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Kapitel 2: Indizes 2.1 Gitterpunkte - Gittergeraden - Netzebenen 2.2 Millersche Indizes 2.3 Rationalitätsprinzip 2.4 Zonen.

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2 Kapitel 2: Indizes 2.1 Gitterpunkte - Gittergeraden - Netzebenen 2.2 Millersche Indizes 2.3 Rationalitätsprinzip 2.4 Zonen

3 Koordinatentripel: Beispiele: uvw Gitterpunkte a b c

4 Gittergeraden Geradenindizes: Beispiele: [uvw] [100][010] [001][111] a b c

5 Gittergeraden Geradenindizes: Beispiele: Schar äquivalenter Gittergeraden [3-10] a b

6 Netzebenen Millersche Indizes: (hkl); sie sind als das kleinste ganzzahlige Vielfache der reziproken Achsenabschnitte definiert. a b c Beispiel: (525)

7 Netzebenen Richtungskosinus: cos  a =OM/OA, analog cos  b,c cos  a : cos  b : cos  c = 1/OA : 1/OB : 1/0C = 1/ma : 1/nb : 1/pc m, n, p: Achsenabschnitte Ersetzung: 1/m=h, 1/n=k, 1/p=l a b c A B C M Beispiel: (525) O Millersche Indizes sind ganzzahlig und teilerfremd.

8 Netzebenen cos  a : cos  b : cos  c = h/a : k/b : l/c Mit den Richtungskosinussen, d.h. mit Winkelmessungen, kann das Längenverhältnis der Gitterkonstanten ermittelt werden. a b c A B C M Beispiel: (525)

9 Netzebenen a b Die Millerschen Indizes (hkl) geben nicht nur die Lage einer Netzebene, sondern die einer unendlichen Parallelschar an. Hochindizierte Netzebenen haben kleinere Abstände. (100) (-100) (1-10) (-110) (210) (-2-10) (310) (-3-10)

10 Netzebenen Beispiel Würfel (Hexaeder) (100) (010) (001) (0-10) (00-1)

11 Rationalitätsprinzip Rationalität des Verhältnisses der Achsenabschnitte gegeneinander geneigter Netzebenen Die Indizes der meisten und vor allem der wichtigsten Kristallflächen lassen sich durch kleine Zahlen ausdrücken.

12 Zonen Eine Schar von Kristallflächen (Netzebenen), deren Schnittkanten parallel verlaufen, nennt man eine Zone. Flächen, die einer Zone angehören, heißen tautozonal. Die Richtung der Schnittkanten wird als Zonenachse bezeichnet. Zonenachse

13 Beispiel: Topas Zonen Die Indizes der Zonenachse [uvw] zu den Ebenen (hkl) und (hkl) lauten: u : v : w = (kl-kl) : (lh-lh) : (hk-hk) Zonengleichung: Eine Netzebene (hkl) gehört zu einer Zone [uvw], wenn hu + kv + lw = 0

14 Sonderfall: Hexagonal Achsensystem => Millersche Indizes (hkl) a 1 = a 2  c  =  = 90°,  = 120° a1a1 a2a2

15 Sonderfall: Hexagonal Achsensystem => Miller-Bravais- Indizes (hkil) [uvtw] Umrechnungen: a 1 = a 2 = a 3  c a1a1 a2a2 a3a3 Netzebenen: h + k + i = 0, d.h. i = -(h + k) Geraden:[UVW] = [u-t v-t w] = [2u+v u+2v w] [uvtw] = [(2U-V)/3 (2V-U)/3 (-U-V)/3 W]

16 Sonderfall: Rhomboedrisch Achsensystem => rhomboedrische Millersche- Indizes (hkl) [uvw] Umrechnungen: a 1 = a 2 = a 3  1 =  2 =  3 = 90° a1a1 a2a2 a3a3 Netzebenen: (HKL) = (h-i+l k-h+l i-k+l) (hkil) = (H-K K-L L-H H+K+L) Geraden:[UVW] = [u+w v-u+w w-v] (mit dreigliedrigen hexagonalen Indizes [uv.w]) [uv.w] = [2U-V-W U+V-2W U+V+W]

17 Grundwissen Gitterpunkte Gittergeraden Netzebenen (Millersche Indizes) diskretsymmetrieäquivalent uvw : uvw : Achsenabschnitte [uvw] Achsenabschnitte (hkl){hkl} reziproke Achsenabschnitte

18 Übung 2 Die Abbildung ist die Projektion eines Raumgitters parallel zur a-Achse auf die b,c- Ebene. Die eingezeichneten Geraden sind Gittergeraden (...) bzw. die Spuren von Netzebenen (__). –Indizieren Sie die eingezeichneten Gittergeraden und Netzebenen ! –Geben Sie die [uvw] der Schnittgeraden beider Netzebenen an ! –Zeichnen Sie die Spuren der Netzebenen (023) und (0-21) in die Projektion ein ! Geben Sie einige Netzebenen an, die die Gittergerade [101] enthalten und einige Gittergeraden, die in der Netzebene (-1-1-1) liegen. b c


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