschen Indizes (hkl) geben nicht nur die Lage einer Netzebene, sondern die einer unendlichen Parallelschar an. Hochindizierte Netzebenen haben kleinere Abstände. (100) (-100) (1-10) (-110) (210) (-2-10) (310) (-3-10) b a

9 Netzebenen Beispiel Würfel (Hexaeder) (001) (100) (010) (0-10) (00-1)

10 Rationalitätsprinzip
Rationalität des Verhältnisses der Achsenabschnitte gegeneinander geneigter Netzebenen Die Indizes der meisten und vor allem der wichtigsten Kristallflächen lassen sich durch kleine Zahlen ausdrücken.

11 Zonen Eine Schar von Kristallflächen (Netzebenen), deren Schnittkanten parallel verlaufen, nennt man eine Zone. Flächen, die einer Zone angehören, heißen tautozonal. Die Richtung der Schnittkanten wird als Zonenachse bezeichnet. Zonenachse

12 Zonen Die Indizes der Zonenachse [uvw] zu den Ebenen (hkl) und (hkl) lauten: u : v : w = (kl-kl) : (lh-lh) : (hk-hk) Zonengleichung: Eine Netzebene (hkl) gehört zu einer Zone [uvw], wenn hu + kv + lw = 0 Beispiel: Topas

13 Sonderfall: Hexagonal
Achsensystem => Millersche Indizes (hkl) a1 = a2  c  =  = 90°,  = 120° a2 a1

14 Sonderfall: Hexagonal
Achsensystem => Miller-Bravais- Indizes (hkil) [uvtw] Umrechnungen: a1 = a2 = a3  c a3 a2 a1 Netzebenen: h + k + i = 0, d.h. i = -(h + k) Geraden: [UVW] = [u-t v-t w] = [2u+v u+2v w] [uvtw] = [(2U-V)/3 (2V-U)/3 (-U-V)/3 W]

15 Sonderfall: Rhomboedrisch
Achsensystem => rhomboedrische Millersche- Indizes (hkl) [uvw] Umrechnungen: a1 = a2 = a3 1 = 2 = 3 = 90° a3 a2 a1 Netzebenen: (HKL) = (h-i+l k-h+l i-k+l) (hkil) = (H-K K-L L-H H+K+L) Geraden: [UVW] = [u+w v-u+w w-v] (mit dreigliedrigen hexagonalen Indizes [uv.w]) [uv.w] = [2U-V-W U+V-2W U+V+W]

16 Grundwissen diskret symmetrieäquivalent
• uvw • : uvw : Achsenabschnitte [uvw] <uvw> Achsenabschnitte (hkl) {hkl} reziproke Achsenabschnitte Gitterpunkte Gittergeraden Netzebenen (Millersche Indizes)

17 Übung 2 Die Abbildung ist die Projektion eines Raumgitters parallel zur a-Achse auf die b,c-Ebene. Die eingezeichneten Geraden sind Gittergeraden (...) bzw. die Spuren von Netzebenen (__). Indizieren Sie die eingezeichneten Gittergeraden und Netzebenen ! Geben Sie die [uvw] der Schnittgeraden beider Netzebenen an ! Zeichnen Sie die Spuren der Netzebenen (023) und (0-21) in die Projektion ein ! Geben Sie einige Netzebenen an, die die Gittergerade [101] enthalten und einige Gittergeraden, die in der Netzebene (-1-1-1) liegen. c b