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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 1 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) 3.Kapitel: Monte-Carlo-Methoden Wichtiges Werkzeug der Statistik 3.1 Zufallszahlengeneratoren.

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1 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 1 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) 3.Kapitel: Monte-Carlo-Methoden Wichtiges Werkzeug der Statistik 3.1 Zufallszahlengeneratoren eigentlich: Pseudozufallszahlen (Computer=deterministische Maschine) Gleichverteilte Zufallszahlen: z.B. linearer kongruenter Generator I j = (a I j-1 + c ) mod m u j = I j / m Kriterien für Generatoren: - große Periode - Gleichverteilung - keine Korrelationen

2 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 2 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) 3.2 Generatoren für beliebige Verteilungen: a)Transformationsmethode U(0,1) : gleichförmige Verteilung f(x) : beliebige Verteilung f(x) dx = U(0,1)(u) du wenn Umkehrfunktion der kumulierten Verteilung f(x), F -1 (u) bekannt ist, dann ist x = F -1 (u) gemäß f(x) verteilt b) Rückweisungsmethode, ‘hit-or-miss’ 1.würfele u i zwischen 0 und c > max(f) 2.würfele x i zwischen x min und x max 3.wenn u i < f(x i ) akeptiere x i 4.gehe nach 1. c) Verbesserte Rückweisungsmethode: wähle u i aus Fkt. die f annähert

3 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 3 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) 3.3. Monte-Carlo-Integration gesucht: u i gleichverteilt in [a,b] Varianz von I MC Varianz bestimmt dur ch Varianz von g Varianzreduzierte Methode: Importance sampling x i verteilt nach f(x), f(x) ähnlich wie g

4 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 4 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) Kapitel 4: Parameterschätzung (x 1,…,x n ) heißt Stichprobe einer Verteilung f(x) Stichprobenraum: alle möglichen Werte von (x 1,…,x n ) Stichprobenverteilung: f sample (x 1,…,x n ) = f(x 1 ) … f(x n ) Zentrales Problem: finde Eigenschaften von f(x) wenn man eine Stichprobe gemessen hat. Konstruiere Funktionen der x i um Eigenschaften von f zu schätzen Solche Funktionen heißen Schätzer (estimator) Bezeichung: ist ein Schätzer für (= wahrer Wert eines Parameters von f)

5 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 5 Zusammenfassung 5. Vorlesung (27.5) Kriterien für gute Schätzer: 1. Konsistenz: Im Grenzwert großer Stichproben (große n) tendiert gegen 2. Bias-Freiheit 3. Effizienz: Schätzer ist effizienter als ein anderer, wenn er einen kleineren ‘Mean Squared Error’ (MSE) hat, d.h. wenn kleiner ist. 4. Robustheit (gegenüber falschen Daten) 5. Einfachheit Bias (Verzerrung): Schätzer ist bias-frei (verzerrungsfrei) wenn b = 0


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